【復(fù)習(xí)】第03講 函數(shù)的概念與性質(zhì)（教師卷）-【寒假銜接講義】高一數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（新人教A專用）

第第頁(yè)第03講函數(shù)的概念與性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、學(xué)習(xí)用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)概念．2、通過函數(shù)的不同表示方法加深對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)．3、學(xué)習(xí)用精確的符號(hào)語言刻畫函數(shù)性質(zhì)的方法，并通過冪函數(shù)的學(xué)習(xí)函數(shù)研究函數(shù)的基本內(nèi)容、過程和方法．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：函數(shù)的概念考點(diǎn)二：定義域考點(diǎn)三：值域考點(diǎn)四：函數(shù)的表示考點(diǎn)五：?jiǎn)握{(diào)性考點(diǎn)六：奇偶性考點(diǎn)七：冪函數(shù)考點(diǎn)八：函數(shù)的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域①構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）；②兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)．3、區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．區(qū)間表示：；；；；．知識(shí)點(diǎn)二、函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明，給自變量求函數(shù)值．圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢(shì)．列表法：列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值．2、分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個(gè)左大括號(hào)括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．知識(shí)點(diǎn)三、函數(shù)定義域的求法（1）確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時(shí)，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合．具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號(hào)的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)時(shí)碰到的所有有意義的限制條件．②當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時(shí)，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義．③當(dāng)函數(shù)用表格給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)的集合．（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對(duì)應(yīng)法則．在同一對(duì)應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對(duì)象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)．（3）求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示．知識(shí)點(diǎn)四、函數(shù)值域的求法實(shí)際上求函數(shù)的值域是個(gè)比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對(duì)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對(duì)二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等．總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對(duì)應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．知識(shí)點(diǎn)五、函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．2、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．3、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號(hào)．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論．4、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．（2）圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．5、單調(diào)性定義的等價(jià)形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個(gè)函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個(gè)基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)．7、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．8、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．實(shí)際上將含參數(shù)問題轉(zhuǎn)化成為恒成立問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問題．知識(shí)點(diǎn)六、基本初等函數(shù)的單調(diào)性1、正比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．2、一次函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．3、反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間．4、二次函數(shù)若，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)七、函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)椋绻嬖?，，使得?duì)于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最大值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最大值，記作．2、最小值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得?duì)于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最小值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖像中的最高點(diǎn)，最小值對(duì)應(yīng)圖像中的最低點(diǎn)，它們不一定只有一個(gè)．知識(shí)點(diǎn)八、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1、函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱為偶函數(shù)．奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱為奇函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）在定義域中，那么在定義域中嗎？具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；（3）的等價(jià)形式為：，的等價(jià)形式為：；（4）由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有；（5）若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有．2、奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)．（2）如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．3、用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性．若，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)九、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，再判斷與之一是否相等．（2）驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證及是否成立即可．（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱．（4）性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷．在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)．因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后判斷與的關(guān)系．首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較．知識(shí)點(diǎn)十、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見結(jié)論（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如．對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．知識(shí)點(diǎn)十一、冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)十二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1、作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知識(shí)點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點(diǎn)；（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．2、作冪函數(shù)圖象的步驟如下：（1）先作出第一象限內(nèi)的圖象；（2）若冪函數(shù)的定義域?yàn)榛?，作圖已完成；若在或上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)軸對(duì)稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱作出第三象限的圖象．3、冪函數(shù)解析式的確定（1）借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值．（2）結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征．（3）如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有，即．4、冪函數(shù)值大小的比較（1）比較函數(shù)值的大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時(shí)，可與0和1進(jìn)行比較．常稱為“搭橋”法．（2）比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大?。?）常用的步驟是：①構(gòu)造冪函數(shù)；②比較底的大??；③由單調(diào)性確定函數(shù)值的大?。R(shí)點(diǎn)十三：解決實(shí)際應(yīng)用問題1、解決實(shí)際應(yīng)用問題的過程2、解決實(shí)際應(yīng)用問題的步驟：第一步：閱讀理解，認(rèn)真審題讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進(jìn)而把握住新信息．第二步：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型．第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果．第四步：再轉(zhuǎn)譯為具體問題作出解答．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：函數(shù)的概念例1．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①與；

②與；③與；

④與A．①② B．①③ C．③④ D．①④【答案】C【解析】①與的定義域是，而，故這兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；②與的定義域都是，，這兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則不同，故這兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；③與的定義域是，并且，對(duì)應(yīng)法則也相同，故這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)；④與是同一函數(shù)；所以是同一函數(shù)的是③④.故選：C.例2．下列各圖中，可表示函數(shù)的圖象的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x值對(duì)應(yīng)唯一的y值，可看出只有選項(xiàng)B符合.故選：B.例3．已知定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，∴當(dāng)時(shí)，，①，當(dāng)時(shí)，，②，，得，解得．故選：B．考點(diǎn)二：定義域例4．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知：且，解得所以定義為，故選：D例5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，即的定義域?yàn)椋?，得，∴的定義域是，故選：A例6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．考點(diǎn)三：值域例7．函數(shù)的值域是________________．【答案】．【解析】，且，，，，，故函數(shù)的值域是．故答案為：例8．函數(shù)的值域是______.【答案】【解析】，，故答案為例9．已知，且，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，解?故答案為：.例10．為不超過的最大整數(shù)，若函數(shù)，，的值域?yàn)?，則的最大值為______．【答案】4【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，，的值域?yàn)椋宰畲笕〉?，最小取到，所以的最大值為，故答案為：4考點(diǎn)四：函數(shù)的表示例11．若函數(shù)f(x)為一次函數(shù)，且f(x+1)f(x)2,f(x)的零點(diǎn)為1，則函數(shù)f(x)的解析式為________..【答案】f（x）＝﹣2x+2【解析】設(shè)f（x）＝kx+b，k≠0，∵f（x+1）＝f（x）﹣2，∴k（x+1）+b＝kx+b﹣2，即k＝﹣2，∵f（x）＝﹣2x+b的零點(diǎn)為1，即f（1）＝b﹣2＝0，∴b＝2，f（x）＝﹣2x+2，故答案為f（x）＝﹣2x+2.例12．已知，那么___________.【答案】【解析】設(shè)，則，所以，，則.故答案為：.例13．已知函數(shù)，則=_________【答案】【解析】.故答案為：-3.考點(diǎn)五：?jiǎn)握{(diào)性例14．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】時(shí)，是增函數(shù)（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)）.只有選項(xiàng)C滿足.故選：C.例15．函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，所以是減函數(shù)，是減函數(shù)，且，即，解得，故答案為：例16．已知函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸是，開口向上，若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則，故答案為：．例17．已知函數(shù)，則不等式的x的解集是________．【答案】【解析】畫出函數(shù)的圖象如圖所示：所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由得，即，解得.故答案為：.例18．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；【解析】（1）是定義在上的奇函數(shù)，，解得：；，；經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)，時(shí)，，則，為奇函數(shù)；，.（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，；，，，，，是在上單調(diào)遞增.例19．已知定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)在R上的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則，，又∵為偶函數(shù)，∴．∴當(dāng)時(shí)，，∴.（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，函數(shù)是偶函數(shù).∴在上單調(diào)遞增.又∵在上單調(diào)遞增，∴.∴，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是（1，2].考點(diǎn)六：奇偶性例20．已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則的值為________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，則有，解得，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則有，則，所以恒成立，即，所以；故答案為：例21．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求關(guān)于m的不等式式的解集.【解析】(1)∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，∴∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則.∴.(2)∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴，因?yàn)樵谏线f增，且為奇函數(shù)，所以在R單調(diào)遞增，∴，解得：，故不等式的解集是.例22．若定義在R上的函數(shù)滿足：，，都有成立，且當(dāng)時(shí)，.（1）求證：為奇函數(shù)；（2）求證：為上的增函數(shù)；（3）若，且，，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1），，可得為奇函數(shù)（2）設(shè)∵∴當(dāng)時(shí)，，則等式左邊大于0故，增函數(shù)得證.（3），.故為增函數(shù)，可得∵恒成立∴，整理得，，或．考點(diǎn)七：冪函數(shù)例23．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍為________.【答案】【解析】?jī)绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故，解得.，故，，.當(dāng)時(shí)，不關(guān)于軸對(duì)稱，舍去；當(dāng)時(shí)，關(guān)于軸對(duì)稱，滿足；當(dāng)時(shí)，不關(guān)于軸對(duì)稱，舍去；故，，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故或或，解得或.故答案為：例24．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).(1)求的值，并確定的解析式；(2)令，求在的值域.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意，綜上所述，的值為，函數(shù)的解析式為.（2）由（1）知，，所以，令，則，，所以，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，的對(duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增；所以，所以函數(shù)在的值域?yàn)?例25．已知函數(shù)，.(1)求方程的解集；(2)定義：.已知定義在上的函數(shù)，求函數(shù)的解析式；(3)在（2）的條件下，在平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.【解析】（1）由，得且，解得，；所以方程的解集為（2）由已知得.（3）函數(shù)的圖象如圖實(shí)線所示：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，其最小值為1.例26．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)(1)求冪函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）依題意有：，解得或；又函數(shù)為偶函數(shù)，則，所以.（2）；由題知：或，所以或.考點(diǎn)八：函數(shù)的應(yīng)用例27．某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額x成正比，其關(guān)系如圖1：投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的年收益與投資額x的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2．(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益和的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元?【解析】（1）由題意可設(shè)，由圖知，函數(shù)和的圖象分別過點(diǎn)和，代入解析式可得，所以（2）設(shè)用于投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為x，用于投資風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的資金為，年收益為y，則，令，則，當(dāng)，即時(shí)，，所以當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為16萬元，風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的資金為4萬元時(shí)年收益最大，最大值為3萬元.例28．為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度單位：毫克/立方米隨著時(shí)間單位：天變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于毫克/立方米時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用．(1)若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑個(gè)單位的凈化劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值．精確到，參考數(shù)據(jù)：取【解析】（1）因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑，所以濃度可表示為：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，由，解得，所以得，當(dāng)時(shí)，由，解得，所以得，綜合得，故若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則有效凈化時(shí)間可達(dá)8天.（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，濃度，因?yàn)?，而，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為，令，解得，所以a的最小值為【真題演練】1．函數(shù)的圖像為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D.2．設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得：，而，故.故選：C.3．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，對(duì)于A，不是奇函數(shù)；對(duì)于B，是奇函數(shù)；對(duì)于C，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；對(duì)于D，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).故選：B4．函數(shù)的定義域是_________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，解得且，故函?shù)的定義域?yàn)椋还蚀鸢笧椋?．已知，函數(shù)若，則___________.【答案】2【解析】，故，故答案為：2.6．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.【答案】1【解析】因?yàn)?，故，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，時(shí)，整理得到，故，故答案為：17．已知函數(shù)則________；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是_________．【答案】

【解析】由已知，，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，等價(jià)于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.8．設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為________；a的最大值為___________．【答案】

0（答案不唯一）

1【解析】若時(shí)，，∴；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），1【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1.函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題，，解得.故選：

D.2．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽，，因此函數(shù)是R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)A，B不滿足；又，選項(xiàng)C不滿足，D符合題意.故選：D3．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的開口向上，對(duì)稱軸為，由于在上遞增，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：A4．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．或【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋院愠闪?，?dāng)時(shí)顯然恒成立，當(dāng)，則，解得，綜上可得；故選：A5．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，若，，且，都有成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以，即是定義在R上奇函數(shù)．又，，且，都有成立，所以在上單調(diào)遞減，又是定義在R上奇函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞減，所以，即，所以，解得．故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C．6．設(shè)的定義域?yàn)镽，且滿足，，若，則（

）A．2023 B．2024 C．3033 D．3034【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，由得，所以，，即，所以所?故選：A.7．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，若對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，不等式恒成立，則不等式的解集是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又為奇函數(shù)，則，且，故，設(shè)，則，故為偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以的解集為，即的解集為.故選：D.8．定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)闉榈呐己瘮?shù)，又，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，又當(dāng)或或時(shí)，，所以的解集為，故選：A.二、多選題9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，最小值是2 B．是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】ABCD【解析】當(dāng)時(shí)，由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為2，故A正確；因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，可得是奇函?shù)，故B正確；任取，且，因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)在上為減函數(shù)，故C正確；同理可得函數(shù)在

上為增函數(shù)，故D正確；故選：ABCD10．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意都有，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的周期為4 D．為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】∵，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確，B錯(cuò)誤；∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，又，∴，∴函數(shù)的周期為4，故C正確；∵函數(shù)，故為偶函數(shù)，故D正確．故選：ACD.11．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．的最小值為 B．在上單調(diào)遞減C．的解集為 D．存在實(shí)數(shù)滿足【答案】ACD【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以，所以，函數(shù)圖象如下所示：可得時(shí)，在時(shí)取得最小值，由偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得在上取得最小值，故A正確；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；由或，解得或，綜上可得的解集為，故C正確；由，，即存在實(shí)數(shù)滿足，故D正確；故選：ACD．12．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)系坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).現(xiàn)在已知，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A．B．C．對(duì)任意，有D．存在非零實(shí)數(shù)，使【答案】ACD【解析】由題意，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以，故C正確；又，則，所以，解得，所以，則，故A正確，B錯(cuò)誤；令，則，解得或，所以存在非零實(shí)數(shù)，使，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為______．【答案】【解析】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得m=1或m=-3，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以實(shí)數(shù)m的值為-3.故答案為：-314．的定義域?yàn)開________.【答案】【解析】由題意，函數(shù)有意義，則滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.15．設(shè)函數(shù)若存在最小值，a的取值范圍___________.【答案】【解析】若時(shí)，，∴；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，∴或，解得，綜上可得；故答案為：16．已知函數(shù)滿足，，且，.若，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】因?yàn)?/p>