(新高考)高考數(shù)學一輪復習講義+鞏固練習8.13《圓錐曲線壓軸小題突破》(原卷版)

§8.13圓錐曲線壓軸小題突破題型一圓錐曲線與向量、圓等知識的交匯問題例1(1)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1(﹣c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點P是橢圓C上一點，滿足|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))﹣eq\o(PF2,\s\up6(→))|，若以點P為圓心，r為半徑的圓與圓F1：(x＋c)2＋y2＝4a2，圓F2：(x﹣c)2＋y2＝a2都內(nèi)切，其中0<r<a，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(10),4) D.eq\f(\r(15),4)(2)已知A，B分別為橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右頂點，P為橢圓C上一動點，PA，PB與直線x＝3交于M，N兩點，△PMN與△PAB的外接圓的周長分別為l1，l2，則eq\f(l1,l2)的最小值為()A.eq\f(\r(5),4) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(1,4)思維升華高考對圓錐曲線的考查，經(jīng)常出現(xiàn)一些與其他知識交匯的題目，如與平面向量交匯、與三角函數(shù)交匯、與不等式交匯、與導數(shù)交匯等等，這些問題的實質(zhì)是圓錐曲線問題．跟蹤訓練1(1)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2﹣eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點，過F1的直線l與C的左、右兩支曲線分別交于A，B兩點，若l⊥F2B，則eq\o(F2A,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))等于()A．4﹣2eq\r(3) B．4＋eq\r(3)C．6﹣2eq\r(5) D．6＋2eq\r(5)(2)(多選)已知橢圓C：eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<eq\r(5))的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，點Q是圓x2＋(y﹣4)2＝1關于直線x﹣y＝0對稱的曲線E上任意一點，若|PQ|﹣|PF2|的最小值為5﹣2eq\r(5)，則下列說法正確的是()A．橢圓C的焦距為2B．曲線E過點F2的切線斜率為±eq\f(\r(3),3)C．若A，B為橢圓C上關于原點對稱的異于頂點和點P的兩點，則直線PA與PB斜率之積為﹣eq\f(1,5)D．|PQ|＋|PF2|的最小值為2題型二圓錐曲線與三角形“四心”問題例2(1)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是雙曲線C右支上異于頂點的點，點H在直線x＝a上，且滿足eq\o(PH,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PF1,\s\up6(→)),|\o(PF1,\s\up6(→))|)＋\f(\o(PF2,\s\up6(→)),|\o(PF2,\s\up6(→))|)))，λ∈R.若5eq\o(HP,\s\up6(→))＋4eq\o(HF2,\s\up6(→))＋3eq\o(HF1,\s\up6(→))＝0，則雙曲線C的離心率為()A．3B．4C．5D．6(2)過拋物線C：x2＝2py(p>0)上點M作拋物線D：y2＝4x的兩條切線l1，l2，切點分別為P，Q，若△MPQ的重心為Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，則p＝________.思維升華圓錐曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題．但“四心”問題進入圓錐曲線后，讓我們更是耳目一新．在高考數(shù)學復習中，通過研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高數(shù)學解題能力．跟蹤訓練2(1)已知F1(﹣1,0)，F(xiàn)2(1,0)，M是第一象限內(nèi)的點，且滿足|MF1|＋|MF2|＝4，若I是△MF1F2的內(nèi)心，G是△MF1F2的重心，記△IF1F2與△GF1M的面積分別為S1，S2，則()A．S1>S2 B．S1＝S2C．S1<S2 D．S1與S2大小不確定所以S1＝S2.(2)在平面直角坐標系Oxy中，雙曲線C1：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x2＝2py(p＞0)交于點O，A，B，若△OAB的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為________．題型三圓錐曲線在生活中的應用例3(1)根據(jù)圓錐曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角．請解決下面問題：已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2﹣eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點，若從點F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點A(x0,2)反射后，反射光線為射線AM，則∠F2AM的角平分線所在的直線的斜率為()A．﹣eq\r(3)B．﹣eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)(2)第24屆冬奧會，是中國歷史上第一次舉辦的冬季奧運會，國家體育場(鳥巢)成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD(如圖2)，且兩切線斜率之積等于﹣eq\f(9,16)，則橢圓的離心率為()圖1圖2A.eq\f(3,4)B.eq\f(\r(7),4)C.eq\f(9,16)D.eq\f(\r(3),2)思維升華圓錐曲線的光學性質(zhì)、新定義問題、圓錐曲線的應用等內(nèi)容在高考占一席之地．研究圓錐曲線的光學性質(zhì)、新定義問題、圓錐曲線的應用等相關問題，體現(xiàn)出數(shù)學的應用性．跟蹤訓練3(1)如圖所示，橢圓有這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．根據(jù)橢圓的光學性質(zhì)解決下題：已知曲線C的方程為x2＋4y2＝4，其左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，直線l與橢圓C切于點P，且|PF1|＝1，過點P且與直線l垂直的直線l′與橢圓長軸交于點M，則|F1M|∶|F2M|等于()A.eq\r(2)∶eq\r(3) B．1∶eq\r(2)C．1∶3 D．1∶eq\r(3)(2)一個工業(yè)凹槽的軸截面是雙曲線的一部分，它的方程是y2﹣x2＝1，y∈[1,10]，在凹槽內(nèi)放入一個清潔鋼球(規(guī)則的球體)，要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為()A．1B．2C．3D．2.5課時精練1．雙曲線eq\f(x2,9)﹣eq\f(y2,27)＝1上一點P到右焦點F2的距離為6，F(xiàn)1為左焦點，則∠F1PF2的角平分線與x軸交點坐標為()A．(﹣1,0) B．(0,0)C．(1,0) D．(2,0)2．天文學家開普勒的行星運動定律可表述為：繞同一中心天體的所有行星的橢圓軌道的長半軸a的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方的比值都相等，即eq\f(a3,T2)＝k，k＝eq\f(GM,4π2)，其中M為中心天體質(zhì)量，G為引力常量，已知地球繞以太陽為中心天體的橢圓軌道的長半軸長約為1.5億千米，地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，距離太陽最遠的冥王星繞以太陽為中心天體的橢圓軌道的長半軸長約為60億千米，取eq\r(10)≈3.1，則冥王星的公轉(zhuǎn)周期約為()A．157年 B．220年C．248年 D．256年3．已知直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點，O為坐標原點，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)·|eq\o(OA,\s\up6(→))﹣eq\o(OB,\s\up6(→))|，則實數(shù)a的值為()A．±2 B．±eq\r(2)C．±eq\r(3) D．±eq\r(6)4．已知A，B是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)長軸的兩個端點，P，Q是橢圓上關于x軸對稱的兩點，直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2(k1k2≠0)．若橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)，則|k1|＋|k2|的最小值為()A．1B.eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)5．已知在平面直角坐標系Oxy中，點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣y2＝1(a>0)的左、右焦點，點M在雙曲線C的左支上，MF2與雙曲線C的一條漸近線交于點D，且D為MF2的中點，點I為△OMF2的外心，若O，I，D三點共線，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2)B．3C.eq\r(5)D．56．已知雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以OF1為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點M(異于坐標原點O)，若線段MF1交雙曲線于點P，且MF2∥OP，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\r(6)7．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)為拋物線C上的三個動點，其中x1<x2<x3且y2<0，若F為△P1P2P3的重心，記△P1P2P3三邊P1P2，P1P3，P2P3的中點到拋物線C的準線的距離分別為d1，d2，d3，且滿足d1＋d3＝2d2，則P1P3所在直線的斜率為()A．1B.eq\f(3,2)C．2D．38．(多選)設F1，F(xiàn)2同時為橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線C2：eq\f(x2,a\o\al(2,1))﹣eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1(a1>0，b1>0)的左、右焦點，設橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)交于點M，橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1，e2，O為坐標原點，若()A．|F1F2|＝2|MO|，則eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝eq\r(2)B．|F1F2|＝2|MO|，則eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2C．|F1F2|＝4|MF2|，則e1e2的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2)))D．|F1F2|＝4|MF2|，則e1e2的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))9．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點、右焦點分別為A，F(xiàn)，過點A的直線l與C的一條漸近線交于點Q，直線QF與C的一個交點為B，eq\o(AQ,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))，且eq\o(BQ,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，則雙曲線的離心率e為________．10．早在一千多年之前，我國已經(jīng)把溢流孔技術用于造橋，以減輕橋身重量和水流對橋身的沖擊，現(xiàn)設橋拱上有如圖所示的4個溢流孔，橋拱和溢流孔輪廓線均為拋物線的一部分，且四個溢流孔輪廓線相同，建立如圖所示的平面直角坐標系Oxy，根據(jù)圖上尺寸，溢流孔ABC所在拋物線的方程為________，溢流孔與橋拱交點A的橫坐標為________．11．“康威圓定理”是英國數(shù)學家約翰·康威引以為豪的研究成果之一．定理的內(nèi)容是這樣的：如圖，△ABC的三條邊長分別為BC＝a，AC＝