函數(shù)極限的性質(zhì)

1、3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)一一 .極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)二二 . 利用函數(shù)極限的性質(zhì)利用函數(shù)極限的性質(zhì) 計算某些函數(shù)的極限計算某些函數(shù)的極限v定理3.2 如果當如果當xx0時時f(x)的極限存的極限存, , 那么這極限是唯一的那么這極限是唯一的 證明， x x f b a 時的極限時的極限 當當 都是都是 設(shè)設(shè) 0 , , ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 e e d d d d e e - - - - $ $ a x f x x 時有時有 當當 則則 , ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d - - - - $ $ b x f x x 時有時有 當當 故有故有

2、 同時成立同時成立 時時 則當則當 取取 ， x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1 d d d d d d d d - - = = . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( e e $ $ = = = = . 1 ) ( 1 ) ( + + - - a x f a x f . ) ; ( ) ( 0 內(nèi)有界內(nèi)有界 在在 即即 d d x u x f o o 3. 局部局部保號性保號性).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 d d d d$ $ = =xfxfxuxaaaxfxx或或時時當當則則或或且且若若定理定理3.4證明證明

3、設(shè)設(shè)a0,對任何對任何0,a- ,rare=取d則存在0,使得對一切使得對一切0;xuxdo有 ,f xare- =這就證得結(jié)論這就證得結(jié)論.對于對于a 0的情形可的情形可類似地證明類似地證明.).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 d d d d$ $= =aaxfxfxuxaxfxx或或則則或或時時當當且且若若推論推論v定理3.4(函數(shù)極限的局部保號性) 如果如果f(x)a(xx0), , 而且而且a 0(或或a 0), , 那么對任何那么對任何正數(shù)正數(shù)ra (或或 r r0 (或或f(x) -r $ $ - - = = 使得使得 則則 取取 設(shè)設(shè) . ) ( r a

4、x f = = - - e e 有有 . 0 的情形類似可證的情形類似可證 對于對于 r 推論 如果在如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)的某一去心鄰域內(nèi)f(x) 0(或或f(x) 0), , 而且而且 f(x)a(xx0), , 那么那么a 0(或或a 0) 3. 局部保號性局部保號性v定理3.5(函數(shù)極限的保不等式性) 證明). ( lim ) ( lim ), ( ) ( ) ; ( ) ( ), ( 0 0 0 0 x g x f x g x f x u x g x f x x x x x x 則則 內(nèi)有內(nèi)有 極限都存在且在極限都存在且在 時時 如果如果 d d o o , ) ( lim ,

5、) ( lim 0 0 b x g a x f x x x x = = = = 設(shè)設(shè) ) 1 ( ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f a x x - - - - $ $ e e d d d d e e 時有時有 當當 則則 ) 2 ( . ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d + + - - $ $ b x g x x 時有時有 當當 于是有于是有 同時成立同時成立 與與 不等式不等式 時時 則當則當 令令 ， x g x f x x ) 2 ( ), 1 ( ) ( ) ( , 0 , , , min 0 2 1 - - = = d d d d d d d d

6、 d d , ) ( ) ( e e e e + + - - b x g x f a . , 2 b a b a + + 的任意性知的任意性知 由由 從而從而 e e e e 4 保不等式保不等式).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxuxbabxgaxfxxxx d d$ $ = = =有有則則且且設(shè)設(shè)推論推論v定理3.6 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)、g(x)及及h(x)滿足下列條件滿足下列條件 (1) g(x) f(x) h(x), , (2)lim g(x)= =a, , lim h(x)= =a, , 那么那么lim f(x)存在存在, , 且且lim f(x)

7、= =a 證明), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x g a x x ， - - - - $ $ e e d d d d e e 時有時有 當當 按假設(shè)按假設(shè) . ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d + + - - $ $ a x h x x 時有時有 當當 故有故有 同時成立同時成立 時上兩不等式與時上兩不等式與 則當則當 令令 , ( ) ( ) ( 0 , , min 0 2 1 x h x f x g x x - - = = d d d d d d d d , ) ( ) ( ) ( e e e e + + - - a x h x f x g a . ) (

8、lim ) ( 0 a x f ， a x f x x = = =be，由 bxgxx=)(lim0，01$d使得當 100d-xx時，有 2)(bbxge, 仍然由 bxgxx=)(lim0，.02$d，使得當 200d-xx時，有 e2)(2bbxg-. 取 ),min(21ddd=，則當 d-00 xx時，有 ee=-=-22)(2)()(1)(1222bbbxgbbxgbxgbxgbxgxx1)(1lim0=即 推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf= =則則為常數(shù)為常數(shù)而而存在存在如果如果常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論推論2

9、 2.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf= =則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果定理的條件：定理的條件：)(lim),(limxgxf存在存在商的情形還須加上分母的極限不為商的情形還須加上分母的極限不為0定理簡言之即是：和、差、積、商的極限定理簡言之即是：和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商等于極限的和、差、積、商定理中極限號下面沒有指明極限過程，是指對定理中極限號下面沒有指明極限過程，是指對任何一個過程都成立任何一個過程都成立二、利用函數(shù)極限的性質(zhì)計算某些函數(shù)的極限二、利用函數(shù)極限的性質(zhì)計算某些函數(shù)的極限.已證明過以下幾個極限： ;coscoslim ,sins

10、inlim ,lim ,lim0000000 xxxxxxccxxxxxxxx=.2lim , 01lim=arctgxxxx（ 注意前四個極限中極限就是函數(shù)值 ） 利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原是：通過有關(guān)性質(zhì), 把所求極限化為基本極限, 代入基本極限的值, 即計算得所求極限. 這些極限可作為公式用. 在計算一些簡單極限時, 有五組基本極限作為公式用, 參閱 4p3738. 我們將陸續(xù)證明這些公式. 利用“迫斂性”和“四則運算”，可以從一些“簡單函數(shù)極限”出發(fā)，計算較復(fù)雜函數(shù)的極限。例求例求01limxxx.4lim (1)xxtgx-例求例求.例求例求.224sinsinlim4=

11、xx.22coslim4=xx( 利用極限和 ) 3113lim . ( 1 )11xxx-+e ee e+ + - -11xa只須只須)1(log)1(loge ee e+ + - -aax又只須又只須)1(log,11minloge ee ed d+ +- -= =aa令令時時當當d d |0 x)1(log11loge ed dd de e+ + - - - - -aaxe ee e+ + - -11xae e = =aaxx證證0 e e（不妨設(shè)（不妨設(shè)1）e e - - |1|xa要使要使.523735lim233+-xxxxx例例6求求例例5求求xx註註: 關(guān)于關(guān)于的有理分式當時的

12、極限. 參閱4p37 .11lim1071-xxx).1)(1(121+-=-aaaaannn 利用公式 .74lim222-=-+bxbaxxx求a和b. 1620(, .)33ab= -=補充題補充題: 已知 求極限方法舉例求極限方法舉例例例7 7.531lim232+ +- - -xxxx求求解解)53(lim22+ +- -xxx5lim3limlim2222+ +- -= =xxxxx5limlim3)lim(2222+ +- -= =xxxxx52322+ + - -= =, 03 = =531lim232+ +- - -xxxx)53(lim1limlim22232+ +- -

13、-= =xxxxxx3123- -= =.37= =小結(jié)小結(jié): :則有則有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf+ + + += =- -nnxxnxxxxaxaxaxf+ + + += =- -110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa+ + + += =- -10100).(0 xf= =則有則有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 = =xqxqxpxf)(lim)(lim)(lim000 xqxpxfxxxxxx= =)()(00 xqxp= =).(0 xf= =., 0)(0則商的法則不能應(yīng)用則商的法則不能應(yīng)用若若= =xq例例8 8.3214lim21-

14、-+ +- -xxxx求求解解)32(lim21- -+ +xxx, 0= =商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1- -xx又又, 03 = =1432lim21- - -+ +xxxx. 030= = =由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的關(guān)系,得得.3214lim21 = =- -+ +- -xxxx例例9 9.321lim221- -+ +- -xxxx求求解解.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x)00(型型.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小- -x)1)(3()1)(1(lim321lim1221- -+ +- -+ +

15、= =- -+ +- -xxxxxxxxx31lim1+ + += =xxx.21= =(消去零因子法消去零因子法)例例1010.147532lim2323- -+ + + + xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再求極限再求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx- -+ + + += =- -+ + + + .72= =(無窮小因子分出法無窮小因子分出法)小結(jié)小結(jié): :為非負整數(shù)時有為非負整數(shù)時有和和當當nmba, 0, 000 = = =+ +

16、+ + + + +- - - , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.例例1111).21(lim222nnnnn+ + + + 求求解解是無窮小之和是無窮小之和時時, n先變形再求極限先變形再求極限.222221lim)21(limnnnnnnnn+ + + += =+ + + + 2)1(21limnnnn+ += = )11(21limnn+ += = .21= = 由以上幾例可見，在

17、應(yīng)用極限的四則運算法則求由以上幾例可見，在應(yīng)用極限的四則運算法則求極限時，必須注意定理的條件，當條件不具備時，極限時，必須注意定理的條件，當條件不具備時，有時可作適當?shù)淖冃?，以?chuàng)造應(yīng)用定理的條件，有有時可作適當?shù)淖冃危詣?chuàng)造應(yīng)用定理的條件，有時可以利用無窮小的運算性質(zhì)或無窮小與無窮大的時可以利用無窮小的運算性質(zhì)或無窮小與無窮大的關(guān)系求極限。關(guān)系求極限。三、復(fù)合函數(shù)極限三、復(fù)合函數(shù)極限定理定理 （復(fù)合函數(shù)極限運算法則（復(fù)合函數(shù)極限運算法則變量代換法則）變量代換法則）aufxfaufaxxaxauxxauxx= = = = = =)(lim)(lim,)(lim,)(,)(lim000 則則又又的

18、某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)但在但在設(shè)設(shè)證證知知由由aufau= =)(lim0,0 $ $ e e有有時時使使當當,|0 - - aue e $ $ d d ，對對上上述述有有時時使使當當,|00d d - - xx - -|)(|axax )( 又又 - - |)(|0axe e - -|)(|axf由極限定義得由極限定義得aufxfauxx= = =)(lim)(lim0 此定理表明：此定理表明：滿滿足足定定理理的的條條件件與與若若)()(xuf 則可作代換則可作代換轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為把把求求)(lim)(0 xfxuxx = =)(lim),(lim0 xaufxxau = =這這里里極限過程的轉(zhuǎn)化極限過程的轉(zhuǎn)化注注1aufaufxaxuau= = = = = = )(lim)