新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點突破學(xué)案1.5《導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用》（原卷版）

第第頁第5講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用[考情分析]1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)是高考的常見題型，而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列等的交匯命題是高考的熱點和難點.2.多以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大.母題突破1導(dǎo)數(shù)與不等式的證明母題已知函數(shù)f(x)＝ex﹣x2.(1)求曲線f(x)在x＝1處的切線方程；(2)求證：當(dāng)x>0時，eq\f(ex＋2－ex－1,x)≥lnx＋1.思路分析?求切線方程↓?fx≥e﹣2x＋1↓?ex﹣x2﹣e﹣2x﹣1≥0↓?ex＋2﹣ex﹣1≥x2↓?eq\f(ex＋2－ex－1,x)≥x≥lnx＋1[子題1]已知函數(shù)f(x)＝ex﹣ax﹣a，當(dāng)a＝1時，令g(x)＝eq\f(x2,2fx).求證：當(dāng)x>0時，g(x)<1.[子題2]已知函數(shù)f(x)＝ln

eq\f(e,x).若x∈(0,1)，求證：f(x)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)－x2))ex.規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題的方法(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)﹣g(x)>0(或f(x)﹣g(x)<0)，進而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)﹣g(x).(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論.(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同結(jié)構(gòu)變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).1.設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1﹣x)，函數(shù)g(x)＝eq\f(x＋fx,xfx).求證：g(x)<1.2.已知函數(shù)f(x)＝ex﹣a﹣ln(x＋a).當(dāng)a≤1時，證明：f(x)>0.專題強化練1.已知函數(shù)f(x)＝ex﹣x﹣1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)當(dāng)x≥0時，求證：f(x)＋x＋1≥eq\f(1,2)x2＋cosx.2.設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(a﹣x)﹣x＋e.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a＝e時，證明：f(e﹣x)<ex＋eq\f(x,2e).母題突破2恒成立問題與有解問題母題已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2﹣x.(1)當(dāng)a＝1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范圍.2思路分析一??x≥0，fx≥eq\f(1,2)x3＋1↓?分離參數(shù)a≥gx↓?a≥gxmax↓?求gxmax思路分析二??x≥0，fx≥eq\f(1,2)x3＋1↓?等價變形↓?構(gòu)造新函數(shù)↓?求新函數(shù)的最值[子題1]已知函數(shù)f(x)＝ex﹣ax﹣1.若f(x)≤x2在x∈(0，＋∞)上有解，求實數(shù)a的取值范圍.[子題2]已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax(a∈R).若f(x)≥1﹣ln(x＋1)對任意的x∈[0，＋∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.規(guī)律方法(1)由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題的策略①求最值法：將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題.②分離參數(shù)法：將參數(shù)分離出來，進而轉(zhuǎn)化為a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出f(x)的最值，即得參數(shù)的范圍.(2)不等式有解問題可類比恒成立問題進行轉(zhuǎn)化，要理解清楚兩類問題的差別.1.已知函數(shù)f(x)＝xlnx.(1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)當(dāng)x≥1，f(x)≤ax2﹣a，求a的取值范圍.2.已知函數(shù)f(x)＝aex＋1，g(x)＝lnx.(1)討論函數(shù)h(x)＝g(x)＋eq\f(xfx－x,ex)的單調(diào)性；(2)若xf(x)<﹣g(x)＋1，求a的取值范圍.專題強化練1.已知函數(shù)f(x)＝ax2lnx與g(x)＝x2﹣bx.(1)若f(x)與g(x)在x＝1處有相同的切線，求a，b的值.(2)若對?x∈[1，e]，都?b∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))使f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范圍.2.已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)﹣ax.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x≥0時，不等式f(x)≤ex﹣1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.母題突破3零點問題母題已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)，g(x)＝tanx.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)F(x)＝f(x)﹣g(x)，試判斷F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)的零點個數(shù).思路分析?求f′x，判斷f′x的符號↓?等價變形Fx＝0，構(gòu)造新函數(shù)hx＝xsinx﹣excosx↓?分類討論hx的單調(diào)性[子題1]已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\f(xa,ax)(x>0)，若曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.[子題2]設(shè)函數(shù)f(x)＝aln(x＋1)＋x2(a∈R).函數(shù)g(x)＝ax﹣1，證明：當(dāng)a≤2時，函數(shù)H(x)＝f(x)﹣g(x)至多有一個零點.規(guī)律方法(1)三步求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區(qū)間上的交點問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)；第三步：結(jié)合圖象求解.(2)已知零點求參數(shù)的取值范圍：①結(jié)合圖象與單調(diào)性，分析函數(shù)的極值點；②依據(jù)零點確定極值的范圍；③對于參數(shù)選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩藴蔬M行討論.1.已知函數(shù)f(x)＝ex﹣ax＋2a，a∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù).2.設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋mln(x＋1)(m∈R).(1)若m＝﹣1，求曲線f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上存在唯一零點，求實數(shù)m的取值范圍.專題強化練1.已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣eq\i\su(k＝1,n,)eq\f(－1k－1·x－1k,k).(