八年級講義特殊的平行四邊形

/環(huán)球雅思教育學(xué)科教師講義講義編號：副校長/組長簽字：簽字日期：學(xué)員編號：年級：八課時數(shù)：3課時學(xué)員姓名：TR版輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：孟彥課題19.2特殊的平行四邊形授課日期及時段教學(xué)目的重難點教學(xué)內(nèi)容【基礎(chǔ)知識鞏固】平行四邊形判定定理：1、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。2、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

3、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

4、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

5、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

6、兩組對邊分別平行且相等的四邊形是平行四邊形。7、相鄰兩角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形。矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。矩形的性質(zhì)：①矩形的四個角都是直角；②矩形的對角線相等；注意：矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì).矩形的判定定理：①有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的性質(zhì)：①菱形的四條邊都相等；②菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2注意：菱形也具有平行四邊形的一切性質(zhì)菱形的判定定理：1、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形2、四條邊都相等的四邊形是菱形3、對角線互相平分的四邊形是菱形正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一角是直角的平行四邊形叫做正方形.正方形的性質(zhì)：①正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；②正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)正方形的判定定理：1、四條邊都相等的平行四邊形是正方形2、有一組鄰邊相等的矩形是正方形3、有一個角是直角的菱形是正方形【典型例題分析】矩形1.如圖,工人師傅砌門時,常用木條EF固定矩形門框ABCD,使其不變形,這種做法的根據(jù)是()A.兩點之間線段最短B.矩形的對稱性C.矩形的四個角都是直角D.三角形的穩(wěn)定性解析：因釘上EF后,構(gòu)成△CEF,根據(jù)三角形的穩(wěn)定性使其不變形.答案:D2.把一張長方形的紙片按如圖所示的方式折疊,EM、FM為折痕,折疊后的C點落在B′M或B′M的延長線上,則∠EMF的度數(shù)是()A.85°B.90°C.95°D.100°解析：∠EMF=∠EMB′+∠FMB′=∠BMC′+∠CMC′=×180°=90°答案:B3.如圖,矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則DE=______________________cm.解析：因為按如題圖方式折疊后點B與點D重合，所以DE=BE.設(shè)DE=x，則AE=AB-BE=AB-DE=10-x.在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即42+（10-x）2=x2，解得x=5.8.答案:5.84.如圖,矩形ABCD中，M是CD的中點.求證：（1）△ADM≌△BCM；（2）∠MAB=∠MBA.答案：證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADM=∠BCM，AD=BC.∵M(jìn)是CD的中點，∴DM=CM.∴△ADM≌△BCM.（2）∵△ADM≌△BCM，∴MA=MB.∴∠MAB=∠MBA.5.如圖,四邊形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是對角線AC上的點.（1）如果__________________，則△DEC≌△BFA（請你填上能使結(jié)論成立的一個條件）；（2）證明你的結(jié)論.答案：（1）答案:AE=CF（OE=OF；DE⊥AC,BF⊥AC,DE∥BF等等）（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF.又∵AE=CF,∴AC-AE=AC-CF.∴AF=CE.∴△DEC≌△BFA.6.如圖,在平行四邊形ABCD中，以AC為斜邊作Rt△ACE，又∠BED=90°，則四邊形ABCD是矩形.試說明理由.答案:證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC、BD互相平分.又∵△BED、△AEC是直角三角形，且BD、AC是斜邊，∴OE=BD，OE=AC.∴AC=BD.∴平行四邊形ABCD是矩形.菱形1.如圖,已知菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,OE∥DC,交BC于點E,AD=6cm,則OE的長為()A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm解析：OE是Rt△BOC的斜邊BC上的中線,故OE=BC=AD=3cm.答案:C2.順次連結(jié)矩形各邊中點所得的四邊形是()A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形解析：連結(jié)矩形的兩條對角線，則相鄰兩邊中點的連線是三角形的中位線.由三角形的中位線等于第三邊的一半及矩形兩條對角線相等可得中點四邊形的各邊都相等，故順次連結(jié)矩形各邊中點所得的四邊形是菱形.答案:C3.用兩個邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是()A.等腰梯形B.正方形C.矩形D.菱形解析：因為等邊三角形的三條邊都相等，所以用它拼成的四邊形的四條邊都相等，而四條邊都相等的四邊形是菱形，因此選D.答案:D4.菱形的一個內(nèi)角是120°，一條較短的對角線的長為10，則菱形的周長是______________.解析：由菱形的鄰角互補(bǔ)，可知菱形的另一組內(nèi)角是60°，60°內(nèi)角所對的對角線是較短的.根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可推出菱形邊長是10，因此菱形周長是40.答案:405.如圖所示,在菱形ABCD中,AC、BD相交于O,且AC∶BD=1∶,若AB=2.求菱形ABCD的面積.解：菱形兩對角線將其分割為四個全等的直角三角形.設(shè)AO=x,因為四邊形ABCD為菱形,所以AO=CO,BO=DO,AC⊥BD.又因為AC∶BD=1∶,所以AO∶BO=1∶,BO=.在Rt△ABO中,因為AB2=BO2+AO2,所以AB2=()2+x2=22.所以x=1.所以AO=1,BO=.所以AC=2,BD=.所以菱形的面積為×2×=.6.如圖,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點E.又點F在DE的延長線上，且AF=CE.求證：四邊形ACEF是菱形.答案:證明：∵∠ACB=90°，DE是BC的中垂線，∴E為AB邊的中點.∴CE=AE=BE.∵∠BAC=60°，∴△ACE為正三角形.在△AEF中，∠AEF=∠DEB=∠BAC=60°，而AF=CE，又CE=AE,∴AE=AF.∴△AEF也為正三角形.∴∠CAE=∠AEF=60°.∴ACEF.∴四邊形ACEF為平行四邊形.又CE=AC，∴平行四邊形ACEF為菱形.7.如圖,在一張長12cm、寬5cm的矩形紙片內(nèi)，要折出一個菱形.李穎同學(xué)按照取兩組對邊中點的方法折出菱形EFGH（見方案一），張豐同學(xué)按照沿矩形的對角線AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（見方案二），請你通過計算，比較李穎同學(xué)和張豐同學(xué)的折法中，哪種菱形面積較大？解：（方案一）S菱形=S矩形-4S△AEH=12×5-4××6×=30（cm2）.（方案二）設(shè)BE=x，則CE=12-x,∴AE=.因為四邊形AECF是菱形，則AE2=CE2,∴25+x2=(12-x)2.∴x=.∴S菱形=S矩形-2S△ABE=12×5-2××5×≈35.21(cm2).經(jīng)比較可知，(方案二)張豐同學(xué)所折的菱形面積較大.【重點知識鞏固】矩形1.如圖,矩形ABCG(AB＜BC)與矩形CDEF全等,點B、C、D在同一條直線上,∠APE的頂點P在線段BD上移動,使∠APE為直角的點P的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3解析：觀察易得只有一個,應(yīng)選B.答案:B2.如圖是一塊矩形ABCD的場地，長AB=102m，寬AD=51m，從A、B兩處入口的中路寬都為1m，兩小路會合處路寬為2m，其余部分為草坪，則草坪面積為()A.5050m2B.4900m2C.5000m2D.4998m2解析：根據(jù)平移的性質(zhì)：平移不改變圖形的大小.本題可將兩側(cè)的草坪分別向中間平移1m，向下平移1m，三塊草坪拼成了一個長為100m，寬為50m的矩形，因此草坪的面積為100×50=5000m2.答案:C3.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點G,E為AD的中點,連結(jié)BE交AC于F,連結(jié)FD,若∠BFA=90°,則下列四對三角形:①△BEA與△ACD;②△FED與△DEB;③△CFD與△ABG;④△ADF與△CFB.其中相似的為()A.①④B.①②C.②③④D.①②③解析：由題意,根據(jù)三角形相似的判定方法知,①②③是正確的.答案:D4.如圖,矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果將該矩形沿對角線BD折疊，則圖中陰影部分的面積是___________________.解析：求圖中陰影部分的面積，由三角形的面積公式S△=×底×高，只需知道DE、AB即可.由折疊的特性可知∠DBC′=∠DBC，由AD∥BC得∠ADB=∠DBC，因此∠DBC′=∠ADB，故BE=DE.可設(shè)AE=x，則BE=4-x，在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2+AE2=BE2，即32+x2=（4-x）2，解得x=，BE=.因此陰影部分的面積為.答案:5.如圖,矩形ABCD的對角線相交于點O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE=1∶3，OF=4，求∠ADB的度數(shù)和BD的長.解：由矩形的性質(zhì)可知OD=OC.又由OE∶BE=1∶3可知E是OD的中點.又因為CE⊥OD，根據(jù)三線合一可知OC=CD,即OC=CD=OD，即△OCD是等邊三角形,故∠CDB=60°.所以∠ADB=30°.又由矩形是軸對稱圖形得CD=2OF=8,即BD=2OD=2CD=16.6.如圖,在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上的一點，AF的延長線交DC的延長線于G，DE⊥AG于E，且DE=DC，根據(jù)上述條件，請你在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結(jié)論.答案:證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DC=AB.∴∠DAE=∠AFB.∵DE=DC，∴DE=AB.∵DE⊥AG，∴∠DEA=∠ABF=90°.∴△ABF≌△DEA.7.一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如圖（3）的形式，使點B、F、C、D在同一條直線上.（1）求證:AB⊥ED；（2）若PB=BC，請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并給予證明.答案:(1)證明：由題意得∠A+∠B=90°，∠A=∠D，∠D+∠B=90°，∴AB⊥ED.（2）解:若PB=BC，則有Rt△ABC≌Rt△DBP.∵∠B=∠B，∠A=∠D，PB=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DBP.注：(圖中與此條件有關(guān)的全等三角形還有如下幾對：Rt△APN≌Rt△DCN，Rt△DEF≌Rt△DBP，Rt△EPM≌Rt△BFM)8.現(xiàn)有一張長和寬之比為2∶1的長方形紙片,將它折兩次(第一次折后也可打開鋪平再折第二次),使得折痕將紙片分為面積相等且不重疊的四個部分(稱為一次操作),如圖①(虛線表示折痕).除圖①外,請你再給出三種不同的操作,分別將折痕畫在圖③至圖⑤中(規(guī)定:一個操作得到的四個圖形,和另一個操作得到的四個圖形,如果能夠“配對”得到四組全等的圖形,則就認(rèn)為是相同的操作,如圖①和圖②表示相同的操作).解：如下圖中任意三個都可.菱形1.下列結(jié)論正確的是()A.鄰角相等的四邊形是菱形B.有一組鄰邊相等的四邊形是菱形C.對角線互相垂直的四邊形是菱形D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形解析：根據(jù)菱形的判定定理:對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.答案:D2.菱形的周長為32cm,一個角的度數(shù)是60°,則兩條對角線的長分別是()A.8cm和cmB.4cm和cmC.8cm和cmD.4cm和cm解析：因菱形四邊相等,所以每邊都為8,其對角線平分一組對角,根據(jù)一個角是60°,可求得.答案:C3.在平面上,一個菱形繞它的中心旋轉(zhuǎn),使它和原來的菱形重合,則旋轉(zhuǎn)的角度至少是()A.90°B.180°C.270°D.360°解析：由菱形為中心對稱圖形可知B正確.答案:B4.在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足為E、F,且BE=EC,CF=FD,則∠AEF等于()A.120°B.45°C.60°D.150°解析：因為AE垂直平分BC,所以AB=AC.又因為AB=BC,所以△ABC為等邊三角形.∠BAC=60°,∠EAC=30°.同理可證∠FAC=30°,△AEF是等邊三角形,所以∠AEF=60°.答案:C5.如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC=4,BD的長為()A.B.C.D.8解析：∵ABCD為菱形,∴AB=BC.又∵∠ABC=60°,∴△ABC為等邊三角形.∴AB=BC=AC=4,∠ABO=30°,∠AOB=90°.在△AOB中,OB==.∴BD=BO+OD=.答案:B6.如圖,在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形EFGH為菱形，并說明理由.解：添加條件：對角線相等.理由：連結(jié)AC、BD.在△ABC中，∵AE=BE，BF=CF，∴EF為△ABC的中位線.∴EF=.同理可得FG=，GH=，HE=.又∵AC=BD（添加條件）,∴EF=FG=GH=HE.故四邊形EFGH為菱形.7.如圖,已知過平行四邊形ABCD的對角線交點O作互相垂直的兩條直線EG、FH與平行四邊形ABCD各邊分別相交于點E、F、G、H.求證：四邊形EFGH是菱形.答案:證明：在ABCD中，OD=OB，OA=OC，AB∥CD，∴∠OBG=∠ODE.又∵∠BOG=∠DOE，∴△OBG≌△ODE.∴OE=OG.同理OF=OH.∴四邊形EFGH是平行四邊形.又∵EG⊥FH，∴四邊形EFGH是菱形.8.北京101中學(xué)的學(xué)生為迎接2008年奧運會,美化校園,在周長為12m,夾角為60°的菱形花壇里栽十株花.試證明:不論如何安排,至少有兩株花的距離小于m.答案:證明：如圖,把菱形花壇分成9個菱形,由此可得至少有一個小菱形里要栽兩株花,因為小菱形的對角線長為m,所以至少有兩株花的距離小于m.9.如圖,已知平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于E、F.求證:四邊形AFCE是菱形.答案:證明：∵EF垂直平分AC,∴EF⊥AC,AO=CO.∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD∥BC.∴∠AEO=∠CFO.∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.∴四邊形AECF是平行四邊形.又∵AC⊥EF,∴四邊形AFCE是菱形.【課后強(qiáng)化練習(xí)】矩形1.矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是()A.對角線互相平分B.鄰角互補(bǔ)C.對角線相等D.對角相等答案:C2.在數(shù)學(xué)活動課上，老師和同學(xué)們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是某合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是()A.測量對角線是否相互平分B.測量兩組對邊是否分別相等C.測量一組對角是否都為直角D.測量其中三個角是否都為直角答案:D3.如圖,在△ABC中，∠C=90°，D是AB邊的中點，AC=3，BC=4，則CD=__________.解析：由勾股定理可求AB==5，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求出CD=2.5.答案:2.54.矩形ABCD的兩對角線AC、BD相交于點O,∠AOB=60°,OA=3,則AC=_______________,AB=_________________.解析：∵矩形對