小學奧數(shù)合輯（學生用書）6-3-3 工程問題（一）

工程問題（一）

1,熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關系與一般解法：

2.工程問題中常出現(xiàn)單獨做，幾人合作或輪流做，分析時一定要學會分段處理;

3.根據(jù)題目中的實際情況能夠正確進行單位“1”的統(tǒng)一和轉換；

4.工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術方法在其他類型題目中的應用.

工程問題是小學數(shù)學應用題教學中的重點，是分數(shù)應用題的引申與補充，是培養(yǎng)學生抽象邏輯思

維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應用題，它具有抽象性，學生認知起來比

較困難。在教學中，讓學生建立正確概念是解決工程應用題的關鍵。

工程問題的基本概念

定義：工程問題是指用分數(shù)來解答有關工作總量、工作時間和工作效率之間相互關系的問題。

工作總量：一般抽象成單位“1”

工作效率：單位時間內完成的工作量

三個基本公式：工作總量=工作效率x工作時間，

工作效率=工作總量+工作時間，

工作時間=工作總量4■工作效率；

二、為了學好分數(shù)、百分數(shù)應用題，必須做到以下幾方面：

①具備整數(shù)應用題的解題能力，解決整數(shù)應用題的基本知識，如概念、性質、法則、公式等廣泣應用于

分數(shù)、百分數(shù)應用題；

②在理解、掌握分數(shù)的意義和性質的前提下靈活運用；

③學會畫線段示意圖.線段示意圖能直觀地揭示“量''與"百分率''之間的對應關系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間

的隱蔽條件，可以幫助我們在復雜的條件與問題中理清思路，正確地進行分析、綜合、判斷和推理；

④學會多角度、多側面思考問題的方法.分數(shù)、百分數(shù)應用題的條件與問題之間的關系變化多端，單靠

統(tǒng)一的思路模式有時很難找到正確解題方法.因此，在解題過程中，要善于掌握對應、假設、轉化等多種解

題方法，不斷地開拓解題思路.

三、利用常見的數(shù)學思想方法：

如代換法、比例法、列表法、方程法等

拋開“工作總量”和“時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關系，轉化出與所求相關的工作效率，

最后再利用先前的假設“把整個工程看成一個單位“，求得問題答案.一般情況下，工程問題求的是時間.

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模塊一'工程問題基本題型

【例1】一項工程，甲單獨做需要28天時間，乙單獨做需要21天時間，如果甲、乙合作需要多少

時間？

【例2】一項工程，甲單獨做需要30天時間，甲、乙合作需要12天時間，如果乙單獨做需要多少時間？

【鞏固】一項工程，甲單獨做需要21天時間，甲、乙合作需要12天時間，如果乙單獨做需要多少時間？

甲乙兩名打字員，打字速度一樣快，甲30分鐘打了4材料的1,乙40分鐘打了8材料的2。4、

【例3】

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B兩份材料中，（填A或3）內容多。

【例4】甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時可以完成任務.如果甲單獨加工，便需要12小時完成.現(xiàn)

在甲、乙兩人共同生產了2,小時后，甲被調出做其他工作，由乙繼續(xù)生產了420個零件才完成任

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務.問乙一共加工零件多少個？

【鞏固】一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完

成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？

【例5］4名工人加工455個零件。開始的4天中有一名工人因事請假1天，結果共加工195個零件。如果

以后無人清假，那么還要一天可以完成任務。

【例6】一項工程，甲單獨完成需要12天，乙單獨完成需要9天.若甲先做若干天后乙接著做，共用10天

完成，問甲做了幾天？

【鞏固】一項工程，甲隊單獨做20天可以完成，甲隊做了8天后，由于另有任務，剩下的工作由乙隊單獨做

15天完成.問：乙隊單獨完成這項工作需多少天？

【例7】有兩個同樣的倉庫，搬運完一個倉庫的貨物，甲需6小時，乙需7小時，丙需14小時。甲、乙同

時開始各搬運一個倉庫的貨物。開始時，丙先幫甲搬運，后來又去幫乙搬運，最后兩個倉庫的貨

物同時搬完。則丙幫甲小時，幫乙小時。

［例8］某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.

現(xiàn)在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？

【例9】一項工程，甲隊單獨完成需40天。若乙隊先做10天，余下的工程由甲、乙兩隊合作，又需20天

可完成。如果乙隊單獨完成此工程，則需天。

【例10】一項工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙單獨做需要30天完成，那

么如果甲、乙、丙合作，完成這項工程需要多少天？

【鞏固】一項工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙單獨做需要36天完成，那么如

果甲、丙合作，完成這項工程需要多少天？

【鞏固】一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.

問甲一人獨做需要多少天完成？

【鞏固】一項工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成.那

么丙一個人來做，完成這項工作需要多少天？

【例11】一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天

可以完成.那么甲、丁兩人合作多少天可以完成？

【鞏固】修筑一條高速公里。若甲、乙、丙合作，9()天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作,

180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。還需多少天可完工？

【例12】一些工人做一項工程，如果能調來16人，那么10天可以完成；如果只調來4人，就要20天才能

完成，那么調走2人后，完成這項工程需要天.

【例13】甲、乙兩輛清潔車執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務.甲車單獨清掃需10小時，乙車單獨清掃需15

小時，兩車同時從東、西城相向開出，相遇時甲車比乙車多清掃12千米.問：東、西兩城相距多

少千米？

【例14】一項工程，甲單獨做40天完成，乙單獨做60天完成.現(xiàn)在兩人合作，中間甲因病休息了若干天,

所以經(jīng)過了27天才完成.問甲休息了幾天？

【鞏固】一項工程，甲單獨做20天完成，乙單獨做30天完成.甲、乙合作了幾天后，乙因事請假，甲繼續(xù)

做，從開工到完成任務共用了16天.乙請假多少天？

【鞏固】有一條公路，甲隊獨修需10天，乙隊獨修需12天，丙隊獨修需15天.現(xiàn)在讓3個隊合修，但中

途甲隊撤出去到另外工地，結果用了6天才把這條公路修完.當甲隊撤出后，乙、丙兩隊又共同合

修了多少天才完成？

【例15】一池水，甲、乙兩管同時開，5小時灌滿；乙、丙兩管同時開，4小時灌滿.現(xiàn)在先開乙管6小時,

還需甲、丙兩管同時開2小時才能灌滿.乙單獨開幾小時可以灌滿？

【例16】某水池可以用甲、乙兩個水管注水，單開甲管需12小時注滿，單開乙管需24小時注滿，若要求

10小時注滿水池，且甲、乙兩管同時打開的時間盡量少，那么甲、乙最少要同時開放小

時.

【例17】一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8

個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？

【例18】有10根大小相同的進水管給A、3兩個水池注水，原計劃用4根進水管給4水池注水，其余6根

給8水池注水，那么5小時可同時注滿.因為發(fā)現(xiàn)A水池以一定的速度漏水，所以改為各用5根

進水管給水池注水，結果也是同時注滿.（1）如果用10根進水管給漏水的A水池注水，需要多少分

鐘注滿?（2）如果增加4根同樣的進水管，A水池仍然漏水，并且要求在注水過程中每個水池的進水

管的數(shù)量保持不變，那么要把兩個水池注滿最少需要多少分鐘？（結果四舍五入到個位）

【例19】有一項工程，甲單獨做需要36天完成，乙單獨做需要30天完成，丙單獨做需要48天完成.現(xiàn)