傅里葉變換經(jīng)典

積分變換Fourier變換Recall:周期函數(shù)在一定條件下可以展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)；但全直線上的非周期函數(shù)不能用Fourier表示；引進(jìn)類似于Fourier級(jí)數(shù)的Fourier積分

(周期趨于無(wú)窮時(shí)的極限形式)1§1Fourier積分公式1.1Recall:在工程計(jì)算中,無(wú)論是電學(xué)還是力學(xué),經(jīng)常要和隨時(shí)間變化的周期函數(shù)fT(t)打交道.例如:具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t),其中T稱作周期,而1/T代表單位時(shí)間振動(dòng)的次數(shù),單位時(shí)間通常取秒,即每秒重復(fù)多少次,單位是赫茲(Herz,或Hz).t2最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)。人們發(fā)現(xiàn),所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來(lái)逼近.——Fourier級(jí)數(shù)方波4個(gè)正弦波的逼近100個(gè)正弦波的逼近3研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的情況.是以T為周期的函數(shù)，在上滿足Dirichlet條件：連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；只有有限個(gè)極值點(diǎn)；可展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)，且在連續(xù)點(diǎn)t處成立：4引進(jìn)復(fù)數(shù)形式：5級(jí)數(shù)化為：6合并為：級(jí)數(shù)化為：若以描述某種信號(hào)，則可以刻畫的特征頻率。7對(duì)任何一個(gè)非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的.作周期為T的函數(shù)fT(t),使其在[-T/2,T/2]之內(nèi)等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個(gè)數(shù)軸上,那么T越大,fT(t)與f(t)相等的范圍也越大,這就說(shuō)明當(dāng)T時(shí),周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t),即有

8例矩形脈沖函數(shù)為如下圖:1-1Otf

(t)191-13T=4f4(t)t現(xiàn)以f(t)為根底構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t),令T=4,那么

10那么11sinc(x)xsinc函數(shù)介紹12前面計(jì)算出w可將以豎線標(biāo)在頻率圖上131-17T=8f8(t)t現(xiàn)在將周期擴(kuò)大一倍,令T=8,以f(t)為根底構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t)14那么15那么在T=8時(shí),w再將以豎線標(biāo)在頻率圖上16如果再將周期增加一倍,令T=16,可計(jì)算出w再將以豎線標(biāo)在頻率圖上17一般地,對(duì)于周期T18當(dāng)周期T越來(lái)越大時(shí),各個(gè)頻率的正弦波的頻率間隔越來(lái)越小,而它們的強(qiáng)度在各個(gè)頻率的輪廓那么總是sinc函數(shù)的形狀,因此,如果將方波函數(shù)f(t)看作是周期無(wú)窮大的周期函數(shù),那么它也可以看作是由無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的正弦波構(gòu)成,將那個(gè)頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的形狀看作是方波函數(shù)f(t)的各個(gè)頻率成份上的分布,稱作方波函數(shù)f(t)的傅里葉變換.191.2

Fourier積分公式與Fourier積分存在定理20{O

w1

w2

w3

wn-1wn{w212223付氏積分公式也可以轉(zhuǎn)化為三角形式24又考慮到積分25§2Fourier變換2.1Fourier變換的定義26

Fourier積分存在定理的條件是Fourier變換存在的一種充分條件.27在頻譜分析中,傅氏變換F(

)又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F(

)|稱為f

(t)的振幅頻譜(亦簡(jiǎn)稱為頻譜).由于

是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)f(t)作傅氏變換,就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)f(t)的頻譜.28例1求矩形脈沖函數(shù)的付氏變換及其積分表達(dá)式。2930tf

(t)312.2

單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換32在原來(lái)電流為零的電路中,某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),那么當(dāng)t0時(shí),i(t)=0,由于q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.33如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù),那么得這說(shuō)明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度.為了確定這樣的電流強(qiáng)度,引進(jìn)一個(gè)稱為狄拉克(Dirac)函數(shù),簡(jiǎn)單記成d-函數(shù):34de(t)1/eeO〔在極限與積分可交換意義下〕工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。35可將d-函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線段表示,這個(gè)線段的長(zhǎng)度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強(qiáng)度.tOd(t)1d-函數(shù)有性質(zhì)：可見(jiàn)d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實(shí)軸上的積分都有明確意義。36d-函數(shù)的傅氏變換為:于是d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì).證法2：假設(shè)F(w)=2pd(w),由傅氏逆變換可得例1證明：1和2pd(w)構(gòu)成傅氏變換對(duì).證法1：37由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得38例如常數(shù),符號(hào)函數(shù),單位階躍函數(shù)以及正,余弦函數(shù)等,然而它們的廣義傅氏變換也是存在的,利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.所謂廣義是相對(duì)于古典意義而言的,在廣義意義下,同樣可以說(shuō),象原函數(shù)f(t)和象函數(shù)F(w)構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì).39例4求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的傅氏變換。pp-w0w0Ow|F(w)|t40例5證明：證：4142§3Fourier變換與逆變換的性質(zhì)

這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì),為了表達(dá)方便起見(jiàn),假定在這些性質(zhì)中,但凡需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時(shí),不再重述這些條件.1.線性性質(zhì):432.位移性質(zhì):證明：為實(shí)常數(shù)，則443.相似性質(zhì)：證明：45例1計(jì)算。

方法1：〔先用相似性質(zhì)，再用平移性質(zhì)〕46方法2：〔先用平移性質(zhì)，再用相似性質(zhì)〕474.微分性質(zhì)：

像原函數(shù)的微分性質(zhì)：則485.積分性質(zhì)：

6.帕塞瓦爾(Parserval)等式49實(shí)際上,只要記住下面五個(gè)傅里葉變換,那么所有的傅里葉變換都無(wú)須用公式直接計(jì)算而可由傅里葉變換的性質(zhì)導(dǎo)出.50例2利用傅氏變換的性質(zhì)求d(t-t0),性質(zhì)