五年級(jí)奧數(shù) 多次相遇、追及問題

五年級(jí)奧數(shù)多次相遇、追及問題

兩物體在同一直線或封閉圖形上運(yùn)動(dòng)所涉及的追及、相遇、

相撞問題，通常歸為追及問題。這類常常會(huì)在考試考到，一般

分為兩種：一種是雙人追及、雙人相遇，此類問題比較簡單；

一種是多人追及、多人相遇，此類則較困難。其公式有：速度

差X追及時(shí)間二路程差，路程差?速度差二追擊時(shí)間(同向追擊

等。解追及問題的常規(guī)方法是根據(jù)位移相等來列方程，勻變速

直線運(yùn)動(dòng)位移公式是一個(gè)一元二次方程，所以解直線運(yùn)動(dòng)問題

中常要用到二次三項(xiàng)式(y=ax2+bx+c)的性質(zhì)和判別式(△

2

=b-4ac)0

速度差X追及時(shí)間二路程差

路程差：速度差二追及時(shí)間(同向追擊)

速度差二路程差一追及時(shí)間

甲經(jīng)過路程一乙經(jīng)過路程二追及時(shí)相差的路程

例題1

甲、乙兩車分別從A,B兩地出發(fā)，并在A,B兩地間不

斷往返行駛。已知甲車的速度是25千米/時(shí)，乙車的速度是

15千米/時(shí)，甲、乙兩車第三次相遇地點(diǎn)與第四次相遇地點(diǎn)相

差100千米。求A,B兩地的距離

【分析】：

解題思路：多次相遇問題,最好把全程分成分?jǐn)?shù)去考慮

甲乙的速度比是25:15=5:3，第一次相遇兩車共行了一

3

個(gè)全程,其中乙行了］。第三次兩車共行了5個(gè)全程，乙行了

3J

5x8=8個(gè)全程，第四次相遇兩車共行了7個(gè)全程，乙行了7

3c575I

X1二2G個(gè)全程，兩次路程差是/屋1=］個(gè)全程，所以AB兩

地相距200千米。

例題2

甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，乙的速度是

甲的|，二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到B地，乙到A地后立即返

回。已知二人第二次相遇到地點(diǎn)距第一次相遇的地點(diǎn)是20千

米，那么，A、B兩地相距多少千米？

【分析】：

第一次相遇，甲乙的路程和是一個(gè)全程，甲行的路程是全

32

程的g，乙行了全程的《，第二次相遇，甲乙的路程和是3個(gè)

39342

全程，此時(shí)甲行了二1個(gè)全程，兩次相遇的距離是

2

個(gè)全程，即20千米,所以AB的距離是20：釬50千米。

例題3

A、B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到B地，乙騎

摩托車從B地出發(fā)，不停地往返于A、B兩地之間，他們同

時(shí)出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追

上甲，問：當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí),乙追上甲幾次？

【分析】:

甲一J—?

「--------------乙

第一次相遇第一次追上

由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在

100-80=20（分鐘）內(nèi)所走的路程恰等于線段FA的長度再加

上線段AE的長度，即等于甲在（80+100）分鐘內(nèi)所走的路程,

因此，乙的速度是甲的9倍（=180-201則BF的長為AF的

9倍，所以，甲從A到B，共需走80x（1+9）=800（分鐘）,

乙第一次追上甲時(shí)，所用的時(shí)間為100分鐘，且與甲的路程差

為一個(gè)AB全程.從第一次追上甲時(shí)開始，乙每次追上甲的路程

差就是兩個(gè)AB全程，因此，追及時(shí)間也變?yōu)?00分鐘，所以,

在甲從A到B的800分鐘內(nèi)，乙共有4次追上甲，即在第100

分鐘，300分鐘,500分鐘和700分鐘.

例題4

快車與慢車分別從甲、乙兩地同時(shí)開出，相向而行，經(jīng)過5

小時(shí)相遇。已知慢車從乙地到甲地用12.5小時(shí)，慢車到甲地停

留1小時(shí)后返回，快車到乙地停留2小時(shí)后返回,那么兩車從

第一次相遇到第二次相遇共需多長時(shí)間？

【分析】：

慢車相遇后經(jīng)過12.5-5=7.5小時(shí)到甲地,13.5小時(shí)后從

甲地返回。所以甲乙的速度比是7.5:5二3:20因?yàn)閮绍嚨谝?/p>

次相遇時(shí)共行甲、乙兩地的一個(gè)單程，第二次相遇時(shí)共行三個(gè)

單程，所以若兩車都不停留,則第一次相遇到第二次相遇需10

小時(shí)?，F(xiàn)在慢車停留1時(shí)，快車停留2小時(shí)，所以第一次相遇

后11小時(shí)兩車間的距離還需快車再行1小時(shí)。這段距離兩車

需行3+(3+2)=0.6小時(shí)。從第一次相遇到第二次相遇共需

11.6小時(shí)。

例題5

A、B兩地間的距離是950米.甲、乙兩人同時(shí)由A地出

發(fā)往返鍛煉.甲步行每分走40米,乙跑步每分行150米,40分后

停止運(yùn)動(dòng).甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距B地最近，距離是多

少米？

【分析】：

甲40分鐘行了40x40=1600米,即甲還沒有返回到A

地，第一次相遇，甲乙行了兩個(gè)全程，行了950x2*150+40：

二10分，甲距離B地950-10x40=550米，第二次相遇，乙

比甲多行了2個(gè)全程，距B地950-950x2+(150-40)x40

^200米，第三次相遇，甲乙共行了4個(gè)全程，距B地950-950

x4-(150+40)X40=150米，第四次相遇，乙比甲多行了4

個(gè)全程，甲行了950x4：(159-40)個(gè)0=1381.8米，距B

地1381.8-950=431.8米。所以第三次相遇近。

方法一：不用比例

甲40分鐘行了40x40=1600米，即甲還沒有返回到A地，第

一次相遇，甲乙行了兩個(gè)全程，行了950x2-(150+40)=10

分，甲距離B地950-10x40=550米，第二次相遇，乙比甲多

行了2個(gè)全程，距B地950-950x2+(150-40)x40300

米，第三次相遇，甲乙共行了4個(gè)全程，距B地950-950x4

:(150+40)x40=150米,第四次相遇，乙比甲多行了4個(gè)

全程,甲行了950x4口(159-40)x40=1381.8米，距B地

1381.8-950=431.8米。所以第三次相遇近。

方法二：用比例，把全程分成19份，那么每次相遇的點(diǎn)占全

程的積分之幾就一目了然了。(略)

例題6

小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓(xùn)

練，小明的速度為6米/秒，小紅的速度為4米/秒.他們同時(shí)

從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘.在這段時(shí)間內(nèi)，他們迎

面相遇了多少次？

【分析】：

第一次相遇時(shí),兩人或?跑完了一個(gè)全程,所用時(shí)間為：100+(6+4)=10(^).此后，兩人每相遇

一次,就要合跑2倍的跑道長，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，兩人