新高考數學一輪復習講義+分層練習 5.4《數系的擴充與復數的引入》教案 (原卷版)

第四節(jié)數系的擴充與復數的引入1.理解復數的概念，理解復數相等的充要條件.2.了解復數的代數表示法及其幾何意義.3.能進行復數代數形式的四則運算，了解兩個具體復數相加、減的幾何意義.1.復數的有關概念(1)復數的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫復數，其中a，b分別是它的實部和虛部.若b＝0，則a＋bi為實數，若b≠0，則a＋bi為虛數，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數.(2)復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R).(3)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝﹣d(a，b，c，d∈R).(4)復數的模：向量eq\o(OZ,\s\up8(→))的模r叫做復數z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2.復數的幾何意義復數z＝a＋bieq\a\vs4\al(一一對應)復平面內的點Z(a，b)eq\a\vs4\al(一一對應)平面向量eq\o(OZ,\s\up8(→))＝(a，b).3.復數的運算(1)復數的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1﹣z2＝(a＋bi)﹣(c＋di)＝(a﹣c)＋(b﹣d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac﹣bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).(2)復數加法的運算定律復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).eq\a\vs4\al([常用結論])1.(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝﹣i.2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝﹣1，i4n＋3＝﹣i(n∈N*).3.z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a∈C，則a2≥0.()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當a＝0時，復數z為純虛數.()(3)復數z＝a＋bi(a，b∈R)的虛部為bi.()(4)方程x2＋x＋1＝0沒有解.()二、教材改編1.若復數z＝(x2﹣1)＋(x﹣1)i為純虛數，則實數x的值為()A.﹣1B.0C.1D.﹣1或12.在復平面內，向量eq\o(AB,\s\up8(→))對應的復數是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up8(→))對應的復數是﹣1﹣3i，則向量eq\o(CA,\s\up8(→))對應的復數是()A.1﹣2iB.﹣1＋2iC.3＋4iD.﹣3﹣4i3.設復數z滿足eq\f(1＋z,1－z)＝i，則|z|等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.24.已知(1＋2i)z＝4＋3i，則z＝________.考點1復數的概念復數的分類、復數相等、復數的模、共軛復數的概念都與復數的實部和虛部有關，所以解答與復數相關概念有關的問題時，需把所給復數化為代數形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據題意列方程(組)求解.1.若復數(m2﹣m)＋mi為純虛數，則實數m的值為()A.﹣1B.0C.1D.22.已知i為虛數單位，若復數z＝eq\f(a,1－2i)＋i(a∈R)的實部與虛部互為相反數，則a＝()A.﹣5B.﹣1C.﹣eq\f(1,3)D.﹣eq\f(5,3)3.已知eq\f(z,1－i)＝2＋i，則eq\x\to(z)(z的共軛復數)為()A.﹣3﹣iB.﹣3＋iC.3＋iD.3﹣i4.設z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝()A.0B.eq\f(1,2)C.1D.eq\r(2)考點2復數的運算復數代數形式運算問題的解題策略(1)復數的加、減、乘法：復數的加、減、乘法類似于多項式的運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.(2)復數的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，使分母實數化解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.(1)若z(1＋i)＝2i，則z＝()A.﹣1﹣iB.﹣1＋iC.1﹣iD.1＋i(2)計算：eq\f(（2＋i）（1－i）2,1－2i)＝()A.2B.﹣2C.2iD.﹣2i(3)已知復數z的共軛復數為eq\x\to(z)，若eq\x\to(z)(1﹣i)＝2i(i為虛數單位)，則z＝()A.iB.i﹣1C.﹣i﹣1D.﹣i(4)已知復數z滿足z＋|z|＝1＋i，則z＝()A.﹣iB.iC.1﹣iD.1＋i1.(1＋i)(2﹣i)＝()A.﹣3﹣iB.﹣3＋iC.3﹣iD.3＋i2.對于兩個復數α＝1﹣i，β＝1＋i，有下列四個結論：①αβ＝1；②eq\f(α,β)＝﹣i；③|eq\f(α,β)|＝1；④α2＋β2＝0，其中正確結論的個數為()A.1B.2C.3D.43.設i為虛數單位，復數z滿足i(z＋1)＝1，則復數z＝()A.1＋iB.1﹣iC.﹣1﹣iD.﹣1＋i4.已知a為實數，若復數z＝(a2﹣1)＋(a＋1)i為純虛數，則eq\f(a＋i2020,1＋i)＝()A.1B.0C.1＋iD.1﹣i考點3復數的幾何意義與復數幾何意義相關的問題的一般解法第一步，進行簡單的復數運算，將復數化為標準的代數形式；第二步，把復數問題轉化為復平面的點之間的關系，依據是復數a＋bi與復平面上的點(a，b)一一對應.(1)設復數z滿足|z﹣i|＝1，z在復平面內對應的點為(x，y)，則()A.(x＋1)2＋y2＝1B.(x﹣1)2＋y2＝1C.x2＋(y﹣1)2＝1D.x2＋(y＋1)2＝1(2)設z＝﹣3＋2i，則在復平面內z對應的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(3)已知z＝(m＋3)＋(m﹣1)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是()A.(﹣3，1)B.(﹣1，3)C.(1，＋∞)D.(﹣∞，﹣3)復平面內的點、向量及向量對應的復數是一一對應的，要求某個復數對應的點，只需確定復數的實部和虛部即可.1.如圖，在復平面內，復數z1，z2對應的向量分別是eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，則復數z1·z2對應的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若復數z滿足|z﹣i|≤eq\r(2)(i為虛數單位)，則z在復平面內所對應的圖形的面積為________.3.已知復數z1＝﹣1＋2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣4i，它們在復平面內對應的點分別為A，B，C，若eq\o(OC,\s\up8(→))＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＋μeq\o(OB,\s\up8(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________.數系的擴充與復數的引入一、選擇題1.已知復數z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，則eq\f(z1,z2)等于()A.﹣8﹣6iB.﹣8＋6iC.8＋6iD.8﹣6i2.設(1﹣i)x＝1＋yi，其中x，y是實數，則x＋yi在復平面內所對應的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若復數z＝eq\f(a,1＋i)＋1為純虛數，則實數a＝()A.﹣2B.﹣1C.1D.24.已知eq\f(（1－i）2,z)＝1＋i(i為虛數單位)，則復數z等于()A.1＋iB.1﹣iC.﹣1＋iD.﹣1﹣i5.若復數z滿足eq\f(z,1－i)＝i，其中i為虛數單位，則共軛復數eq\x\to(z)＝()A.1＋iB.1﹣iC.﹣1﹣iD.﹣1＋i6.已知(1＋eq\f(2,i))2＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數單位)，則a＋b＝()A.﹣7B.7C.﹣4D.47.設復數z1，z2在復平面內對應的點關于實軸對稱，z1＝2＋i，則eq\f(z1,z2)＝()A.1＋iB.eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC.1＋eq\f(4,5)iD.1＋eq\f(4,3)i二、填空題8.設復數z滿足eq\x\to(z)＝|1﹣i|＋i(i為虛數單位)，則復數z＝________.9.設z＝eq\f(1,1＋i)＋i(i為虛數單位)，則|z|＝________.10.已知復數z＝eq\f(4＋2i,（1＋i）2)(i為虛數單位)在復平面內對應的點在直線x﹣2y＋m＝0上，則m＝________.1.若(1﹣mi)(m＋i)＜0，其中i為虛數單位，則m的值為()A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣42.若虛數(x﹣2)＋yi(x，y∈R)的模為eq\r(3)，則eq\f(y,x)的最大值是()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\r(3)3.﹣3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一個根，且p，q∈R，則p＋q＝________.4.已知復數z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2018,1＋i)，則復數z在復平面內對應點的坐標為________.1.設有下列四個命題：p1