數(shù)學(xué)建模綜合評(píng)價(jià)類問題

姓名：常志勇辦公地點(diǎn)：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系子郵箱：zhychang68@hotmail0.評(píng)價(jià)問題“評(píng)價(jià)〞為衡量評(píng)定人或事物的價(jià)值。[新華字典]如：咱們班誰最高？誰家最有錢？誰是高富帥？一個(gè)樹的價(jià)值是？第一節(jié)綜合評(píng)價(jià)方法的根本概念綜合評(píng)價(jià)的問題:對(duì)被評(píng)價(jià)對(duì)象所進(jìn)行的客觀、公正、合理的全面評(píng)價(jià)。通常的綜合評(píng)價(jià)問題都是有假設(shè)干個(gè)同類的被評(píng)價(jià)對(duì)象(或系統(tǒng))，每個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象往往都涉及到多個(gè)屬性〔或指標(biāo)〕。綜合評(píng)價(jià)的目的:根據(jù)系統(tǒng)的屬性判斷確定這些系統(tǒng)的運(yùn)行〔或開展〕狀況哪個(gè)優(yōu)，哪個(gè)劣，即按優(yōu)劣對(duì)各被評(píng)價(jià)對(duì)象進(jìn)排序或分類。這類問題又稱為多屬性〔或多指標(biāo)〕的綜合評(píng)價(jià)問題。如：教師績效測(cè)評(píng)。綜合評(píng)價(jià)的應(yīng)用:研究多目標(biāo)決策問題的前提，因此研究解決這類問題在實(shí)際中是很有意義的，特別是在政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)及軍事管理、工程技術(shù)及科學(xué)決策等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用價(jià)值。構(gòu)成綜合評(píng)價(jià)問題的五個(gè)要素分別為:被評(píng)價(jià)對(duì)象、評(píng)價(jià)指標(biāo)、權(quán)重系數(shù)、綜合評(píng)價(jià)模型和評(píng)價(jià)者。1.被評(píng)價(jià)對(duì)象被評(píng)價(jià)對(duì)象就是綜合評(píng)價(jià)問題中所研究的對(duì)象，或稱為系統(tǒng)。通常情況下，在一個(gè)問題中被評(píng)價(jià)對(duì)象是屬于同一類的，且個(gè)數(shù)要大于1，不妨假設(shè)一個(gè)綜合評(píng)價(jià)問題中有個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象〔或系統(tǒng)〕，分別記為。2.評(píng)價(jià)指標(biāo)評(píng)價(jià)指標(biāo)是反映被評(píng)價(jià)對(duì)象(或系統(tǒng))的運(yùn)行(或開展)狀況的根本要素。通常的問題都是有多項(xiàng)指標(biāo)構(gòu)成，每一項(xiàng)指標(biāo)都是從不同的側(cè)面刻畫系統(tǒng)所具有某種特征大小的一個(gè)度量。一個(gè)綜合評(píng)價(jià)問題的評(píng)價(jià)指標(biāo)一般可用一個(gè)向量表示，其中每一個(gè)分量就是從一個(gè)側(cè)面反映系統(tǒng)的狀態(tài)，即稱為綜合評(píng)價(jià)的指標(biāo)體系。

3權(quán)重系數(shù)

每一綜合評(píng)價(jià)的問題都有相應(yīng)的評(píng)價(jià)目的，針對(duì)某種評(píng)價(jià)目的，各評(píng)價(jià)指標(biāo)之間的相對(duì)重要性是不同的，評(píng)價(jià)指標(biāo)之間的這種相對(duì)重要性的大小可以用權(quán)重系數(shù)來刻畫。如果用來表示評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，則應(yīng)有且。

評(píng)價(jià)指標(biāo)體系應(yīng)遵守的原則：系統(tǒng)性、科學(xué)性、可比性、可測(cè)性（即可觀測(cè)性）和獨(dú)立性。這里不妨設(shè)系統(tǒng)有個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)（或?qū)傩裕?，分別記為，即評(píng)價(jià)指標(biāo)向量為。注意到:當(dāng)各被評(píng)價(jià)對(duì)象和評(píng)價(jià)指標(biāo)值都確定以后，問題的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果就完全依賴于權(quán)重系數(shù)的取值了，即權(quán)重系數(shù)確定的合理與否，直接關(guān)系到綜合評(píng)價(jià)結(jié)果的可信度，甚至影響到最后決策的正確性。4.綜合評(píng)價(jià)模型對(duì)于多指標(biāo)〔或多因素〕的綜合評(píng)價(jià)問題,就是要通過建立適宜的綜合評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型將多個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)綜合成為一個(gè)整體的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，作為綜合評(píng)價(jià)的依據(jù)，從而得到相應(yīng)的評(píng)價(jià)結(jié)果。不妨假設(shè)n個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象的m個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)向量為指標(biāo)權(quán)重向量為，由此構(gòu)造綜合評(píng)價(jià)函數(shù)為。

如果各評(píng)價(jià)指標(biāo)的個(gè)觀測(cè)值為5，其中，那么可以計(jì)算出各系統(tǒng)的綜合評(píng)價(jià)值，。根據(jù)值的大小將這個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行排序或分類，即得到綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。5.評(píng)價(jià)者評(píng)價(jià)者是直接參與評(píng)價(jià)的人，可以是某一個(gè)人，也可以是一個(gè)團(tuán)體。對(duì)于評(píng)價(jià)目的選擇、評(píng)價(jià)指標(biāo)體系確定、評(píng)價(jià)模型的建立和權(quán)重系數(shù)確實(shí)定都與評(píng)價(jià)者有關(guān)。

綜合評(píng)價(jià)的一般步驟：明確評(píng)價(jià)目的；確定被評(píng)價(jià)對(duì)象；建立評(píng)價(jià)指標(biāo)體系〔包括評(píng)價(jià)指標(biāo)的原始值、評(píng)價(jià)指標(biāo)的假設(shè)干預(yù)處理等〕；確定與各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)相對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)；選擇或構(gòu)造綜合評(píng)價(jià)模型；計(jì)算各系統(tǒng)的綜合評(píng)價(jià)值,并給出綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。構(gòu)造權(quán)重的方法多元統(tǒng)計(jì)方法，如多元回歸、主成分分析、因子分析等。模糊數(shù)學(xué)方法：由模糊數(shù)學(xué)開展而來，包括模糊聚類、模糊判別、模糊綜合評(píng)價(jià)等方法。簡易方法：主要包括頭腦風(fēng)暴法、層次分析法、Topsis法、秩和比法等其他，如：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法，熵值法等

第二節(jié)

模糊綜合評(píng)判綜合評(píng)判是綜合決策的內(nèi)容。模糊綜合評(píng)判又稱為模糊綜合決策或模糊多元決策下面以電腦評(píng)判為例來說明如何評(píng)價(jià)。某同學(xué)想購置一臺(tái)電腦，他關(guān)心電腦的以下幾個(gè)指標(biāo)：“運(yùn)算功能〔數(shù)值、圖形等〕〞；“存儲(chǔ)容量〔內(nèi)、外存〕〞；“運(yùn)行速度〔CPU、主板等〕〞；“外設(shè)配置〔網(wǎng)卡、多媒體部件等〕〞；〞價(jià)格〞。于是請(qǐng)同宿舍幾個(gè)同學(xué)一起去買電腦。=“運(yùn)算功能〔數(shù)值、圖形等〕〞；=“存儲(chǔ)容量〔內(nèi)、外存〕〞；=“運(yùn)行速度〔CPU、主板等〕〞；=“外設(shè)配置〔網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等〕〞；=“價(jià)格〞。稱因素集。為了數(shù)學(xué)處理簡單，先令評(píng)語集其中=“很受歡送〞；=“較受歡送〞；=“不太受歡送〞；=“不受歡送〞；任選幾臺(tái)電腦，請(qǐng)同學(xué)和購置者對(duì)各因素進(jìn)行評(píng)價(jià)。假設(shè)一個(gè)給定的電腦，對(duì)于運(yùn)算功能有20%的人認(rèn)為是“很受歡送〞，50%的人認(rèn)為“較受歡送〞，30%的人認(rèn)為“不太受歡送〞，沒有人認(rèn)為“不受歡送〞，那么的單因素評(píng)價(jià)向量為同理，對(duì)存儲(chǔ)容量，運(yùn)行速度，外設(shè)配置和價(jià)格分別作出單因素評(píng)價(jià)，得組合成評(píng)判矩陣對(duì)微機(jī)的要求是：工作速度快，外設(shè)配置較齊全，價(jià)格廉價(jià)，而對(duì)運(yùn)算和存儲(chǔ)量那么要求不高。于是得各因素的權(quán)重分配向量：作模糊變換：存儲(chǔ)容量運(yùn)行速度外設(shè)配置價(jià)格運(yùn)算功能假設(shè)進(jìn)一步將結(jié)果歸一化得：結(jié)果說明，該用戶對(duì)這種微機(jī)表現(xiàn)為“最受歡送〞的程度為0.32，“較受歡送〞和“不太受歡送〞的程度為0.27，“不受歡迎〞的程度為0.14。按最大隸屬原那么，結(jié)論是：該電腦“很受歡送〞。模糊數(shù)學(xué)知識(shí)簡介設(shè)U是論域，映射A(x)：U→[0,1]確定了一個(gè)U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對(duì)A的隸屬程度.使A(x)=0.5的點(diǎn)x稱為A的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具模糊性.當(dāng)映射A(x)只取0或1時(shí)，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù).可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形.例設(shè)論域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子〞(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為

也可用Zadeh表示法：隸屬函數(shù)確實(shí)定1.模糊統(tǒng)計(jì)方法2.指派方法3.借用已有的“客觀〞尺度(A)

=A

={x|A(x)≥

}

-截集：模糊集的-截集A是一個(gè)經(jīng)典集合，由隸屬度不小于的成員構(gòu)成.例：論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(學(xué)生集)，他們的成績依次為50,60,70,80,90,95，A=“學(xué)習(xí)成績好的學(xué)生〞的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，那么A0.9(90分以上者)={u5,u6},A0.6(60分以上者)={u2,u3,u4,u5,u6}.常用的綜合評(píng)判模型

1、主因素決定型2、主因素突出型3、加權(quán)平均型第三節(jié)層次分析模型背景

日常工作、生活中的決策問題

涉及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等方面的因素作比較判斷時(shí)人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化Saaty于1970年代提出層次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)那么層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途一.層次分析法的根本步驟例.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.“選擇旅游地〞思維過程的歸納將決策問題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)那么層C，方案層P；每層有假設(shè)干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過相互比較確定各準(zhǔn)那么對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一準(zhǔn)那么的權(quán)重。

將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。層次分析法的根本步驟成比照較陣和權(quán)向量元素之間兩兩比照，比照采用相對(duì)尺度設(shè)要比較各準(zhǔn)那么C1,C2,…,Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性A~成比照較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對(duì)O的權(quán)向量選擇旅游地成比照較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成比照較陣和權(quán)向量成比照較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對(duì)于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成比照較陣A，建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)成比照較陣和權(quán)向量2468比較尺度aijSaaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強(qiáng)強(qiáng)明顯強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng)aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反心理學(xué)家認(rèn)為成比照較的因素不宜超過9個(gè)用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對(duì)假設(shè)干實(shí)例構(gòu)造成比照較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際比照發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。

便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成比照較陣和權(quán)向量一致性檢驗(yàn)對(duì)A確定不一致的允許范圍：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時(shí)為一致陣定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI——隨機(jī)模擬得到aij,形成A，計(jì)算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI

當(dāng)CR<0.1時(shí)，通過一致性檢驗(yàn)Saaty的結(jié)果如下“選擇旅游地〞中準(zhǔn)那么層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣最大特征根

=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗(yàn)組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對(duì)第2層每一元素(準(zhǔn)那么)的權(quán)向量方案層對(duì)C1(景色)的成對(duì)比較陣方案層對(duì)C2(費(fèi)用)的成對(duì)比較陣…Cn…Bn最大特征根

1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗(yàn)w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對(duì)第1層的權(quán)向量第3層對(duì)第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣那么第3層對(duì)第1層的組合權(quán)向量第s層對(duì)第1層的組合權(quán)向量其中W(p)是由第p層對(duì)第p-1層權(quán)向量組成的矩陣層次分析法的根本步驟1〕建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層〔目標(biāo)—準(zhǔn)那么或指標(biāo)—方案或?qū)ο蟆常蠈邮芟聦佑绊?，而層?nèi)各因素根本上相對(duì)獨(dú)立。2〕構(gòu)造成比照較陣用成比照較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對(duì)上一層每一因素的成比照較陣。3〕計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)對(duì)每一成比照較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，假設(shè)通過，那么特征向量為權(quán)向量。4〕計(jì)算組合權(quán)向量〔作組合一致性檢驗(yàn)*〕組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。二.層次分析法的廣泛應(yīng)用應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)方案和管理，能源政策和分配，人才選拔和評(píng)價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。

處理問題類型：決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等。

建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。構(gòu)造成比照較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出。國家綜合實(shí)力國民收入軍事力量科技水平社會(huì)穩(wěn)定對(duì)外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻(xiàn)收入發(fā)展聲譽(yù)關(guān)系位置供選擇的崗位例1

國家實(shí)力分析例2

工作選擇過河的效益

A經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時(shí)間C1收入C2岸間商業(yè)C3當(dāng)?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進(jìn)出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇(2002年賽)過河的代價(jià)

A經(jīng)濟(jì)代價(jià)

B1環(huán)境代價(jià)B3社會(huì)代價(jià)B2投入資金C1操作維護(hù)C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對(duì)水的污染C8對(duì)生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價(jià)層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇待評(píng)價(jià)的科技成果直接經(jīng)濟(jì)效益

C11間接經(jīng)濟(jì)效益

C12社會(huì)效益

C13學(xué)識(shí)水平

C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新

C22技術(shù)水平

C23技術(shù)創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評(píng)價(jià)例4科技成果的綜合評(píng)價(jià)三.層次分析法的假設(shè)干問題

正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？

怎樣簡化計(jì)算正互反陣的最大特征根和特征向量？

為什么用特征向量作為權(quán)向量？當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成比照較陣有空缺時(shí)怎樣用層次分析法？1.

正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理1

正矩陣A的最大特征根

是正單根，對(duì)應(yīng)正特征向量w，且定理2n階正互反陣A的最大特征根

n,

=n是A為一致陣的充要條件。正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。一致性指標(biāo)定義合理2.

正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計(jì)算

精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要

簡化計(jì)算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均?！?〕和法——取列向量的算術(shù)平均列向量歸一化算術(shù)平均精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010(2)根法——取列向量的幾何平均(3)冪法——迭代算法1〕任取初始向量w(0),k:=0，設(shè)置精度2)計(jì)算3）歸一化5)計(jì)算簡化計(jì)算4）若，停止；否則，k:=k+1,轉(zhuǎn)23.特征向量作為權(quán)向量——成比照較的多步累積效應(yīng)問題一致陣A,權(quán)向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,應(yīng)選權(quán)向量w使wi/wj與aij相差盡量小〔對(duì)所有i,j)。用擬合方法確定w非線性最小二乘線性化——對(duì)數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同按不同準(zhǔn)那么確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點(diǎn)。成比照較Ci:Cj(直接比較〕aij~1步強(qiáng)度aisasj~Ci通過Cs與Cj的比較aij(2)

~2步強(qiáng)度更能反映Ci對(duì)Cj的強(qiáng)度多步累積效應(yīng)表達(dá)多步累積效應(yīng)定理1特征向量表達(dá)多步累積效應(yīng)當(dāng)k足夠大,Ak第i行元素反映Ci的權(quán)重求Ak的行和4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計(jì)算完全層次結(jié)構(gòu)：上