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二重積分的變量變換公式用極坐標(biāo)計算二重積分§4二重積分的變量變換1/26/20241精選課件ppt滿足一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換定理21.13變換:是一一對應(yīng)的,一、二重積分的變量變換公式1/26/20242精選課件ppt則1/26/20243精選課件ppt證:根據(jù)定理條件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的

直線分割區(qū)域任取其中一個小矩形,其頂點為通過變換T,在xoy面上得到一個四邊形,其對應(yīng)頂點為則1/26/20244精選課件ppt同理得當(dāng)h,k充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四

邊形,故其面積近似為1/26/20245精選課件ppt因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,

直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時,

1/26/20246精選課件ppt例1.

計算其中D是x=0,y=0,

x+y=1所圍區(qū)域.解則令1/26/20247精選課件ppt1/26/20248精選課件ppt例2.

求拋物線y2=mx,y2=nx和直線所圍區(qū)域D的面積.解令1/26/20249精選課件ppt當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分,

或者被積函數(shù)含有x2+y2時，采用極坐標(biāo)變換往往能簡化二重積分的計算.此時,

二、用極坐標(biāo)計算二重積分1/26/202410精選課件ppt則(ii)若原點在D內(nèi)，則(i)若原點在D外，1/26/202411精選課件ppt(iii)若原點在D的邊界上，(iv)若區(qū)域D可表示為則1/26/202412精選課件ppt例3.

計算

其中1/26/202413精選課件ppt例4.

求球體

被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解由對稱性可知1/26/202414精選課件ppt例5.計算

其中解的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于坐標(biāo)計算.作極坐標(biāo)系變換，有1/26/202415精選課件ppt例6.

求橢球體解:由對稱性令則的體積V.

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