計(jì)算機(jī)組成原理運(yùn)算方法運(yùn)算器

第二章運(yùn)算方法與運(yùn)算器

運(yùn)算方法和運(yùn)算器本章內(nèi)容：2.1數(shù)據(jù)與文字的表示方法

2.2定點(diǎn)加法、減法運(yùn)算

2.3定點(diǎn)乘法運(yùn)算

2.4定點(diǎn)除法運(yùn)算

2.5定點(diǎn)運(yùn)算器的組成

2.6浮點(diǎn)運(yùn)算方法和浮點(diǎn)運(yùn)算器本章小結(jié)運(yùn)算方法和運(yùn)算器2.1數(shù)據(jù)與文字的表示方法2.1.1數(shù)據(jù)格式2.1.2數(shù)的機(jī)器碼表示2.1.3字符與字符串的表示方法2.1.4漢字的表示方法2.1.5校驗(yàn)碼數(shù)據(jù)與文字的表示方法2.1.1數(shù)據(jù)格式

計(jì)算機(jī)中常用的數(shù)據(jù)表示格式有兩種：（1）定點(diǎn)格式（2）浮點(diǎn)格式

定點(diǎn)格式（小數(shù)點(diǎn)位置固定）容許的數(shù)值范圍有限，但要求的處理硬件比較簡(jiǎn)單。

浮點(diǎn)格式（小數(shù)點(diǎn)位置浮動(dòng)）容許的數(shù)值范圍很大，但要求的處理硬件比較復(fù)雜。數(shù)據(jù)格式1.

定點(diǎn)數(shù)的表示方法定點(diǎn)表示：約定機(jī)器中所有數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)位置是按約定固定不變的，小數(shù)點(diǎn)就不再使用記號(hào)“.”來(lái)表示。定點(diǎn)數(shù)據(jù)的形式：純小數(shù)或純整數(shù)。

（設(shè)：定點(diǎn)數(shù)表示為ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn

其中：ｘ0符號(hào)位，0代表正號(hào)，1代表負(fù)號(hào)）小數(shù)點(diǎn)的位置約定在符號(hào)位x0的后面（不顯示）小數(shù)點(diǎn)的位置約定在數(shù)值位xn的后面（不顯示）定點(diǎn)數(shù)的表示方法定點(diǎn)數(shù)例例：X=+1010110.純整數(shù)：X=01010110.正數(shù)，符號(hào)位取0Y=-1101001.純整數(shù)：Y=11101001.負(fù)數(shù)，符號(hào)位取1X=+0.11011Y=-0.10101符號(hào)位取0純小數(shù)：X=0.11011符號(hào)位取1純小數(shù)：X=1.10101純整數(shù)：X=01010110符號(hào)位取0純整數(shù)：Y=11101001符號(hào)位取1符號(hào)位取0純小數(shù)：X=0.11011符號(hào)位取1純小數(shù)：X=1.10101注意到：無(wú)論是整數(shù)或是小數(shù)，在機(jī)器數(shù)的表示中，都不出現(xiàn)小數(shù)點(diǎn)“.”,只是約定其位置。定點(diǎn)數(shù)例(ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn

各位均為0時(shí)最小；各位均為1時(shí)最大)純小數(shù)的表示范圍：0≤|ｘ|≤1－2－n

(2.1)

純整數(shù)的表示范圍為:

0≤|ｘ|≤2n－1

(2.2)

目前計(jì)算機(jī)中多采用定點(diǎn)純整數(shù)表示，因此將定點(diǎn)數(shù)表示的運(yùn)算簡(jiǎn)稱為整數(shù)運(yùn)算。

定點(diǎn)數(shù)的表示方法2、浮點(diǎn)數(shù)的表示方法例：156.78 =15.678×101

=

1.5678×102

=0.15678×103=M×RE其中：M為尾數(shù)；R為基數(shù)；E為階碼（指數(shù)）。二進(jìn)制數(shù)在定點(diǎn)計(jì)算機(jī)中，一般約定:尾數(shù)|M|<1.0，并按此原則確定各數(shù)據(jù)的浮點(diǎn)表示格式?！嗌侠?156.67=0.15678×103

（規(guī)格化表示法）同理：對(duì)于二進(jìn)制數(shù)+1011.1101=+0.10111101×2+4

=0.10111101×2+100=M×RE那么，計(jì)算機(jī)中究竟采用哪種數(shù)據(jù)形式？顯然存在多種數(shù)據(jù)形式浮點(diǎn)數(shù)的表示方法浮點(diǎn)數(shù)表示可見(jiàn)： 一個(gè)機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)由階碼E和尾數(shù)M及其符號(hào)位組成。約定：尾數(shù)M用定點(diǎn)小數(shù)表示，給出有效數(shù)字的位數(shù)，M決定了浮點(diǎn)數(shù)的表示精度；

階碼E：用整數(shù)形式表示，指明小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)中的位置，其決定了浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍。∴浮點(diǎn)數(shù)的一般形式為：

浮點(diǎn)數(shù)表示按照IEEE754的標(biāo)準(zhǔn)，32位浮點(diǎn)數(shù)和64位浮點(diǎn)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)格式為：其中：Ｓ=浮點(diǎn)數(shù)的符號(hào)位，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)。

Ｍ=尾數(shù)，23位，用純小數(shù)表示。Ｅ=階碼，8位，階符采用隱含方式，即采用移碼方式來(lái)表示正負(fù)指數(shù)。

其中：Ｓ=浮點(diǎn)數(shù)的符號(hào)位，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)。

Ｍ=尾數(shù)，52位，用純小數(shù)表示。Ｅ=階碼，11位，階符采用隱含方式，即采用移碼方式來(lái)表示正負(fù)指數(shù)。

浮點(diǎn)數(shù)表示幾點(diǎn)注釋：

為了提高數(shù)據(jù)的表示精度，當(dāng)尾數(shù)的值不為

0時(shí)，其絕對(duì)值|M|應(yīng)≥0.5，即：尾數(shù)絕對(duì)值域的最高有效位應(yīng)為1，否則通過(guò)修改階碼同時(shí)左右移小數(shù)點(diǎn)的辦法，使其變成這一表示形式，這稱為浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化表示。浮點(diǎn)數(shù)所表示的范圍顯然遠(yuǎn)比定點(diǎn)數(shù)大。以下兩種情況計(jì)算機(jī)都把該浮點(diǎn)數(shù)看成零值，稱為機(jī)器零。⑴當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)M為0；（不論其階碼E為何值）⑵當(dāng)階碼E的值＜Emin值時(shí)。（不管其尾數(shù)M為何值）

浮點(diǎn)數(shù)表示[解:]首先分別將整數(shù)和分?jǐn)?shù)部分轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)：20.59375＝10100.10011然后移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)，使其在第1，2位之間

10100.10011＝1.010010011×24

小數(shù)點(diǎn)被左移了4位，于是得到：e＝4

尾符

S＝0，階碼

E＝4＋127＝131，尾數(shù)

M＝010010011最后得到32位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制存儲(chǔ)格式為：01000001101001001100000000000000

＝(41A4C000)16此“1”被隱藏[例]：將十進(jìn)制數(shù)20.59375轉(zhuǎn)換成位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制格式來(lái)存儲(chǔ)。

3.十進(jìn)制數(shù)串的表示方法十進(jìn)制數(shù)串在計(jì)算機(jī)內(nèi)主要有兩種表示形式：

1.字符串形式字符串形式：每一個(gè)十進(jìn)制的數(shù)位或符號(hào)位都用一個(gè)字節(jié)存放。如：+12

+12-38-382.壓縮的十進(jìn)制數(shù)串形式壓縮的十進(jìn)制數(shù)串形式：一個(gè)字節(jié)存放兩個(gè)十進(jìn)制的數(shù)位。如：+123、-12

123C(＋123)012D(－12)十進(jìn)制數(shù)的表示方法在傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu)中，用指令本身來(lái)說(shuō)明操作數(shù)據(jù)的類型。如:定點(diǎn)加法表示操作數(shù)是純小數(shù)或純整數(shù)；浮點(diǎn)加法表示操作數(shù)是浮點(diǎn)數(shù)；十進(jìn)制加法表示操作數(shù)是BCD數(shù)。由于操作數(shù)據(jù)類型不同，要設(shè)三種不同的指令(操作碼)來(lái)加以區(qū)分。4.

自定義數(shù)據(jù)表示數(shù)串的表示自定義數(shù)據(jù)表示則用數(shù)據(jù)本身來(lái)說(shuō)明數(shù)據(jù)類型。表示形式有兩種，即標(biāo)志符數(shù)據(jù)表示和描述符數(shù)據(jù)表示。標(biāo)志符數(shù)據(jù)表示:要求對(duì)每一個(gè)數(shù)據(jù)都附加標(biāo)志符，其格式如下：標(biāo)識(shí)符數(shù)據(jù)其中:標(biāo)志符指明后面的數(shù)據(jù)所具有的類型，如整數(shù)、浮點(diǎn)數(shù)、BCD數(shù)、字符串等。數(shù)串的表示描述符數(shù)據(jù)表示:主要用來(lái)描述多維結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)類型，如向量、矩陣、記錄等。其格式為：描述符標(biāo)志位特征標(biāo)記數(shù)據(jù)塊長(zhǎng)度數(shù)據(jù)塊起始地址

指明這是一個(gè)數(shù)據(jù)描述符指明數(shù)據(jù)的特征指明數(shù)組中元素個(gè)數(shù)指明數(shù)據(jù)塊的首地址注：描述符指令中并未給出具體數(shù)據(jù)，僅指出數(shù)據(jù)的性質(zhì)和存儲(chǔ)地點(diǎn)。標(biāo)志符與描述符表示的區(qū)別：參見(jiàn)教材P23數(shù)串的表示2.1.2數(shù)的機(jī)器碼表示

基本思想：把符號(hào)位和數(shù)字位一起編碼來(lái)表示一個(gè) 實(shí)際的數(shù)。主要表示方法有：原碼、補(bǔ)碼、反碼、移碼等。各種編碼表示的數(shù)稱為機(jī)器數(shù)或機(jī)器碼；其對(duì)應(yīng)的真實(shí)數(shù)值稱為該編碼對(duì)應(yīng)的真值。數(shù)的機(jī)器碼表示1.原碼表示法若定點(diǎn)小數(shù)為:x=±0.ｘ1ｘ2…ｘn,則其原碼表示的定義是：式中[ｘ]原是機(jī)器數(shù)，ｘ是真值。例如，ｘ＝+0.1001，則[ｘ]原＝0.1001ｘ＝-0.1001，則[ｘ]原＝1.1001數(shù)值符號(hào)數(shù)的原碼表示x1>x≥01-x=1+|x|0≥

x>-1對(duì)于定點(diǎn)整數(shù)

x=±ｘ1ｘ2…ｘn，則原碼的定義是:對(duì)于定點(diǎn)整數(shù)，其原碼形式為：

[ｘ]原=ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn,數(shù)的原碼表示ｘ2n＞ｘ≥02n－ｘ＝2n＋|ｘ|

0≥ｘ＞－2n（2.8）符號(hào)數(shù)值例如，ｘ＝+11001，則[ｘ]原＝011001ｘ＝-10101，則[ｘ]原＝110101數(shù)的原碼表示注意到：“+0”、“-0”

原碼在機(jī)器中有兩種形式：對(duì)于定點(diǎn)小數(shù)：[+0]原=0.000…0[-0]原=1.000…0對(duì)于定點(diǎn)整數(shù)：[+0]原=0000…0.[-0]原=1000…0.

∴

對(duì)于定點(diǎn)小數(shù)，其真值與原碼之間的轉(zhuǎn)換一般符合下面的規(guī)律：

x=+0.ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝0.ｘ1ｘ2…ｘnx=-0.ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝1.ｘ1ｘ2…ｘn

對(duì)于定點(diǎn)整數(shù)，其真值與原碼之間的轉(zhuǎn)換一般符合下面的規(guī)律：

x=+ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝0ｘ1ｘ2…ｘn.x=-ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝1ｘ1ｘ2…ｘn.

原碼表示法的主要特點(diǎn)是簡(jiǎn)單、易懂，但它的最大缺點(diǎn)是：由于數(shù)值部分采用絕對(duì)值表示，因而使得加減法運(yùn)算比較復(fù)雜，而加減法運(yùn)算正是計(jì)算機(jī)中最常使用的運(yùn)算。所以，必須探討解決方法——補(bǔ)碼則正是一種解決方法。數(shù)的原碼表示2.補(bǔ)碼表示法

補(bǔ)碼的概念（以鐘表對(duì)時(shí)為例）

假設(shè)現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為4點(diǎn)正；而有一只表已經(jīng)7點(diǎn)了，為了校準(zhǔn)時(shí)間，可以采用兩種方法：一是將時(shí)針退3格(7-3=4)；另一方法是將時(shí)針向前撥9格（7+9=16----4）。顯然：這兩種方法都能對(duì)準(zhǔn)到4點(diǎn)，由此可以看出，減3和加9是等價(jià)的。所以稱：當(dāng)模數(shù)Mod=12時(shí)，9是(-3)補(bǔ)碼。用數(shù)學(xué)公式表示：-3＝+9 （mod12）“?！北硎颈粊G掉的數(shù)值。上式在數(shù)學(xué)上稱為同余式。

∴設(shè)某數(shù)為x，當(dāng)Mod=12時(shí)，x-3=x+9、x+7=x-5都是等價(jià)的。從這里可以得到一個(gè)啟示，就是當(dāng)負(fù)數(shù)用補(bǔ)碼表示時(shí)，可以把減法轉(zhuǎn)化為加法。數(shù)的補(bǔ)碼表示補(bǔ)碼的定義：1、定點(diǎn)小數(shù)例如

ｘ＝+0.1011，則[ｘ]補(bǔ)＝0.1011；ｘ＝-0.1011，則[ｘ]補(bǔ)＝10+ｘ＝10.0000-0.1011

＝1.0101正數(shù)的補(bǔ)碼就是本身負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼需作運(yùn)算數(shù)的補(bǔ)碼表示x1>x≥02+x=2-|x|0≥

x≥-1(mod2)10.0000

-0.10111.0101

可見(jiàn)，根據(jù)補(bǔ)碼定義，求負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼時(shí)需作一次減法運(yùn)算，這顯然不是補(bǔ)碼方法的初衷。后面將介紹反碼表示法可以解決負(fù)數(shù)的求補(bǔ)問(wèn)題。2、定點(diǎn)整數(shù)例：已知 x=+10111, y=-11011,求[x]補(bǔ)、[y]補(bǔ)

(n=5)按定義：[x]補(bǔ)=010111 [y]補(bǔ)=25+1+y=1000000-11011=100101數(shù)的補(bǔ)碼表示x2n

>x≥0

2n+1+x=2n+1-|x|0≥

x≥-2n(mod

2n+1)

100000011011100101注：上式機(jī)器數(shù)的位數(shù)為n+1數(shù)的補(bǔ)碼表示注：0的補(bǔ)碼只有一種形式

對(duì)于定點(diǎn)小數(shù):[＋0]補(bǔ)＝[－0]補(bǔ)＝0.0000

對(duì)于定點(diǎn)整數(shù):[＋0]補(bǔ)＝[－0]補(bǔ)＝00000.

因此，補(bǔ)碼的表示范圍相對(duì)于原碼、反碼來(lái)講多一種，定點(diǎn)小數(shù)可以表示-1，n+1位定點(diǎn)整數(shù)可以表示-2n。3.反碼表示法二進(jìn)制數(shù)求反：就是二進(jìn)制的各位數(shù)碼0變?yōu)?，1變?yōu)?。即：若xi=0，則=1。若xi=1，則=0.對(duì)定點(diǎn)小數(shù)，反碼的定義參見(jiàn)書(shū)（2.11)式。數(shù)的反碼表示正數(shù)的反碼就是本身負(fù)數(shù)的反碼則是：符號(hào)位為1，數(shù)值位求反。x1>x≥0(2-

2-n)

+x=(2-

2-n)_|x|0≥

x>-1(2.11)由式（2.11）可以得出：[x]反+|x|=1.111…1=10.0…0-0.00…1=2-

2-n

得出：

[ｘ]反＝(2－2－n)＋ｘ

0≥

x>-1數(shù)的反碼表示比較反碼與補(bǔ)碼的公式

[ｘ]反＝(2－2－n)＋ｘ

[ｘ]補(bǔ)＝2＋ｘ可得到：[ｘ]補(bǔ)＝[ｘ]反＋2－n由此可知一個(gè)由反碼求補(bǔ)碼的重要公式，即：一個(gè)負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼，可以通過(guò)將該數(shù)：符號(hào)位置1，其余取反，然后在最末位（2-n

）上加1

的方法直接獲得。數(shù)的補(bǔ)碼與反碼關(guān)系例：已知 x=+0.1011, y=-0.1101,求[x]補(bǔ)、[y]補(bǔ)按定義：[x]補(bǔ)=0.1011 (注：正數(shù)的補(bǔ)碼就是該數(shù)本身）

[y]補(bǔ)=1.0010+0.0001 =1.0011 [y]反2-n注意到：0的反碼不唯一即：[＋0]反＝0.00…0；[－0]反＝1.11…1數(shù)的補(bǔ)碼與反碼關(guān)系對(duì)定點(diǎn)整數(shù)，反碼表示的定義為：也可以用同樣的方法得出定點(diǎn)整數(shù)的補(bǔ)碼與反碼的關(guān)系，找出利用反碼求定點(diǎn)整數(shù)補(bǔ)碼的方法。x2n

>x≥0

(2n+1-1)+x0≥

x≥-2n(2.13)_數(shù)的補(bǔ)碼與反碼關(guān)系

求一個(gè)負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼的另一種有效的轉(zhuǎn)換方法：

對(duì)于負(fù)數(shù)，將原碼的符號(hào)位不變（或直接將符號(hào)位置1），數(shù)值部分由低位向高位轉(zhuǎn)換，對(duì)開(kāi)始遇到的0和第一個(gè)1取其原值不變，第一個(gè)1以后的各位均取反。例：y=-0.110100,求[y]補(bǔ)解：[y]補(bǔ)=1.001

100保持不變逐位取反[y]反=1.001011[y]補(bǔ)=1.001011+0.000001=1.001100數(shù)的補(bǔ)碼與反碼關(guān)系4.移碼表示法

在計(jì)算機(jī)中，移碼通常用于表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼。由于階碼一般取整數(shù)，所以移碼通常只用于整數(shù)的表示。對(duì)定點(diǎn)整數(shù),移碼的定義是：

[ｘ]移＝2n＋ｘ

2n＞ｘ≥－2n（n為移碼數(shù)值部分的位數(shù)）移碼的表示方法例：若階碼數(shù)值部分為5位,以ｘ表示真值，則

[ｘ]移＝25＋ｘ

25＞ｘ≥－25

又例：當(dāng)正數(shù)ｘ＝＋10101時(shí),[ｘ]移＝1,10101

當(dāng)負(fù)數(shù)ｘ＝－10101時(shí),[ｘ]移＝25＋ｘ＝25－10101＝0,01011。注意到：

移碼中的逗號(hào)不是小數(shù)點(diǎn),而是表示左邊一位是符號(hào)位。顯然,移碼中符號(hào)位ｘ0表示的規(guī)律與原碼、補(bǔ)碼、反碼相反。移碼在數(shù)值上與補(bǔ)碼一致，但是符號(hào)位與補(bǔ)碼正好相反！移碼的表示方法機(jī)器碼表示法小結(jié)：在數(shù)據(jù)的四種機(jī)器碼表示法中：正數(shù)的原碼、反碼、補(bǔ)碼等于真值，只有負(fù)數(shù)才分別有不同的表示方法。補(bǔ)碼和移碼的0只有一種表示方法，因此其表示范圍相對(duì)于原碼和反碼多一種，定點(diǎn)小數(shù)可表示-1（移碼沒(méi)有小數(shù)形式），正數(shù)可表示-2n。移碼表示法主要用于表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼，可以直接比較大小。表示范圍和補(bǔ)碼相同，只有最高位相反。機(jī)器碼表示法小結(jié)由于補(bǔ)碼表示對(duì)加減法運(yùn)算十分方便，因此目前機(jī)器中廣泛采用補(bǔ)碼表示法。在這類機(jī)器中數(shù)用補(bǔ)碼表示，補(bǔ)碼存儲(chǔ)，補(bǔ)碼運(yùn)算。（也有些機(jī)器，數(shù)用原碼進(jìn)行存儲(chǔ)和傳送，運(yùn)算時(shí)改用補(bǔ)碼。還有些機(jī)器在做加減法時(shí)用補(bǔ)碼運(yùn)算，在做乘除法時(shí)用原碼運(yùn)算）機(jī)器碼表示法小結(jié)[例3]以定點(diǎn)整數(shù)為例,用數(shù)軸形式說(shuō)明原碼、反碼、補(bǔ)碼表示范圍和可能的數(shù)碼組合情況。

[解:]

原碼、反碼、補(bǔ)碼表示分別示于下圖。與原碼、反碼不同,在補(bǔ)碼表示中，“0”只有一種形式,

且用補(bǔ)碼表示負(fù)數(shù)時(shí)范圍可到－2n

。

機(jī)器碼表示法小結(jié)[例4]將十進(jìn)制真值(－127、－1、0、＋1、＋127)列表表示成二進(jìn)制數(shù)及原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼值。

[解:]

二進(jìn)制真值ｘ及其諸碼值列于下表,其中0在[ｘ]原[ｘ]反中有兩種表示。由表中數(shù)據(jù)可知,補(bǔ)碼值與移碼值差別僅在于符號(hào)位不同。機(jī)器碼表示法小結(jié)[例5]

設(shè)機(jī)器字長(zhǎng)16位,定點(diǎn)表示,尾數(shù)15位,數(shù)符1位,問(wèn)：

(1)定點(diǎn)原碼整數(shù)表示時(shí),最大正數(shù)是多少?最小負(fù)數(shù)是多少?

(2)定點(diǎn)原碼小數(shù)表示時(shí),最大正數(shù)是多少?最小負(fù)數(shù)是多少?

[解:]定點(diǎn)原碼整數(shù)表示

最大正數(shù)值=0111111111111111

＝+(215－1)10＝(＋32767)10

最小負(fù)數(shù)值=1111111111111111

＝－(215－1)10＝(－32767)10（15個(gè)1）機(jī)器碼表示法小結(jié)(2)定點(diǎn)原碼小數(shù)表示

最大正數(shù)值＝(＋0.111...11)＝(1－2－15)10

最小負(fù)數(shù)值＝(－0.111..11)＝－(1－2－15)10

[例6]假設(shè)由S,E,M三個(gè)域組成的一個(gè)32位二進(jìn)制字所表示的非零規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)ｘ,真值表示為：

ｘ＝(－1)s×(1.M)×2E－128

問(wèn)：它所表示的規(guī)格化的最大正數(shù)、最小正數(shù)、最大負(fù)數(shù)、最小負(fù)數(shù)是多少？

[解:](1)最大正數(shù)11111111111111111111111111111110ｘ＝[1＋(1－2-23)]×2127(2)最小正數(shù)

00000000000000000000000000000000ｘ＝1.0×2－128機(jī)器碼表示法小結(jié)(4)最大負(fù)數(shù)

00000000000000000000000000000000ｘ＝－1.0×2－128

11111111111111111111111111111111ｘ＝－[1＋(1－2－23)]×2127

(3)最小負(fù)數(shù)機(jī)器碼表示法小結(jié)2.1.3字符與字符串的表示方法1.字符的表示方法

目前國(guó)際上普遍采用的字符系統(tǒng)是七單位的ASCII碼(美國(guó)國(guó)家信息交換標(biāo)準(zhǔn)字符碼),它包括10個(gè)十進(jìn)制數(shù)碼,26個(gè)英文字母和一定數(shù)量的專用符號(hào),如$,%,＋,＝等，共128個(gè)元素,因此二進(jìn)制編碼需7位,加一位偶校驗(yàn)位,共8位一個(gè)字節(jié)。

ASCII碼規(guī)定8個(gè)二進(jìn)制位的最高一位（b7）恒為0，余下的7位可以給出128個(gè)編碼,表示128個(gè)不同的字符。字符和字符串的表示方法表2.1ASCII字符編碼表0000010100111001011101110000NULDELSP0@Pp0001SOHDC1!1AQaq0010STXDC2“2BRbr0011ETXDC3#3CScs0100EOTDC4$4DTdt0101ENQNAK%5EUeu0110ACKSYN&6FVfv0111DELETB7GWgw1000BSCAN(8HXhx1001HTEM)9IYiy1010LFSUB*:JZjz1011VTESC+;K[k{1100FFFS,<L\1|1101CRGS-=M]m}1110SORS.>Nn~1111SIUS/?O_oDELb3b2b1b0位b6b5b4位2.字符串字符串：是指連續(xù)的一串字符,通常方式下,它們依次占用主存中連續(xù)的多個(gè)字節(jié),每個(gè)字節(jié)存一個(gè)字符。[例]將字符串：

IF└┘A>B└┘THEN└┘READ(C)

從高位字節(jié)到低位字節(jié)依次存在主存中。[解:]設(shè)：主存單元長(zhǎng)度由4個(gè)字節(jié)組成。每個(gè)字節(jié)中存放相應(yīng)字符的ASCII值，文字表達(dá)式中的空格“└┘”在主存中也占一個(gè)字節(jié)的位置。因而每個(gè)字節(jié)分別存放十進(jìn)制的73、70、32、65、62、66、32、84、72、69、78、32、82、69、65、68、40、67、41、32。

字符和字符串的表示方法IF空A>B空THEN空READ（C）空主存各字節(jié)單元內(nèi)容字符和字符串的表示方法2.1.4漢字的表示方法1.漢字的輸入編碼包括：數(shù)字碼、拼音碼和字形碼數(shù)字碼：常用的是國(guó)標(biāo)區(qū)位碼,用數(shù)字串代表一個(gè)漢字輸入。區(qū)位碼是將國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局公布的6763個(gè)兩級(jí)漢字分為94個(gè)區(qū),每個(gè)區(qū)分94位,實(shí)際上把漢字表示成二維數(shù)組,每個(gè)漢字在數(shù)組中的下標(biāo)就是區(qū)位碼。區(qū)碼和位碼各兩位十進(jìn)制數(shù)字,因此輸入一個(gè)漢字需按鍵四次。數(shù)字編碼輸入的優(yōu)點(diǎn)是無(wú)重碼,且輸入碼與內(nèi)部編碼的轉(zhuǎn)換比較方便,。缺點(diǎn)是代碼難以記憶。拼音碼：拼音碼是以漢字拼音為基礎(chǔ)的輸入方法。使用簡(jiǎn)單方便，但漢字同音字太多,輸入重碼率很高,同音字選擇影響了輸入速度。漢字的表示方法（漢字的輸入編碼）字形碼：字形編碼是用漢字的形狀來(lái)進(jìn)行的編碼（例：五筆字型）。把漢字的筆劃部件用字母或數(shù)字進(jìn)行編碼,按筆劃的順序依次輸入,就能表示一個(gè)漢字。為了加快輸入速度,在上述方法基礎(chǔ)上,發(fā)展了詞組輸入\聯(lián)想輸入等多種快速輸入方法。但是都利用了鍵盤進(jìn)行“手動(dòng)”輸入。理想的輸入方式是利用語(yǔ)音或圖象識(shí)別技術(shù)“自動(dòng)”將拼音或文本輸入到計(jì)算機(jī)內(nèi),使計(jì)算機(jī)能認(rèn)識(shí)漢字,聽(tīng)懂漢語(yǔ),并將其自動(dòng)轉(zhuǎn)換為機(jī)內(nèi)代碼表示。目前這種理想已經(jīng)成為現(xiàn)實(shí)。

漢字的表示方法（漢字的輸入編碼）2.漢字內(nèi)碼

漢字內(nèi)碼是用于漢字信息的存儲(chǔ)、交換、檢索等操作的機(jī)內(nèi)代碼,一般采用兩個(gè)字節(jié)表示。英文字符的機(jī)內(nèi)代碼是七位的ASCII碼,當(dāng)用一個(gè)字節(jié)表示時(shí),最高位為“0”。為了與英文字符能相互區(qū)別,漢字機(jī)內(nèi)代碼中兩個(gè)字節(jié)的最高位均規(guī)定為“1”。注意：有些系統(tǒng)中字節(jié)的最高位用于奇偶校驗(yàn)位，這種情況下用三個(gè)字節(jié)表示漢字內(nèi)碼。漢字的表示方法（漢字的內(nèi)碼）3.漢字字模碼字模碼是用點(diǎn)陣表示的漢字字形代碼,它是漢字的輸出形式。。例如：字模碼漢字的表示方法（漢字字模碼）此例，漢字的字模碼為：16位×16位=32字節(jié)注意到：字模點(diǎn)陣只能用來(lái)構(gòu)成漢字庫(kù),而不能用于機(jī)內(nèi)存儲(chǔ)。字庫(kù)中存儲(chǔ)了每個(gè)漢字的點(diǎn)陣代碼，用于漢字的顯示輸出或打印輸出。當(dāng)顯示輸出或打印輸出時(shí)才檢索字庫(kù)，輸出字模點(diǎn)陣，得到字形。漢字的輸入編碼、漢字內(nèi)碼、字模碼是計(jì)算機(jī)中用于輸入、內(nèi)部處理、輸出三種不同用途的編碼,不要混為一談。漢字的表示方法（漢字字模碼）

各種因素常常導(dǎo)致計(jì)算機(jī)在處理信息過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。為了防止錯(cuò)誤,可將信號(hào)采用專門的邏輯線路進(jìn)行編碼以檢測(cè)錯(cuò)誤,甚至校正錯(cuò)誤。2.1.5校驗(yàn)碼

最簡(jiǎn)單且應(yīng)用廣泛的檢錯(cuò)碼方法是奇偶校驗(yàn)法，即：采用一位校驗(yàn)位的奇校驗(yàn)或偶校驗(yàn)的方法。設(shè)ｘ＝(ｘ0ｘ1…ｘn－1)是一個(gè)n位字,則奇校驗(yàn)位Ｃ定義為：C＝ｘ0⊕ｘ1⊕…⊕ｘn－1，式中⊕代表按位加,只有當(dāng)ｘ中包含有奇數(shù)個(gè)1時(shí),才使C＝1,即C＝0。同理,偶校驗(yàn)位Ｃ定義為：C＝ｘ0⊕ｘ1⊕…⊕ｘn－1

即ｘ中包含偶數(shù)個(gè)1時(shí),才使C＝0。效驗(yàn)碼

假設(shè)一個(gè)字ｘ從部件A傳送到部件B。在源點(diǎn)A,校驗(yàn)位C可用上面公式算出來(lái),并合在一起將(ｘ0ｘ1…ｘn-1C)送到B，采用偶效驗(yàn)。假設(shè)，在B點(diǎn)真正接收到的是ｘ＝(ｘ‘0ｘ’1…ｘ‘n－1C’),然后計(jì)算：F＝ｘ'0⊕ｘ'1⊕…⊕ｘ'n－1⊕C‘

若F＝1,意味著收到的信息有錯(cuò),若F＝0,表明ｘ字傳送正確。奇偶校驗(yàn)可提供奇數(shù)個(gè)錯(cuò)誤檢測(cè),但無(wú)法檢測(cè)偶數(shù)個(gè)錯(cuò)誤,更無(wú)法識(shí)別錯(cuò)誤信息的位置。（循環(huán)校驗(yàn)碼CRC可解決此問(wèn)題）效驗(yàn)碼[例7]見(jiàn)書(shū) P30數(shù)據(jù)偶校驗(yàn)編碼Ｃ奇校驗(yàn)編碼Ｃ101010100101010000000000011111111111111110101010-01010100-00000000-01111111-11111111-10101010-01010100-00000000-01111111-11111111-效驗(yàn)碼[解]假如校驗(yàn)位后傳送的數(shù)碼為：數(shù)據(jù)偶校驗(yàn)編碼Ｃ奇校驗(yàn)編碼Ｃ1010101001010100000000000111111111111111101010100010101001000000000011111111111111110101010101010101000000000001011111110111111111效驗(yàn)碼2.2定點(diǎn)加法減法運(yùn)算

2.2.1補(bǔ)碼加法2.2.2補(bǔ)碼減法2.2.3溢出概念與檢驗(yàn)方法2.2.4基本的二進(jìn)制加法、減法器2.2.5十進(jìn)制加法器定點(diǎn)加減法運(yùn)算2.2.1補(bǔ)碼加法補(bǔ)碼加法的公式是：[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)(mod2)

現(xiàn)分四種情況來(lái)證明。假設(shè)采用定點(diǎn)小數(shù)表示,因此證明的先決條件是：︱ｘ︱﹤1,︱ｙ︱﹤1,︱ｘ＋ｙ︱﹤1。(1)ｘ﹥0,ｙ﹥0,則ｘ＋ｙ﹥0。

相加兩數(shù)都是正數(shù),故其和也一定是正數(shù)。正數(shù)的補(bǔ)碼和原碼是一樣的,可得：

[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

(mod2)補(bǔ)碼的加法(2)ｘ﹥0,ｙ﹤0,則ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0。相加的兩數(shù)一個(gè)為正,一個(gè)為負(fù),因此相加結(jié)果有正、負(fù)兩種可能。根據(jù)補(bǔ)碼定義，

∵

[ｘ]補(bǔ)＝ｘ（正）,

[ｙ]補(bǔ)＝2＋ｙ（負(fù)）

∴[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝ｘ＋2＋ｙ＝2＋(ｘ＋ｙ)當(dāng)ｘ＋ｙ>0時(shí),2＋(ｘ＋ｙ)>2,進(jìn)位2必丟失,又因(ｘ＋ｙ)>0，所以：

[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

(mod2)當(dāng)ｘ＋ｙ<0時(shí),2＋(ｘ＋ｙ)<2,又因(ｘ＋ｙ)<0，所以：

[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

(mod2)補(bǔ)碼的加法(3)ｘ<0,ｙ>0,則ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0。這種情況和第2種情況一樣,把ｘ和ｙ的位置對(duì)調(diào)即得證。(4)ｘ<0,ｙ<0,則ｘ＋ｙ<0。相加兩數(shù)都是負(fù)數(shù),則其和也一定是負(fù)數(shù)?！遊ｘ]補(bǔ)＝2＋ｘ,

[ｙ]補(bǔ)＝2＋ｙ∴[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝2＋ｘ＋2＋ｙ＝2＋(2＋ｘ＋ｙ)上式右邊分為”2”和(2＋ｘ＋ｙ)兩部分.既然(ｘ＋ｙ)是負(fù)數(shù),而其絕對(duì)值又小于1,那么(2＋ｘ＋ｙ)就一定是小于2而大于1的數(shù),進(jìn)位”2”必丟失.又因(ｘ＋ｙ)<0,所以[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

(mod2)至此我們證明了,在模2意義下,任意兩數(shù)的補(bǔ)碼之和等于該兩數(shù)之和的補(bǔ)碼.這是補(bǔ)碼加法的理論基礎(chǔ),其結(jié)論也適用于定點(diǎn)整數(shù)。補(bǔ)碼的加法[例]：[ｘ]補(bǔ)＝0.1001,[ｙ]補(bǔ)＝0.0101，計(jì)算ｘ＋ｙ＝？[ｘ]補(bǔ)

0.1001＋[ｙ]補(bǔ)

0.0101

[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

0.1110

所以ｘ＋ｙ＝＋0.1110

補(bǔ)碼的加法[例]：ｘ＝＋0.1011,ｙ＝－0.0101,求ｘ＋ｙ。[解:][ｘ]補(bǔ)＝0.1011,

[ｙ]補(bǔ)＝1.1011[ｘ]補(bǔ)

0.1011＋[ｙ]補(bǔ)1.1011

[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

10.0110

所以ｘ＋ｙ＝0.0110最高位1自行丟失可見(jiàn)，補(bǔ)碼加法的特點(diǎn)為：

1、符號(hào)位作為數(shù)的一部分直接參加運(yùn)算；

2、要在模2的意義下相加,即超過(guò)2的進(jìn)位要自動(dòng)丟掉。整數(shù)的計(jì)算同樣適合，只是模不同。補(bǔ)碼的加法2.2.2補(bǔ)碼減法

由補(bǔ)碼的原理可知，補(bǔ)碼可以通過(guò)加法器來(lái)完成減法計(jì)算，進(jìn)而簡(jiǎn)化運(yùn)算器的結(jié)構(gòu)。補(bǔ)碼的減法公式如下：[ｘ－ｙ]補(bǔ)＝[ｘ]補(bǔ)－[ｙ]補(bǔ)＝[ｘ]補(bǔ)＋[－ｙ]補(bǔ)公式的證明簡(jiǎn)單，只需證明：[－ｙ]補(bǔ)=－[ｙ]補(bǔ)即可。（見(jiàn)書(shū)P32）補(bǔ)碼的減法補(bǔ)碼的減法

現(xiàn)證明如下：∵[ｘ＋ｙ]補(bǔ)＝[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)

(mod2)∴[ｙ]補(bǔ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)

(2.19a)∵[ｘ－ｙ]補(bǔ)＝[ｘ＋(－ｙ)]補(bǔ)＝[ｘ]補(bǔ)＋[－ｙ]補(bǔ)∴[－ｙ]補(bǔ)＝[ｘ－ｙ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)

(2.19b)

將式(2.19a)與(2.19b)相加,得

[－ｙ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)＋[ｘ－ｙ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)＝[ｘ＋ｙ＋ｘ－ｙ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)

＝[ｘ＋ｘ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)＝0

故：[－ｙ]補(bǔ)＝

－[ｙ]補(bǔ)(2.20)補(bǔ)碼的減法剩下的問(wèn)題：只要給出[－ｙ]補(bǔ)如何求取即可。已知[ｙ]補(bǔ)，求取[－ｙ]補(bǔ)的方法：

對(duì)[ｙ]補(bǔ)包括符號(hào)位一起，各位求反且最末位加1,即可得到[-ｙ]補(bǔ)。

即：[－ｙ]補(bǔ)＝[ｙ]補(bǔ)＋2－n

其中符號(hào)[ｙ]補(bǔ)表示對(duì)[ｙ]補(bǔ)做：包括符號(hào)位在內(nèi)的求反操作,2－n表示最末位的1。連同符號(hào)位取反+2-n為末位+1[例10]

已知ｘ1＝－0.1110,ｘ2＝＋0.1101,

求：[ｘ1]補(bǔ),[－ｘ1]補(bǔ),

[ｘ2]補(bǔ),[－ｘ2]補(bǔ)。[解:]

[ｘ1]補(bǔ)＝1.0010

[－ｘ1]補(bǔ)＝[ｘ1]補(bǔ)＋2-4＝0.1101＋0.0001＝0.1110

[ｘ2]補(bǔ)＝0.1101

[－ｘ2]補(bǔ)＝[ｘ2]補(bǔ)＋2-4＝1.0010＋0.0001＝1.0011補(bǔ)碼的減法[例11]

ｘ＝＋0.1101,ｙ＝＋0.0110,求ｘ－ｙ。[解]:[ｘ]補(bǔ)＝0.1101

[ｙ]補(bǔ)＝0.0110

[－ｙ]補(bǔ)＝1.1010[ｘ]補(bǔ)

0.1101＋[－ｙ]補(bǔ)

1.1010

[ｘ－ｙ]補(bǔ)

10.0111所以：

ｘ－ｙ＝＋0.0111補(bǔ)碼的減法[又例]

ｘ＝＋0.0111,ｙ＝-0.0110,求ｘ－ｙ。補(bǔ)碼的減法[解]：

[ｘ]補(bǔ)＝0.0111

[ｙ]補(bǔ)＝1.1010

[－ｙ]補(bǔ)＝0.0110

[ｘ]補(bǔ)

0.0111＋[－ｙ]補(bǔ)

0.0110

[ｘ－ｙ]補(bǔ)

0.1101>0所以：ｘ－ｙ＝＋0.1101[又例]

ｘ＝+0.0110,ｙ＝+0.1110,求ｘ－ｙ。[解]：

[ｘ]補(bǔ)＝0.0110

[ｙ]補(bǔ)＝0.1110

[－ｙ]補(bǔ)＝1.0010

[ｘ]補(bǔ)

0.0110＋[－ｙ]補(bǔ)

1.0010

[ｘ－ｙ]補(bǔ)

1.1000<0所以：

ｘ－ｙ＝-0.1000補(bǔ)碼的減法2.2.3溢出概念與檢測(cè)方法

以定點(diǎn)小數(shù)為例：在定點(diǎn)小數(shù)機(jī)器中,數(shù)的表示范圍為|ｘ|<1.在運(yùn)算過(guò)程中如出現(xiàn)大于1的現(xiàn)象,稱為“溢出”。（這在定點(diǎn)機(jī)中是不允許的）

機(jī)器定點(diǎn)小數(shù)表示特征：兩個(gè)正數(shù)相加,結(jié)果為負(fù)（即：大于機(jī)器所能表示的最大正數(shù)）,稱為上溢。兩個(gè)負(fù)數(shù)相加,結(jié)果為正（即：小于機(jī)器所能表示的最小負(fù)數(shù)),稱為下溢。溢出概念與檢測(cè)方法[例12]

ｘ＝＋0.1011,ｙ＝＋0.1001,求ｘ＋ｙ。[解:]

[ｘ]補(bǔ)＝0.1011,[ｙ]補(bǔ)＝0.1001[ｘ]補(bǔ)

0.1011＋[ｙ]補(bǔ)

0.1001[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

1.0100

兩正數(shù)相加，結(jié)果為負(fù)，顯然錯(cuò)誤。（運(yùn)算中出現(xiàn)了“上溢”）溢出概念與檢測(cè)方法有進(jìn)位無(wú)進(jìn)位[又例]

ｘ＝＋0.1011,ｙ＝＋0.0010,求ｘ＋ｙ。[解:]

[ｘ]補(bǔ)＝0.1011,[ｙ]補(bǔ)＝0.1001[ｘ]補(bǔ)

0.1011＋[ｙ]補(bǔ)

0.0010[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

0.1101兩正數(shù)相加，結(jié)果無(wú)溢出溢出概念與檢測(cè)方法無(wú)進(jìn)位無(wú)進(jìn)位[例13]

ｘ＝－0.1101,ｙ＝－0.1011,求ｘ＋ｙ。[解:]

[ｘ]補(bǔ)＝1.0011[ｙ]補(bǔ)＝1.0101

[ｘ]補(bǔ)

1.0011

＋[ｙ]補(bǔ)

1.0101[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

0.1000兩負(fù)數(shù)相加，結(jié)果為正，顯然錯(cuò)誤。（運(yùn)算中出現(xiàn)了“下溢”）溢出概念與檢測(cè)方法無(wú)進(jìn)位有進(jìn)位[又例]

ｘ＝－0.1101,ｙ＝－0.0010,求ｘ＋ｙ。[解:]

[ｘ]補(bǔ)＝1.0011[ｙ]補(bǔ)＝1.1110

[ｘ]補(bǔ)

1.0011

＋[ｙ]補(bǔ)

1.1110[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

1.0001兩負(fù)數(shù)相加，結(jié)果為負(fù)，無(wú)溢出。溢出概念與檢測(cè)方法有進(jìn)位有進(jìn)位產(chǎn)生“溢出”的原因：

分析可知，當(dāng)最高有效數(shù)值位的運(yùn)算進(jìn)位與符號(hào)位的運(yùn)算進(jìn)位不一致時(shí)，將產(chǎn)生運(yùn)算“溢出”。進(jìn)一步結(jié)論：

當(dāng)最高有效位產(chǎn)生進(jìn)位而符號(hào)位無(wú)進(jìn)位時(shí),產(chǎn)生上溢；當(dāng)最高有效位無(wú)進(jìn)位而符號(hào)位有進(jìn)位時(shí),產(chǎn)生下溢。溢出概念與檢測(cè)方法“溢出”檢測(cè)方法：

為了判斷“溢出”是否發(fā)生,可采用兩種檢測(cè)的方法。第一種方法：采用雙符號(hào)位法,這稱為“變形補(bǔ)碼”或“模4補(bǔ)碼”,從而可使模2補(bǔ)碼所能表示的數(shù)的范圍擴(kuò)大一倍。變形補(bǔ)碼定義為(mod4)

：x2>x≥04+x=4-|x|0≥

x≥-2(2.22)溢出概念與檢測(cè)方法或用同余式表示：[ｘ]補(bǔ)＝4＋ｘ(mod4)下式也同樣成立：

[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

(mod4)

1.兩個(gè)符號(hào)位都看作數(shù)碼一樣參加運(yùn)算

2.兩數(shù)進(jìn)行以4位模的加法,即最高符號(hào)位上產(chǎn)生的進(jìn)位要丟掉。

采用變形補(bǔ)碼后，如果兩個(gè)數(shù)相加后，其結(jié)果的符號(hào)位出現(xiàn)“01”或“10”兩種組合時(shí),表示發(fā)生溢出。這是因?yàn)閮蓚€(gè)絕對(duì)值小于1的數(shù)相加,其結(jié)果不會(huì)大于或等于2。所以，最高符號(hào)位所表示的是結(jié)果的正確符號(hào)。溢出概念與檢測(cè)方法為了得到兩數(shù)變形補(bǔ)碼之和等于兩數(shù)之和的變形補(bǔ)碼,

樣必須：[例14]ｘ＝＋0.1100,ｙ＝＋0.1000,求ｘ＋ｙ。溢出概念與檢測(cè)方法

[解]

:[ｘ]補(bǔ)＝00.1100,

[ｙ]補(bǔ)＝00.1000

[ｘ]補(bǔ)

00.1100

＋[ｙ]補(bǔ)

00.1000

01.0100

兩個(gè)符號(hào)位出現(xiàn)“01”,表示已溢出,即結(jié)果大于＋1。上溢[又例]ｘ＝＋0.1100,ｙ＝＋0.0001,求ｘ＋ｙ。溢出概念與檢測(cè)方法

[解]

:[ｘ]補(bǔ)＝00.1100,

[ｙ]補(bǔ)＝00.1000

[ｘ]補(bǔ)

00.1100

＋[ｙ]補(bǔ)

00.0001

00.1101

兩個(gè)符號(hào)位=“00”,表示無(wú)溢出。[例15]

ｘ＝－0.1100,ｙ＝-0.1000,求ｘ＋ｙ溢出概念與檢測(cè)方法

[解]

:[ｘ]補(bǔ)＝11.0100,

[ｙ]補(bǔ)＝11.1000

[ｘ]補(bǔ)

11.0100＋[ｙ]補(bǔ)

11.1000

10.1100

兩個(gè)符號(hào)位出現(xiàn)“10”,表示已溢出,即結(jié)果小于－1。下溢

[又例]

ｘ＝－0.0100,ｙ＝-0.1000,求ｘ＋ｙ。溢出概念與檢測(cè)方法[解]

:[ｘ]補(bǔ)＝11.1100,

[ｙ]補(bǔ)＝11.1000

[ｘ]補(bǔ)

11.1100＋[ｙ]補(bǔ)

11.1000

11.0100

兩個(gè)符號(hào)位出現(xiàn)“11”,表示無(wú)溢出。溢出概念與檢測(cè)方法由此可以得出如下結(jié)論：當(dāng)以模4補(bǔ)碼運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果的二符號(hào)位相異時(shí),表示溢出；相同時(shí),表示未溢出。故:溢出邏輯表達(dá)式為

V＝Sf1⊕Sf2,其中Sf1和Sf2分別為最高符號(hào)位和第二符號(hào)位。此邏輯表達(dá)式可用異或門實(shí)現(xiàn)。2.模4補(bǔ)碼相加的結(jié)果,不論溢出與否,最高符號(hào)位始終指示正確的符號(hào)。

溢出概念與檢測(cè)方法

第二種溢出檢測(cè)方法：采用“單符號(hào)位法”。從例1和例2中看到:(1).當(dāng)最高有效位產(chǎn)生進(jìn)位而符號(hào)位無(wú)進(jìn)位時(shí),產(chǎn)生上溢；(2).當(dāng)最高有效位無(wú)進(jìn)位而符號(hào)位有進(jìn)位時(shí),產(chǎn)生下溢。

故：溢出邏輯表達(dá)式為：

V＝Cf⊕Co其中:

Cf為符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位,Co為最高有效位產(chǎn)生的進(jìn)位。（顯然：此邏輯關(guān)系可用異或門方便地實(shí)現(xiàn)）。

在定點(diǎn)機(jī)中，當(dāng)運(yùn)算結(jié)果發(fā)生溢出時(shí),機(jī)器通過(guò)邏輯電路自動(dòng)檢查出溢出故障,并進(jìn)行中斷處理。

二進(jìn)制加法/減法器2.2.4基本的二進(jìn)制加法/減法器

兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)字Ai,Bi和一個(gè)進(jìn)位輸入Ci相加,產(chǎn)生一個(gè)和輸出Si,以及一個(gè)進(jìn)位輸出Ci＋1。表2.2中列出一位全加器進(jìn)行加法運(yùn)算的輸入輸出真值表。根據(jù)表2.2所示的真值表,三個(gè)輸入端和兩個(gè)輸出端可按如下邏輯方程進(jìn)行聯(lián)系：

Si＝Ai⊕Bi⊕Ci

Ci＋1＝AiBi＋BiCi＋CiAi1111110011101010100110110010100110000000Ci＋1SiCiBiAi輸出輸入表2.2一位全加器真值表(2.23)二進(jìn)制加法/減法器按表達(dá)式(2.23)組成的一位全加器（FA）示意圖2.2(b)對(duì)一位全加器(FA)來(lái)說(shuō),Si的時(shí)間延遲為6T(每級(jí)異或門延遲3T),Ci＋1的時(shí)間延遲為5T,其中T被定義為相應(yīng)于單級(jí)邏輯電路的單位門延遲。T通常采用一個(gè)“與非”門或一個(gè)“或非”門的時(shí)間延遲來(lái)作為度量單位。3T+3T3T+T+T二進(jìn)制加法/減法器

教材第35頁(yè)圖2.2(a)示出了補(bǔ)碼運(yùn)算的二進(jìn)制加法/減法器的邏輯結(jié)構(gòu)圖。由圖看到,n個(gè)1位的全加器(FA)可級(jí)聯(lián)成一個(gè)n位的行波進(jìn)位加減器。M為方式控制輸入線,當(dāng)M＝0時(shí),作加法(A＋B)運(yùn)算；當(dāng)M＝1時(shí),作減法A－B運(yùn)算,在后一種情況下,[A]補(bǔ)＋[B]補(bǔ)運(yùn)算轉(zhuǎn)化成[A]補(bǔ)＋[－B]補(bǔ)運(yùn)算,求補(bǔ)過(guò)程由B＋1來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此,圖中最右邊的全加器的起始進(jìn)位輸入端被連接到功能方式線M上,作減法時(shí)M＝1,相當(dāng)于在加法器的最低位上加1。另外,圖中左邊還表示出單符號(hào)位法的溢出檢測(cè)邏輯；當(dāng)Cn＝Cn－1時(shí),運(yùn)算無(wú)溢出；而當(dāng)Cn≠Cn－1時(shí),運(yùn)算有溢出,經(jīng)異或門產(chǎn)生溢出信號(hào)。

電路示意圖二進(jìn)制加法/減法器二進(jìn)制加法/減法器現(xiàn)在我們計(jì)算一個(gè)n位的行波進(jìn)位加法器的時(shí)間延遲。(見(jiàn)書(shū)P35-36）假如采用圖2.2(a)所示的一位全加器并考慮溢出檢測(cè),那么n位行波進(jìn)位加法器的延遲時(shí)間ta為:ta＝n·2T＋9T＝(2n＋9)T(2.24)9T為最低位上的兩級(jí)“異或”門；再加上溢出“異或”門（3T）,2T為每級(jí)進(jìn)位鏈的延遲時(shí)間。

當(dāng)不考慮溢出檢測(cè)時(shí)，有

ta＝(n-1)·2T＋9T

(2.25)

ta意味著加法器的輸入端輸入加數(shù)和被加數(shù)后,在最壞情況下加法器輸出端得到穩(wěn)定的求和輸出所需的最長(zhǎng)時(shí)間。顯然這個(gè)時(shí)間越小越好。注意,加數(shù)、被加數(shù)、進(jìn)位與和數(shù)都是用電平來(lái)表示的,因此,所謂穩(wěn)定的求和輸出,就是指穩(wěn)定的電平輸出。（CAI演示）二進(jìn)制加法/減法器延遲時(shí)間ta為:2T延遲時(shí)間ta為:3T考慮溢出檢測(cè)時(shí)，延遲時(shí)間ta為:ta＝n·2T＋9T＝(2n＋9)T當(dāng)不考慮溢出檢測(cè)時(shí)，有：ta＝(n-1)·2T＋9T十進(jìn)制加法器2.2.5十進(jìn)制加法器

十進(jìn)制加法器可由BCD碼(二－十進(jìn)制碼)來(lái)設(shè)計(jì),它可以在二進(jìn)制加法器的基礎(chǔ)上加上適當(dāng)?shù)摹靶Ｕ边壿媮?lái)實(shí)現(xiàn),該校正邏輯可將二進(jìn)制的“和”改變成所要求的十進(jìn)制格式。

n位BCD碼行波式進(jìn)位加法器的一般結(jié)構(gòu)如圖2.3(a)所示,它由n級(jí)組成,每一級(jí)將一對(duì)4位的BCD數(shù)字相加,并通過(guò)一位進(jìn)位線與其相鄰級(jí)連接。而每一位十進(jìn)制數(shù)字的BCD加法器單元的邏輯結(jié)構(gòu)示于圖2.3(b)。(見(jiàn)書(shū)P36）

四位二進(jìn)制數(shù)表示十進(jìn)制數(shù)的一位（0-9），即數(shù)據(jù)范圍：0000-1001十進(jìn)制加法器例：設(shè)Xi=0110=(6)10 Yi=0111=(7)10

則：Si’=Xi+Yi=0110+0111=1101=(13)10

十位數(shù)：1個(gè)位數(shù)：3

對(duì)Si’進(jìn)行“加6校正”后：

Si=Si’+6=1101+0110=10011 1 3Si’>9的情況：Si’= 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.

當(dāng)Si’>9時(shí)，要求：

(1).產(chǎn)生向高位的進(jìn)位信號(hào)Ci+1;(2).對(duì)Si’進(jìn)行“+6”校正，得出本位的十進(jìn)制數(shù)值。實(shí)現(xiàn)：(6)10+(7)10

進(jìn)位十進(jìn)制加法器該位的和十進(jìn)制加法的校正十進(jìn)制加法器

在十進(jìn)制運(yùn)算時(shí),當(dāng)相加二數(shù)之和大于9時(shí),便產(chǎn)生進(jìn)位?？墒怯肂CD碼完成十進(jìn)制數(shù)運(yùn)算時(shí),當(dāng)和數(shù)大于9時(shí),必須對(duì)和數(shù)進(jìn)行加6修正。這是因?yàn)?采用BCD碼后,在二數(shù)相加的和數(shù)小于等于9時(shí),十進(jìn)制運(yùn)算的結(jié)果是正確的；而當(dāng)相加的和數(shù)大于9時(shí),結(jié)果不正確,必須加6修正后才能得出正確的結(jié)果。因此,當(dāng)?shù)谝淮谓魄笾禃r(shí),可將它看成每一級(jí)是一個(gè)4位二進(jìn)制加法器來(lái)執(zhí)行,就好像ｘi和ｙi是普通4位二進(jìn)制數(shù)一樣。設(shè)S‘i代表這樣得到的4位二進(jìn)制數(shù)和,C’i＋1為輸出進(jìn)位,而Si代表正確的BCD和,Ci＋1代表正確的進(jìn)位,那么：

當(dāng)ｘi＋ｙi＋Ci<10時(shí),Si＝S‘I(無(wú)須校正)

當(dāng)Xi＋Yi＋Ci≥10時(shí),

Si＝S‘i＋6(需要”+6”校正)顯然,對(duì)于十進(jìn)制加法來(lái)說(shuō)，當(dāng)C'i＋1＝1或S'i≥10時(shí),應(yīng)當(dāng)有：輸出進(jìn)位Ci＋1＝1。因此,可利用Ci＋1的狀態(tài)來(lái)產(chǎn)生所要求的校正因子:

Ci＋1＝1時(shí)校正因子為6；Ci＋1＝0時(shí)校正因子為0。在圖2.3(b)中,4位行波式進(jìn)位的二進(jìn)制加法器計(jì)算出和S'i,然后S'i經(jīng)過(guò)第二級(jí)二進(jìn)制加法器加上0或6,進(jìn)而產(chǎn)生最終十進(jìn)制結(jié)果Si。十進(jìn)制加法器和大于9？和有進(jìn)位校正：Ci＋1＝0時(shí)：+0；

Ci＋1＝1時(shí)：+6；2.3定點(diǎn)乘法運(yùn)算

2.3.1原碼并行乘法2.3.2補(bǔ)碼并行乘法定點(diǎn)乘法運(yùn)算2.3.1原碼乘法1.人工算法與機(jī)器算法的同異性在定點(diǎn)計(jì)算機(jī)中,兩個(gè)原碼表示的數(shù)相乘的運(yùn)算規(guī)則是:乘積的符號(hào)位由兩數(shù)的符號(hào)位按異或運(yùn)算得到,而乘積的數(shù)值部分則是兩個(gè)正數(shù)相乘之積。

設(shè)n位被乘數(shù)和乘數(shù)用定點(diǎn)小數(shù)表示(定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用)

被乘數(shù)

[ｘ]原＝ｘf.ｘn－1…ｘ1ｘ0

乘數(shù)

[ｙ]原＝ｙf.ｙn－1…ｙ1ｙ0

則乘積:

[ｚ]原＝(ｘf⊕ｙf)＋(0.ｘn－1…ｘ1ｘ0)(0.ｙn－1…ｙ1ｙ0)(2.26)

式中,ｘf為被乘數(shù)符號(hào),ｙf為乘數(shù)符號(hào)。

原碼乘法運(yùn)算乘積符號(hào)的運(yùn)算法則是：同號(hào)相乘為正,異號(hào)相乘為負(fù)。由于被乘數(shù)和乘數(shù)的符號(hào)組合只有四種情況(ｘfｙf＝00,01,10,11),因此積的符號(hào)可按“異或”(按位加)運(yùn)算得到。數(shù)值部分的運(yùn)算方法與普通的十進(jìn)制小數(shù)乘法類似,不過(guò)對(duì)于用二進(jìn)制表達(dá)式的數(shù)來(lái)說(shuō),其乘法規(guī)則更為簡(jiǎn)單一些。設(shè)ｘ＝0.1101,ｙ＝0.1011.讓我們先用習(xí)慣方法求其乘積,觀察其過(guò)程:原碼乘法運(yùn)算0.1101(x)X0.1011(y)

110111010000+11010.10001111(z)

運(yùn)算的過(guò)程與十進(jìn)制乘法相似:

從乘數(shù)ｙ的最低位開(kāi)始,若這一位為“1”,則將被乘數(shù)ｘ寫(xiě)下；若這一位為“0”,則寫(xiě)下全0。然后再逐次完成對(duì)乘數(shù)ｙ各高位的乘法運(yùn)算,其規(guī)則同上。不過(guò)高一位乘數(shù)的權(quán)比低一位乘數(shù)的權(quán)大一級(jí)（21=2），因此被乘數(shù)ｘ要左移一位。以此類推,直到乘數(shù)各位全部乘完為止,最后將它們統(tǒng)統(tǒng)加起來(lái),變得到最后乘積z。如果被乘數(shù)和乘數(shù)用定點(diǎn)整數(shù)表示,運(yùn)算過(guò)程也完全一樣。原碼乘法運(yùn)算

然而，人們習(xí)慣的算法對(duì)機(jī)器并不完全適用。原因之一：機(jī)器通常只有n位長(zhǎng),兩個(gè)n位數(shù)相乘,乘積可能為2n位。原因之二：只有兩個(gè)操作數(shù)相加的加法器難以勝任將n個(gè)位積一次相加起來(lái)的運(yùn)算。早期計(jì)算機(jī)中為了簡(jiǎn)化硬件結(jié)構(gòu),采用串行的1位乘法方案,即多次執(zhí)行“加法—移位”操作來(lái)實(shí)現(xiàn)。這種方法并不需要很多器件。然而串行方法畢竟太慢。隨著大規(guī)模集成電路問(wèn)世以來(lái),出現(xiàn)了各種形式的流水式陣列乘法器,它們屬于并行乘法器。原碼乘法運(yùn)算2.不帶符號(hào)的陣列乘法器設(shè)有兩個(gè)不帶符號(hào)的二進(jìn)制整數(shù)：(見(jiàn)書(shū)P38）A＝am－1…a1a0

(m位）

B＝bn－1…b1b0

（n位）

它們的數(shù)值分別為a和b,即

m－1

n－1

a

＝∑ai2i

b

＝∑bj2j

i＝0

j＝0在二進(jìn)制乘法中,被乘數(shù)A與乘數(shù)B相乘,產(chǎn)生（m＋n）位乘積P：P＝pm＋n－1…p1p0

（m+n位）乘積P

的數(shù)值為：原碼乘法運(yùn)算

實(shí)現(xiàn)上述乘法過(guò)程所需要的操作和人們的習(xí)慣方法非常類似：

am-1am-2…

a1a0×)bn-1…

b1b0am-1b0am-2b0…a1b0a0b0

am-1b1am-2b1…

a0b1+)am-1bn-1am-2bn-1…a0bn-1pm+n-1pm+n-2pm+n-3pn-1…p1p0原碼乘法運(yùn)算

乘積P乘數(shù)B被乘數(shù)A

上述過(guò)程給出了在m位乘n位不帶符號(hào)整數(shù)的陣列乘法中,“加法—移位”操作的被加數(shù)矩陣。每一個(gè)部分乘積項(xiàng)(位積)aibj叫做一個(gè)被加數(shù)。這m×n個(gè)被加數(shù){aibj|0≤i≤m－1和0≤j≤n－1}可以用m×n個(gè)“與”門并行地產(chǎn)生。顯然,設(shè)計(jì)高速并行乘法器的基本問(wèn)題,就在于縮短被加數(shù)矩陣中每列所需的加法時(shí)間。

5位×5位陣列乘法器的邏輯電路圖演示

原碼乘法運(yùn)算

若乘法器為n位×n位時(shí),需要n(n－1)個(gè)“全加器”和n2個(gè)“與”門。由“與門”形成該值加法器

原碼乘法運(yùn)算

3T+3T2T3T+2T(n-2).6T(3T+Tf)(n-2).Tf3TTa

令Ta為“與門”的傳輸延遲時(shí)間，Tf為全加器(FA)的進(jìn)位傳輸延遲時(shí)間，假定用2級(jí)“與非”邏輯來(lái)實(shí)現(xiàn)FA的進(jìn)位鏈功能和“與門”邏輯，那么就有：

Ta

＝

Tf

＝2T

由上面的分析可以得出：最壞情況下的延遲途徑，既是沿著矩陣p4垂直線和最下面的一行。因而得：

n位×n位不帶符號(hào)的陣列乘法器總的乘法時(shí)間為：

tm＝Ta+(n－1)×6T＋(n－1)×Tf

＝2T＋(n－1)×6T＋(n－1)×2T

＝(8n－6)T

(2.27)原碼乘法運(yùn)算[例16]參見(jiàn)上CAI演示,已知兩個(gè)不帶符號(hào)的二進(jìn)制整數(shù)

A

＝11011，B

＝10101,求每一部分乘積項(xiàng)aibj的值與p9p8……p0的值。

[解]：

11011=A(2710)

10101=B(2110)

11011000001101100000+110111000110111=P(56710)a4b0=1a3b0=1a2b0=0a1b0=1a0b0=1a4b1=0a3b1=0a2b1=0a1b1=0a0b1=0a4b2=1a3b2=1a