適用于新教材2023版高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3平面與平面垂直二教師用書新人教A版必修第二冊

PAGE8.6.3平面與平面垂直(二)1.平面與平面垂直的性質(zhì)定理兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的,那么這條直線與另一個平面.

2.空間線、面之間的垂直關(guān)系3.若平面α⊥平面β,點A∈α,過點A作直線l⊥β,那么直線l與平面α的關(guān)系是什么?【基礎(chǔ)鞏固組】一、單選題1.設(shè)兩個平面互相垂直,則 ()A.一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直于另一個平面B.過交線上一點垂直于一個平面的直線必在另一個平面內(nèi)C.過交線上一點垂直于交線的直線,必垂直于另一個平面D.分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線互相垂直2.已知α,β是空間兩個不同的平面,m,n是空間兩條不同的直線,則給出的下列說法中正確的是 ()①m∥α,n∥β,且m∥n,則α∥β;②m∥α,n∥β,且m⊥n,則α⊥β;③m⊥α,n⊥β,且m∥n,則α∥β;④m⊥α,n⊥β,且m⊥n,則α⊥β.A.①②③ B.①③④C.②④ D.③④3.如圖,在四面體ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么D在平面ABC內(nèi)的射影H必在 ()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部4.已知平面α與β互相垂直,α與β交于l,m和n分別是平面α,β上的直線.若m,n均與l既不平行,也不垂直,則m與n的位置關(guān)系是()A.可能垂直,但不可能平行B.可能平行,但不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.既不可能垂直,也不可能平行二、多選題5.如圖,在三棱錐A-BCD中,CD⊥BC,AB⊥BD,平面ABC⊥平面BCD,則下列判斷中正確的有 ()A.CD⊥ACB.AB⊥平面BCDC.AD⊥BC D.圖中恰有三對平面互相垂直6.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分別是AB,CD的中點,將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折.在翻折過程中,可能成立的結(jié)論是 ()A.DF⊥BCB.BD⊥FCC.平面DBF⊥平面BFCD.平面DCF⊥平面BFC三、填空題7.如圖,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,則在△ABC,△PAC的邊所在的直線中:(1)與PC垂直的直線有;

(2)與AP垂直的直線有.

8.如圖所示,等邊三角形ABS所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直,則直線SC與平面ABS所成的角為.

四、解答題9.如圖,α⊥β,α∩β=l,AB?α,AB⊥l,BC?β,DE?β,BC⊥DE.求證:AC⊥DE.10.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點,E為線段PC上一點.(1)求證:PA⊥BD;(2)求證:平面BDE⊥平面PAC.【素養(yǎng)提升組】一、選擇題1.在四面體A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,則△ABC是 ()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形2.已知平面α⊥平面β,α∩β=n,點A∈α,A?n,直線AB∥n,直線AC⊥n,直線m∥α,m∥β,則下列四種位置關(guān)系中,不一定成立的是()A.AB∥m B.AC⊥mC.AB∥β D.AC⊥β二、填空題3.如圖所示,已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi),M,N分別為AB,DF的中點.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,則線段MN的長等于.

4.(教材改編題)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,將△ABD沿對角線BD折起,設(shè)折起后點A的位置為A',且平面A'BD⊥平面BCD,則下列四個命題中正確的是.

①A'D⊥BC;②三棱錐A'-BCD的體積為;③CD⊥平面A'BD;④平面A'BD⊥平面A'DC.三、解答題5.如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=2,CE=EF=1,求證:CF⊥平面BDE.6.如圖所示,△ABC是邊長為2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.(1)求證:AE∥平面BCD;(2)求證:平面BDE⊥平面CDE.8.6.3平面與平面垂直(二)必備知識·落實1.交線垂直3.直線l在平面α內(nèi),即l?α.知能素養(yǎng)·進階【基礎(chǔ)鞏固組】1.B由面面垂直的定義、性質(zhì)定理可知,B正確.2.D對于①,當(dāng)m∥α,n∥β,且m∥n時,有α∥β或α,β相交,所以錯誤;對于②,當(dāng)m∥α,n∥β,且m⊥n時,有α⊥β或α∥β或α,β相交且不垂直,所以錯誤;對于③,當(dāng)m⊥α,n⊥β,且m∥n時,得出m⊥β,所以α∥β,正確;對于④,當(dāng)m⊥α,n⊥β,且m⊥n時,α⊥β成立,所以正確.綜上知,正確的命題序號是③④.3.A在四面體ABCD中,因為AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,所以AC⊥平面ABD,AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,D在平面ABC內(nèi)的射影H必在AB上.4.D①假設(shè)m⊥n,因為n與l既不垂直,也不平行,所以n∩l=O,過O在β內(nèi)作直線c⊥l,如圖所示,因為α⊥β,所以c⊥α,又因為m?α,所以c⊥m,又因為m⊥n,c∩n=O,所以m⊥β,l?β,所以m⊥l,這與m與l既不垂直,也不平行矛盾,故假設(shè)不成立,所以m與n不垂直;②假設(shè)m∥n,則m∥β,m?α,α∩β=l,所以m∥l,這與m和n與l既不垂直,也不平行矛盾,故假設(shè)不成立,所以m與n不平行.綜上所述,m與n的位置關(guān)系是既不可能垂直,也不可能平行.5.ABD對于選項A.因為平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BDC=BC,CD?平面BDC,又CD⊥BC,所以CD⊥平面ABC,因為AC?平面ABC,AB?平面ABC,所以CD⊥AC,故A正確,對于選項B.由上可知,CD⊥AB,因為AB⊥BD,又因為BD∩CD=D,所以AB⊥平面BCD,故B正確,對于選項C,若AD⊥BC,因為CD⊥BC,AD∩CD=D,所以BC⊥平面ACD,又因為AC?平面ACD,所以BC⊥AC,由上可知AB⊥BC,那么AB∥AC,矛盾,故C錯誤.對于選項D,由AB⊥平面BCD,CD⊥平面ABC,知有三對平面互相垂直.6.BC因為BC∥AD,AD與DF相交不垂直,所以BC與DF不垂直,故A不可能成立;如圖,設(shè)點D在平面BCF上的射影為點P,當(dāng)BP⊥CF時,有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使條件滿足,故B可能成立;當(dāng)點P落在BF上時,DP?平面BDF,從而平面BDF⊥平面BCF,故C可能成立;因為點D的射影不可能在FC上,故D不可能成立.7.【解析】∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,可知BC⊥平面PCA,(1)與PC垂直的直線有:AC,BC,AB.(2)與AP垂直的直線有:BC.答案:(1)AC,BC,AB(2)BC8.【解析】因為平面ABS⊥平面ABCD,平面ABS∩平面ABCD=AB,CB?平面ABCD,CB⊥AB.所以CB⊥平面ABS.所以∠BSC是直線SC與平面ABS所成的角.因為SB=AB=BC,CB⊥SB,所以∠BSC=45°,所以直線SC與平面ABS所成的角為45°.答案:45°9.【證明】因為α⊥β,α∩β=l,AB?α,AB⊥l,所以AB⊥β.因為DE?β,所以AB⊥DE.因為BC⊥DE,AB∩BC=B,所以DE⊥平面ABC.因為AC?平面ABC,所以AC⊥DE.10.【證明】(1)因為PA⊥AB,PA⊥BC,AB?平面ABC,BC?平面ABC,且AB∩BC=B,所以PA⊥平面ABC,因為BD?平面ABC,所以PA⊥BD.(2)因為AB=BC,D是AC的中點,所以BD⊥AC,由(1)知PA⊥平面ABC,因為PA?平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC,因為平面PAC∩平面ABC=AC,BD?平面ABC,BD⊥AC,所以BD⊥平面PAC,因為BD?平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.【素養(yǎng)提升組】1.A作AE⊥BD,交BD于E,因為平面ABD⊥平面BCD,所以AE⊥平面BCD,又BC?平面BCD.所以AE⊥BC,而DA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以DA⊥BC,又因為AE∩AD=A,所以BC⊥平面ABD,而AB?平面ABD.所以BC⊥AB,即△ABC為直角三角形.2.D如圖所示,由于m∥α,m∥β,α∩β=n,所以m∥n,又因為AB∥n,所以AB∥m,故A正確,由于AC⊥n,m∥n,所以AC⊥m,故B正確,由于AB∥n,n?β,AB在β外,所以AB∥β,故C正確;對于D,雖然AC⊥n,但是AC不一定在平面α內(nèi),故它可以與平面β相交、平行,不一定垂直,所以D不正確.3.【解析】如圖,取CD的中點G,連接MG,NG.因為四邊形ABCD,DCEF為正方形,且邊長為2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=2.因為平面ABCD⊥平面DCEF,平面ABCD∩平面DCEF=CD,MG?平面ABCD,所以MG⊥平面DCEF,又NG?平面DCEF,所以MG⊥NG,所以MN=MG2+答案:64.【解析】設(shè)BD中點為E,連接A'E,對①,因為AD=AB=1,即A'D=A'B=1,所以A'E⊥BD,又因為平面A'BD⊥平面BCD,所以A'E⊥平面BCD,又因為BC?平面BCD,所以A'E⊥BC,若A'D⊥BC,因為A'D∩A'E=A',所以BC⊥平面A'BD,又因為BD?平面A'BD,所以BC⊥BD,與已知矛盾,所以錯誤;對②,因為AD=AB=1,AD⊥AB,所以A'E=22,BD=2又因為∠BCD=45°,所以CD⊥BD,所以S△BDC=12×2×2所以VA'-BCD=13×1×22=26對③,因為平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,所以CD⊥平面A'BD,所以正確;對④,因為CD⊥平面A'BD,CD?平面A'DC,所以平面A'BD⊥平面A'DC,所以正確.答案:③④5.【證明】如圖,設(shè)AC∩BD=G,連接EG,FG.由AB=2易知CG=1,則EF=CG=CE.又EF∥CG,所以四邊形CEFG為菱形,所以CF⊥EG.因為四邊形ABCD為正方形,所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF,CF?平面ACEF,所以BD⊥CF.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.6.【證明】(1)取BC的中點M,連接DM,因為BD=CD且BD⊥CD,BC=2.所以DM=1,DM⊥BC.又因為平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.又