圖“說”小數(shù)疑難雜癥新視角-小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解決問題教學(xué)思考 論文

圖“說”疑難雜癥圖“感”建構(gòu)模型——小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解決問題教學(xué)思考摘要：本文“圖感”具體表現(xiàn)為：小學(xué)生對數(shù)學(xué)表意、以圖表數(shù)、以數(shù)釋圖”的感知與理解能力。1.圖“說”抽屜原理——可視化思維還原學(xué)生視角巧釋難點(diǎn)。2.圖“說”周期規(guī)律——根據(jù)間隔天數(shù)推算星期幾的新視角3.圖“說”奇數(shù)偶數(shù)——圖形表征奇偶數(shù)特征培養(yǎng)直覺4.圖“說”“蝴蝶模型”——化繁為簡中提升數(shù)形關(guān)系的敏感度。關(guān)鍵詞：圖感、疑難雜癥、建構(gòu)模型2018.6名師工作室主持的市級課題《基于微課的小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合典型案例研究》結(jié)題。該課題從內(nèi)容分類、內(nèi)涵界定、價值面闡述小學(xué)“數(shù)形結(jié)合”的課堂表達(dá)特點(diǎn)；且探尋了小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)策略。2019.5新一屆俞潔文名師工作室申報了市級課題《小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”教與學(xué)的實(shí)踐研究》，旨在立足培養(yǎng)學(xué)生“圖感”，提升學(xué)生自覺運(yùn)解決問題的能力。關(guān)于“圖感”內(nèi)涵的認(rèn)定基于三個方面的思考：（1）是學(xué)生關(guān)于數(shù)與圖（形）之間關(guān)系的直覺；（2）是學(xué)生對于數(shù)和形關(guān)系的敏感及辨別能力；（3）是學(xué)生在數(shù)形結(jié)合運(yùn)用中產(chǎn)生的一種對數(shù)學(xué)的敏感與理解。目前主要以課堂教學(xué)、問卷報告、研究論文、學(xué)案編寫、評價樣例設(shè)計(jì)呈現(xiàn)研究成果。本文本文將結(jié)合人教版教材教學(xué)實(shí)例，闡述運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，借助圖形在攻克學(xué)習(xí)疑難建構(gòu)數(shù)學(xué)模型中發(fā)揮的作用。一、圖“說”抽屜原理——可視化思維還原學(xué)生視角巧釋難點(diǎn)數(shù)學(xué)廣角作為小學(xué)數(shù)學(xué)的亮點(diǎn)內(nèi)容拓寬了學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的視野，其教學(xué)內(nèi)容普遍存在容量大難度深的問題，《抽屜原理》更是難中之難，怎樣的解決得以深入淺出？2019.12.13“華東六省一市第二十一屆小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀摩研討活動”中，俞潔文工作室蔣承飛老師作為安徽省參賽代表執(zhí)教屜原理》一課，全課緊扣“總”“至少”“蘋果數(shù)與抽屜數(shù)的關(guān)”三大問題展開探究活動，將數(shù)形結(jié)合與抽屜原理融合展開探究推理建立模型，難點(diǎn)。教學(xué)片斷：【關(guān)于“總有”的認(rèn)識】伴隨3D打印彈珠游戲機(jī)介紹，全課在學(xué)生喜愛的游戲活動中拉開帷幕。游戲規(guī)則：有3個抽屜，給你3個彈珠，只要有2個彈珠進(jìn)入同一個抽屜，就能中獎。問題1：根據(jù)這個規(guī)則，你們最不希望出現(xiàn)什么情況？問題2：還有哪些情況也能中獎？問題3：為什么最不希望出現(xiàn)（1，1，1）？打破4個彈珠3個抽屜的常規(guī)教學(xué)方法，課始呈現(xiàn)3個彈珠進(jìn)入3個抽屜的情況，設(shè)想沒有2個彈珠在同一個抽屜里（即最不利的情況），唯111）一種情況，完成記錄方法的介紹。接慮第4個彈珠，3個抽屜，便于學(xué)生理解，此時第4個彈珠無論怎么放總有一個抽屜里有2個彈珠，感受最不利情況初步蘊(yùn)含平均分。教學(xué)片斷：【關(guān)于“至少”的認(rèn)識】教材編排《抽屜原理》一課直接出示結(jié)論，證明、假設(shè)驗(yàn)證推理”。而抽屜原理實(shí)際上是解決某種特定結(jié)構(gòu)的數(shù)題的模型，是一種數(shù)學(xué)思想方法。讓學(xué)生經(jīng)歷抽屜原理的探究過程，題的結(jié)構(gòu)，可以更好地發(fā)展學(xué)生的抽象能力和推理能力。因此蔣承飛老師設(shè)計(jì)“讓學(xué)生探究歸納總結(jié)出抽屜原理”，期待學(xué)生不僅能理解抽屜原理，更學(xué)生感受歸納演繹的邏輯推理思維。如何讓學(xué)生理解并自主發(fā)現(xiàn)至多數(shù)？游戲規(guī)則：四個彈珠放進(jìn)3個抽屜獲幸運(yùn)星的數(shù)量如下圖。問題：根據(jù)這個規(guī)則，玩一次游戲至少能獲得幾顆幸運(yùn)星？至少是什么意思？可能是幾個？如圖四個彈珠放進(jìn)3個抽屜只有上圖的幾種情況，當(dāng)其中1個抽屜中最多2個彈珠就獲得2顆幸運(yùn)星，當(dāng)其中1個抽屜中最多3個彈珠就獲得3顆幸運(yùn)星，當(dāng)其中1個抽屜中最多4個彈珠就獲得4顆幸運(yùn)星。學(xué)生很容易得出“至少獲得2顆幸運(yùn)星”這一結(jié)論，至少2個是確定的，到底是幾個是不確定的，還有可能是：2個、3個、4個。借助圖形直觀透視化解了“在至多數(shù)中找至少數(shù)”這一難點(diǎn)，并總結(jié)出一個肯定的結(jié)論：把4個彈珠放進(jìn)3個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜里至少有2個彈珠。抽屜原理教師難教學(xué)生難學(xué)的一個重要原因就是模型的建立，蔣老師將抽屜原理中兩個核心關(guān)鍵詞“總有”和“至少”分步理解，“總有”包含了所有的抽屜，“至少”包含了所有的情況，借助圖形表述將看不見的思維可視化，還原學(xué)生視角巧釋教學(xué)難點(diǎn)。二、圖“說”周期規(guī)律——根據(jù)間隔天數(shù)推算星期幾的新視角三年級學(xué)完年月日知識之“2012年2月1日是星期小明3月2日過生日，這一天是星期幾？”學(xué)生解決這一問題的疑難是經(jīng)過日期的準(zhǔn)確判斷與循環(huán)問題的聯(lián)系與對應(yīng)。這類問題有多種推算方法，如：運(yùn)用月2月1日一樣的是星期日期2月8日、15日、22日、29日，之后3月1號星期四、3月2號星期五，這種方法顯然不適合天數(shù)過長的問題。如：還2012年閏年2月29天，2月1號到3月2號共計(jì)31天，頭尾算1次經(jīng)過30天。（29+2-）÷7=4（星期）……2（天），2月1日是星期三余2往后推2天，是星期五。如此復(fù)雜學(xué)生搞不清楚日期算頭算尾的原理，今天記住步驟會了明天又忘了。反現(xiàn)象的周期問題學(xué)生并沒有太大困難，為什么關(guān)于日期的循環(huán)問題屢助圖表可以幫助學(xué)生直觀理解推理的的含義。1.一變，從橫排到豎列的演變。常規(guī)循環(huán)問題通常是橫向排列豎列循環(huán)出現(xiàn)的規(guī)律相同，表述形式有變化。突出都是以“周三、周四、周五、周六、周日、周一、周二”為一個周期不斷重復(fù)出現(xiàn)……2.二變，增加日期與星期幾相互對應(yīng)（見下左圖）。如果1號是周三，15號是周幾呢？日期自身按自然數(shù)遞進(jìn)排列不具備循環(huán)規(guī)律7天一循環(huán)變化的規(guī)律，當(dāng)日期依附于星期7天一循環(huán)便同步產(chǎn)生了規(guī)律。根據(jù)這個規(guī)律來推算，15÷7=2（星期）……1（天）是第3個星期的第1天。3.三變，呈現(xiàn)生活中的月歷（見上2012年2月1日是星期三，小明3月2日過生日，這一天是星期幾？觀察月歷表三開始，按照“周三、周四、周五、周六、周”的規(guī)律循環(huán)…2012年2月有29天，2月1號到3月2號共計(jì)31天，把31天放入七個一組列式（29+2）÷7=4（個星期）…3（天），推理剩余3天是第五個循環(huán)第三即星期五。運(yùn)用計(jì)算的方法推算天數(shù)星期幾，一直是學(xué)習(xí)難點(diǎn)與易錯點(diǎn)。上述學(xué)習(xí)過程，借助圖表直觀尋找從—周幾”為一個7天的循環(huán)，再找出從頭的日期一共多少天，放入循環(huán)中推算經(jīng)過n個循環(huán)余下幾天，余下天數(shù)在第n+1個循環(huán)中重新排列，余下幾天就排在第幾。當(dāng)心中有一張圖表，問題么困難了。三、圖“說”奇數(shù)偶數(shù)——圖形表征奇偶數(shù)特征培養(yǎng)直覺思維五年級下冊第二單元涉及“和的”教學(xué)內(nèi)容，和的奇偶性有什么如何證明？教材要求運(yùn)用舉例、借助幾何直觀的圖示、說理等方法解識兩數(shù)之和奇偶性的規(guī)律。通常學(xué)生選用舉例的方法，但是舉例不能母說理涉及到高難度的字母化簡，因此借助幾何直觀的圖示探究規(guī)律的方法。如何選擇適當(dāng)圖形表征奇數(shù)與偶數(shù)呢？教學(xué)片斷：【圖形表征奇偶數(shù)】1.秒殺比眼力（第一組）：一個小1，快速判斷下面組合圖形正方形個數(shù)表示的是奇數(shù)還是偶數(shù)？（下左圖）觀察發(fā)現(xiàn)（下左圖）偶數(shù)個積木形狀是長方形或正方形，奇數(shù)個一排，排成兩行總會多出一塊。小正方形個數(shù)不變，調(diào)整拼搭形狀，（上右圖）奇數(shù)和與奇以變成長方形，就是偶數(shù)個。2的倍數(shù)，用2個為一組的長方形數(shù)，奇數(shù)用2個為一組的長方形再加1個小正方形的圖形表示。2.秒殺比眼力（第二組）：用□表示1，快速判斷組合圖形中的小正方形個數(shù)表示的是奇數(shù)還是偶數(shù)？以上兩組“秒殺比眼”活動，讓學(xué)生體驗(yàn)用什么樣的圖形表征奇偶數(shù)，一個圖形表示任意一個偶數(shù)或奇數(shù)。判斷一個圖形是奇數(shù)還是偶數(shù)，后一組，如果最后有單出來的一個就是奇數(shù)，最后沒有單出來的就是列兩個小正方形，共有n列的圖形表示任意一個偶數(shù)，而奇?zhèn)€小正方形。任意一個偶數(shù)和奇數(shù)可以用下圖來表示。用圖形表征奇數(shù)與偶數(shù)的特征繞有趣味，將數(shù)與形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，數(shù)的認(rèn)識不再顯得枯燥乏味，學(xué)生獲得了簡約而不簡單體驗(yàn)。四、圖“說”“蝴蝶模型”——化繁為簡中提升數(shù)形關(guān)系的敏感度五年級第一學(xué)期學(xué)習(xí)多邊形面積的計(jì)算，涉及到組合圖形面積，圖形拼組后陰影面積計(jì)算。如：正方形ABCD的邊長是8厘米，正方形GCEF的邊長是6厘米，求圖中陰影部分的面積。以下是學(xué)生的解答：上左圖的解答思路清晰，用大小兩個正方形面積和減去三個三角形的正確的結(jié)論。上右圖的解答非常巧妙，連接AC得到梯形ACEG，以EG為底，陰影面積恰好等于三角形CEG的面積，也就是小正方形面積的法反映出不同的思維層度。如何讓更多的孩子真正認(rèn)識理解第二中思下圖的訓(xùn)練：在下面的梯形中，面積相等的三角形有哪幾組？通過圖形變式讓學(xué)等高的三角形面積相等。學(xué)生喜歡稱三角形AOD與三角形BDC為一對蝴蝶的翅膀，轉(zhuǎn)變方向翩翩起舞，成為“蝴蝶模型”。將數(shù)與形結(jié)合構(gòu)建模型，解變得簡單，學(xué)生獲得了成功體驗(yàn)。接著將原題改編，只保留正方形GCEF的邊長6厘米，求圖中陰影部分的面積。引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)