新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+分層練習(xí) 2.9《函數(shù)與方程》教案 (原卷版)

第九節(jié)函數(shù)與方程結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個數(shù).1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn).(2)三個等價關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn).(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根.2.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個數(shù)210eq\o([常用結(jié)論])有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的3個結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點(diǎn).(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號.(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號.一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn).()(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)＜0.()(3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個零點(diǎn).()(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在b2﹣4ac＜0時沒有零點(diǎn).()二、教材改編1.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應(yīng)值表：x123456y124.433﹣7424.5﹣36.7﹣123.6則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有()A.2個 B.3個C.4個 D.5個2.函數(shù)f(x)＝lnx＋2x﹣6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)3.函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)個數(shù)是________.4.函數(shù)f(x)＝xeq\s\up8(\f(1,2))﹣(eq\f(1,2))x的零點(diǎn)個數(shù)為________.考點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法(1)解方程法，當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可直接解方程.(2)零點(diǎn)存在性定理.(3)數(shù)形結(jié)合法，畫出相應(yīng)函數(shù)圖象，觀察與x軸交點(diǎn)來判斷，或轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象在所給區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.1.函數(shù)f(x)＝lnx﹣eq\f(2,x2)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)2.若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)＋(x﹣b)(x﹣c)＋(x﹣c)(x﹣a)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A.(a，b)和(b，c)內(nèi)B.(﹣∞，a)和(a，b)內(nèi)C.(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D.(﹣∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)3.已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x﹣6的零點(diǎn)在(eq\f(1,2)k,eq\f(1,2)k+1)(k∈Z)內(nèi)，那么k＝________.考點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的討論，基本解法有(1)直接法，令f(x)＝0，在定義域范圍內(nèi)有多少個解則有多少個零點(diǎn).(2)定理法，利用定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等.(3)圖象法，一般是把函數(shù)分拆為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).(1)函數(shù)f(x)＝2sinx﹣sin2x在[0,2π]的零點(diǎn)個數(shù)為()A.2 B.3C.4 D.5(2)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x＞0，,2x＋1，x≤0))的零點(diǎn)個數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.3(3)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝ex＋x﹣3，則f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.41.函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|﹣1的零點(diǎn)個數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.42.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，x＞0，,－x2＋bx＋c，x≤0，))若f(0)＝﹣2，f(﹣1)＝1，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的零點(diǎn)個數(shù)為________.考點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的3種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)﹣a|x﹣1|＝0恰有4個互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.根據(jù)函數(shù)有無零點(diǎn)求參數(shù)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤0，,ex，x＞0，))則使函數(shù)g(x)＝f(x)＋x﹣m有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.根據(jù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)若函數(shù)f(x)＝(m﹣2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個零點(diǎn)分別在區(qū)間(﹣1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍是________.1.函數(shù)f(x)＝2x﹣eq\f(2,x)﹣a的一個零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(1,3) B.(1,2)C.(0,3) D.(0,2)2.方程logeq\s\up-5(\f(1,2))(a﹣2x)＝2＋x有解，則a的最小值為________.3.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x＜1，,log\f(1,2)x，x≥1，))若關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.函數(shù)與方程一、選擇題1.設(shè)f(x)＝lnx＋x﹣2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)2.函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x＞0))的零點(diǎn)個數(shù)為()A.3B.2C.7D.03.已知a是函數(shù)f(x)＝2x﹣log0.5x的零點(diǎn)，若0＜x0＜a，則f(x0)的值滿足()A.f(x0)＝0 B.f(x0)＞0C.f(x0)＜0 D.f(x0)的符號不確定4.已知函數(shù)f(x)＝x﹣eq\r(x)(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則()A.x1＜x2＜x3 B.x2＜x1＜x3C.x2＜x3＜x1 D.x3＜x1＜x25.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≤0，,\f(1,x)，x＞0，))則使方程x＋f(x)＝m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(1,2) B.(﹣∞，﹣2]C.(﹣∞，1)∪(2，＋∞) D.(﹣∞，1]∪[2，＋∞)二、填空題6.函數(shù)f(x)＝ax＋1﹣2a在區(qū)間(﹣1,1)上存在一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.7.若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點(diǎn)是﹣2和3，則不等式af(﹣2x)＞0的解集是________.8.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,x2＋x，x≤0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)﹣m有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.三、解答題9.已知函數(shù)f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點(diǎn).(1)求m的值.(2)求函數(shù)的零點(diǎn).10.設(shè)函數(shù)f(x)＝|1-eq\f(1,x)|(x＞0).(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)當(dāng)0＜a＜b，且f(a)＝f(b)時，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值；(3)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍.1.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)﹣log3|x|的零點(diǎn)有()A.多于4個 B.4個C.3個 D.2個2.已知當(dāng)x∈[0,1]時，函數(shù)y＝(mx﹣1)2的圖象與y＝eq\r(x)＋m的圖象有且只有一個交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(0,1]∪[2eq\r(3)，＋∞) B.(0,1]∪[3，＋∞)C.(0，eq\r(2)]∪[2eq\r(3)，＋∞) D.(0，eq\r(2)]∪[3，＋∞)3.已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ﹣x)只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ＝________.4.已知函數(shù)f(x)＝﹣x2﹣2x，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0.))(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))﹣a＝0有4個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取