一致收斂性及其判別法含參量反常積分的性質

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§2含參量反常積分一致收斂性及其判別法含參量反常積分的性質一、一致收斂性及其判別法都收斂，由反常積分收斂的定義，即其中N

與x

有關.如果存在一個與無關的使得該不等式成立，就稱反常積分在區(qū)間[a,b]上一致收斂設反常積分在[a,b]收斂使得所以上述定義中的不等式由于也可表示為分析要證：證令u=xy,得其中A>0.

由于收斂，故就有取則當對一切有從而所以一致收斂.證因為，有并且反常積分收斂所以證明含參量反常積分在上一致收斂.含參量反常積分在上一致收斂.狄利克雷判別法設⑴存在M>0,

對一切N>c,及一切

x∈[a,b]都有⑵對每一個固定的

x∈[a,b]，函數(shù)g(x,y)關于y

單調遞減且當時，對參量x,g(x,y)一致地收斂于0，則在[a,b]上一致收斂.阿貝爾判別法設⑴⑵對每一個固定的

∈[a,b]，函數(shù)g(x,y)為y

的單調函數(shù)，且存在M>0,使得則在[a,b]上一致收斂.在[a,b]上一致收斂.證因為，反常積分收斂，從而對于參量y

它在[0,d]上一致收斂，函數(shù)對每個x

∈[0,d]，關于參量y

單調減少，且在[0,d]上一致有界：故由阿貝爾判別法，知在[0,d]上一致收斂定理19.9（連續(xù)性）設二、含參量反常積分的性質在連續(xù)，若證在連續(xù)，因為由定理19.8，對任一遞增且趨于的數(shù)列函數(shù)項級數(shù)在

[a,b]上一致收斂.又由于故每個

un(x)都在[a,b]上連續(xù).根據(jù)函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性定理，函數(shù)積分號下求導的定理即:可微性定理表明在定理條件下,求導運算和積分運算可以交換.即例5利用積分號下求導求積分

解因為

因為

故

由數(shù)學歸納法易證于是

積分順序交換定理積分與中有一個收斂，則另一個積分也收斂，且例4計算積分

解

含參量無界函數(shù)非正常積分設在上有定義.若對x

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