01 【人教版】八年級上期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第一學(xué)期人教版八年級數(shù)學(xué)期中模擬卷一（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題(共30分)1．如圖，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，得∠A2，?，∠A3BC與∠A3CD的平分線相交于點(diǎn)A4，得∠A4，則∠A4的度數(shù)為（）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義，三角形的外角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可知，，，依此類推可知的度數(shù)【詳解】解：與的平分線交于點(diǎn)，，，，同理可得，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題是找規(guī)律的題目，主要考查了三角形的外角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，同時(shí)考查了角平分線的定義．解答的關(guān)鍵是掌握外角和內(nèi)角的關(guān)系．2．一個(gè)三角形的三個(gè)外角之比為，則這個(gè)三角形是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)三角形的外角和等于360°求出三個(gè)外角，再求出三個(gè)內(nèi)角，即可得出答案．【詳解】解：∵三角形的三個(gè)外角之比為5∶2∶5，

∴三角形的三個(gè)外角的度數(shù)為：150°，60°，150°，

∴三角形對應(yīng)的內(nèi)角度數(shù)為30°，120°，30°，

∴此三角形是等腰三角形，

故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角和定理，解此題的關(guān)鍵是求出各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．3．如圖G是△ABC的重心，直線過A點(diǎn)與BC平行．若直線CG分別與AB、交于D、E兩點(diǎn)，直線BG與AC交于F點(diǎn)，則△AED的面積：四邊形ADGF的面積＝（）A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2【答案】D【分析】根據(jù)重心的概念得出D，F(xiàn)分別是三角形邊的中點(diǎn)．若設(shè)△ABC的面積是2，則△BCD的面積和△BCF的面積都是1．又因?yàn)锽G：GF＝CG：GD，可求得△CGF的面積．則四邊形ADGF的面積也可求出．根據(jù)ASA可以證明△ADE≌△BDC，則△ADE的面積是1．則△AED的面積：四邊形ADGF的面積可求．【詳解】解：設(shè)三角形ABC的面積是2，

∴三角形BCD的面積和三角形BCF的面積都是1，

∵BG：GF＝CG：GD＝2，

∴三角形CGF的面積是，

∴四邊形ADGF的面積是2?1?＝，∵,∴,∵,

∵△ADE≌△BDC（ASA）

∴△ADE的面積是1

∴△AED的面積：四邊形ADGF的面積＝1：＝3：2．

故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)的距離的2倍．4．如圖，在中，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于，交于，過點(diǎn)作于，下列四個(gè)結(jié)論：

①；②當(dāng)時(shí)，；③若，，則．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】B【分析】由角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和可判定①，在AB上取一點(diǎn)H，使BH=BE，進(jìn)而可證△HBO≌△EBO，則有∠BOH=∠BOE=60°，再證得△HAO≌△FAO，得到AH=AF，進(jìn)而可判定②，作OG⊥AC于G，OM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積可判定③．【詳解】解：∵和的平分線、相交于點(diǎn)，∴，∴，故①錯(cuò)誤；∵，∴，∴，∴，∴，如圖，在AB上取一點(diǎn)H，使BH=BE，

∵BF是∠ABC的角平分線，∴，∵OB=OB，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴，∴，∴，∵，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴，∴，故②正確；作OG⊥AC于G，OM⊥AB于M，如圖所示：

∵和的平分線、相交于點(diǎn)，∴點(diǎn)在的平分線上，∴，∴，故③正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．如圖，是的邊上的中線，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長至點(diǎn)E，使，連接，證明，可得，然后運(yùn)用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)果．【詳解】如圖，延長至點(diǎn)E，使，連接．∵為的邊上的中線，∴，在和中，∴，∴．在中，，即，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)中點(diǎn)倍長法構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．如圖，，則下列各式正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過，，得到，得到，即可得解；【詳解】∵，，∴，∴，即，在和中，，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的全等判定，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．7．下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，符合題意；B、是軸對稱圖形，不合題意；C、是軸對稱圖形，不合題意；D、是軸對稱圖形，不合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱圖形，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．如圖，在中，、的平分線交于點(diǎn)，若，，則的大小是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】在CB上取CE=AC，連接BP，則BP是∠ABC的角平分線，得到，證明△ACP≌△ECP，AP=EP，∠CAP=∠CEP，根據(jù)BC=AP+AC，BC=BE+CE，得到BE=EP=AP則∠EBP=∠BPE=20°，再由三角形外角的性質(zhì)求得∠CAP=∠CEP=∠EBP+∠BPE=40°，再根據(jù)角平分線的定義求解即可．【詳解】解：如圖所示，在CB上取CE=AC，連接BP，則BP是∠ABC的角平分線，∴，∵PC是∠ACB的角平分線，∴∠ACP=∠ECP，在△ACP和△ECP中，∴△ACP≌△ECP（SAS），∴AP=EP，∠CAP=∠CEP，∵BC=AP+AC，BC=BE+CE，∴BE=EP=AP∴∠EBP=∠BPE=20°，∴∠CAP=∠CEP=∠EBP+∠BPE=40°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAC=2∠CAP=80°，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．9．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】此題需要分情況討論：等腰角形的頂角是鈍角，等腰三角形的頂角是銳角，分別畫出圖形進(jìn)行求解即可．【詳解】如圖1

；

如圖2

，故頂角．故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時(shí)，考慮問題要全面，必要的時(shí)候可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中．10．如圖，是正內(nèi)一點(diǎn)，，，，將線段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，下列結(jié)論：①可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到；②點(diǎn)與的距離為4；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③【答案】A【分析】證明△≌△BOC，又∠OB＝60°，所以△BA可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論①正確；由△OB是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；在△AO中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故△AO是直角三角形；進(jìn)而求得∠AOB＝150°，故結(jié)論③正確；故結(jié)論④錯(cuò)誤；將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)．利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將S△AOC+S△AOB轉(zhuǎn)化為，計(jì)算可得結(jié)論⑤正確．【詳解】解：如圖，由題意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝B，AB＝BC，∴△BA≌△BOC，又∵∠OB＝60°，∴△BA可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論①正確；如圖，連接O，∵OB＝B，且∠OB＝60°，∴△OB是等邊三角形，∴O＝OB＝4．故結(jié)論②正確；∵△BA≌△BOC，∴A＝5．在△AO中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，∴△AO是直角三角形，∠AO＝90°，∴∠AOB＝∠AO+∠BO＝90°+60°＝150°，故結(jié)論③正確；，故結(jié)論④錯(cuò)誤；如圖，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至，易知△AO是邊長為3的等邊三角形，△CO是邊長為3、4、5的直角三角形，則，故結(jié)論⑤正確．綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③⑤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換中等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，利用勾股定理的逆定理，判定勾股數(shù)3、4、5所構(gòu)成的三角形是直角三角形，這是本題的要點(diǎn)，在判定結(jié)論⑤時(shí)，將△AOB向不同方向旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)了結(jié)論①至結(jié)論④解題思路的拓展應(yīng)用．二、填空題(共24分)11．已知中，，現(xiàn)將折疊，使點(diǎn)、兩點(diǎn)重合，折痕所在的直線與直線的夾角為，則的度數(shù)為___________．【答案】或【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，如圖1，由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB，從而可求得∠A，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求得∠B；當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，如圖2，由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB，從而可求得∠DAE，然后由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)可求得∠B．【詳解】當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，如圖1：由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB，∴∠A＋∠AFE＝90°，∴∠A＝90°﹣20°＝70°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠B＝×（180°﹣∠A）＝55°；當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，如圖2：由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB，∴∠D＋∠DAE＝90°．∴∠DAE＝90°﹣20°＝70°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵∠B＋∠C＝∠DAE，∴∠B＝∠DAE＝35°，故答案為：55°或35°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；這里要分類討論：分別就等腰三角形的頂角是銳角和鈍角兩種情況進(jìn)行討論．12．在△ABC中，射線AG平分∠BAC交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)G重合），過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，∠EDB的角平分線所在直線交AB于點(diǎn)H，交射線AG于點(diǎn)F，則∠B與∠AFD之間的數(shù)量關(guān)系是__．【答案】∠AFD=90°﹣∠B【分析】利用角平分線的定義可得∠BAF＝∠BAC，∠HDB＝∠EDB，由于DE∥AC，則∠EDB＝∠C，可得∠HDB＝∠C；利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠AHF＝∠B＋∠HDB，在△AHF中，利用三角形的內(nèi)角和定理列出關(guān)系式后整理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AG平分∠BAC，

∴∠HAF＝∠BAC．

∵DH平分∠EDB，

∴∠HDB＝∠EDB．

∵DE∥AC，

∴∠EDB＝∠C．

∴∠HDB＝∠C．

∵∠AHF為△HDB的外角，

∴∠AHF＝∠B＋∠HDB．

在△AHF中，由三角形的內(nèi)角和定理可得：

∠BAF＋∠AHF＋∠AFD＝180°．

∴∠BAC＋∠B＋∠HDB＋∠AFD＝180°．

∴∠BAC＋∠B＋∠C＋∠AFD＝180°．

∵在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，

∴∠BAC＋∠C＝90°－∠B．

∴90°－∠B＋∠B＋∠AFD＝180°．

∴∠B＋∠AFD＝90°．

∴∠AFD＝90°－∠B．

故答案為：∠AFD＝90°－∠B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理及其推論，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)．充分利用三角形的內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)D是半徑為2的⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，則BM的最大值是__．【答案】【分析】如圖，取AC的中點(diǎn)N，連接MN，BN，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理求出BN，MN，再利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題．【詳解】解：如圖，取AC的中點(diǎn)N，連接MN，BN，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∵AN=NC=AC=，∴BN=AC=∵點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，∴DM=MC，∴MN=AD=1∴BM≤BN＋NM，∴BM≤+1=，即BM的最大值是.【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．14．如圖，中，在邊上，，在邊上，，過點(diǎn)作，交于．若，，則的長為______．【答案】【分析】在上截取，連接，作于，證明，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)解得，，在中，利用勾股定理解得，最后由平行線分線段成比例解題即可．【詳解】解：在上截取，連接，作于，∵，，∴，，又∵，，∴，在和中，，∴，所以，∵，∴在中，，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．15．如圖，在中，，F(xiàn)是邊上的中點(diǎn)，則________1．（填“>”“=”或“<”）【答案】<【分析】連接AE，先證明得出，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得結(jié)果．【詳解】如圖，連接，在和中，∴，∴，在中，，∴，∵F是邊上的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：<．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟知全等三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．等腰三角形ABC的底邊BC長為6，面積是21，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△BDM的周長的最小值為____．【答案】10【分析】如圖，連接AD，由題意點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，推出AD的長為BM＋MD的最小值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，連接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝?BC?AD＝×6×AD＝21，∴AD＝7，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AM=BM，∴BM＋MD=AM＋MD，即當(dāng)A，M，D三點(diǎn)共線時(shí)，BM＋MD的值最小，∴AD的長為BM＋MD的最小值，∴△BDM的周長最短為AD＋BD＝AD＋BC＝10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱?最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．17．如圖，在中，，平分，點(diǎn)，分別是和上的任意一點(diǎn)，連接，設(shè)的面積為，．

（1）當(dāng)點(diǎn)，重合時(shí)，_______________________．（2）連接交于點(diǎn)，則_______________________（填“”，“”，“”，“”或“”）；【答案】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得解；（2）連接PC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證明，得到，得到，再根據(jù)D、P、C的位置判斷即可；【詳解】（1）∵，平分，∴，，當(dāng)點(diǎn)，重合時(shí)，，∵的面積為，∴；故答案是．（2）連接PC，

由（1）可得：，∵，，∴，∴，∴，當(dāng)D、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，，當(dāng)D、P、C三點(diǎn)不共線時(shí)，，∴；故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．如圖1，是我們平時(shí)使用的等臂圓規(guī)，即．若把n個(gè)相同規(guī)格的等臂圓規(guī)的兩腳依次擺放在同一條直線上，如圖2所示，其張角度數(shù)變化如下：，，，，…根據(jù)上述規(guī)律請你寫出__________．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】【分析】張角度數(shù)變化如下：，，，，…由此可以得到張角的度數(shù)變化規(guī)律為，再由三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案．【詳解】解析：由張角度數(shù)變化可知頂角，∵，∴∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．三、解答題(共46分)19．(本題8分)如圖，將沿邊翻折至．

（1）求證：；（2）延長至，延長交于．求證：；（3）在（2）的條件下，延長至，連，連接，并延長至，作的平分線交延長線于，若，，，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．【分析】（1）由翻折性質(zhì)得到，，再三角形外角性質(zhì)解題；（2）由三角形外角性質(zhì)解得，，再求角的差；（3）延長至，由角平分線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)解得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和180°，得到，繼而代入計(jì)算解題【詳解】解：（1）延長至∵翻折至，∴設(shè)，，∴，∴．

（2）設(shè)，則，∴，∴．（3）延長至，由（1）知，∵，∴，∵平分，∴是兩個(gè)外角平分線交點(diǎn)，∵是的外角∴，∴①∵，∴②在中∴③把①、②代入③得，∴，∵，∴，∴答：的度數(shù)是．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．20．(本題8分)小明為班級購買信息學(xué)編程競賽的獎(jiǎng)品后，回學(xué)校向班主任李老師匯報(bào)說：“我買了兩種書，共30本，單價(jià)分別為20元和24元，買書前我領(lǐng)了700元，現(xiàn)在還余38元．”李老師算了一下，說：“你肯定搞錯(cuò)了．”（1）李老師為什么說他搞錯(cuò)了？試用方程的知識(shí)給予解釋；（2）小明連忙拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯(cuò)了，因?yàn)樗€買了一個(gè)筆記本．但筆記本的單價(jià)已模糊不清，只能辨認(rèn)出應(yīng)為小于10元的整數(shù)，如果單價(jià)為20元的書多于24元的書，請問：筆記本的單價(jià)為多少元？【答案】（1）見解析；（2）6元【分析】（1）設(shè)單價(jià)為20元的書買了x本，單價(jià)為24元的書買了y本，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合購買兩種書30本共花費(fèi)（700?38）元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，結(jié)合x，y的值為整數(shù)，即可得出小明搞錯(cuò)了；（2）設(shè)單價(jià)為20元的書買了a本，則單價(jià)為24元的書買了（30?a）本，筆記本的單價(jià)為b元，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，化簡后可得出a＝14＋，結(jié)合0＜b＜10，且a，b均為整數(shù)，可得出b＝2或6，將b值代入a＝14＋中可求出a值，再結(jié)合單價(jià)為20元的書多于24元的書，即可確定b值．【詳解】解：（1）設(shè)20元的書買了本，24元的書買了本，由題意，得，解得，∵，的值為整數(shù)，故，的值不符合題意（只需求出一個(gè)即可）∴小明搞錯(cuò)了；（2）設(shè)20元的書買了本，則24元的書買了本，筆記本的單價(jià)為元，由題意，得：，化簡得：∵，∴或6．當(dāng)，，即20元的書買了15本，24元的書買了15本，不合題意舍去當(dāng)，，即20元的書買了16本，則24元的書買了14本∴．答：筆記本的價(jià)格為6元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．21．(本題10分)在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長交于點(diǎn)．求證：．（2）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)，，，求的長度．（3）若過點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）；（3）線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)證得再根據(jù)，即可得到，得到．（2）延長與的延長線相交于點(diǎn)．證明，推出，求出的面積即可解決問題．（3）位置關(guān)系的證明比較簡單，數(shù)量關(guān)系分四種情形：當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)，畫出對應(yīng)的圖形，利用三角形和梯形的面積公式分別證明即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖1，直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，又為邊中點(diǎn)，，在和中，，，．（2）解：如圖2，延長與的延長線相交于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，，又為中點(diǎn)，，又，∴在和中，，，，，，∵，，，，，，，．（3）位置關(guān)系：，數(shù)量關(guān)系：分四種情況討論∵直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，∴，①如圖3，當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，由（1）可知，，即，，，，∵，．②當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，如圖，延長交的延長線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，又為邊中點(diǎn)，，在和中，，，．，即，，，，∵，．③如圖4，當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)．由（2）得：，，，∴，即，．④當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)，如圖，延長交的延長線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，，又為中點(diǎn)，，又，∴在和中，，，，，∴，即，．綜上所述，線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，以及三角形和梯形的面積公式的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)．22．(本題10分)如圖，已知射線，是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），、分別在射線上且滿足平分，平分，過作交于點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，求此時(shí)的大小？（3）若，當(dāng)為直角三角形時(shí)，請直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）60°；（2）96°；（3）135°-或135°-【分析】（1）先推出∠BAM=120°，根據(jù)角平分線的定義，可得∠BAC=2∠CAD，∠CAM=2∠CAE，進(jìn)而即可求解；（2）設(shè)∠BAD=x，由，得x+60°=（180°-x-60°），求解x的值，進(jìn)而即可求解；（3）分兩種情況：①當(dāng)為直角三角形，∠BAC=90°時(shí)，②當(dāng)為直角三角形，∠BCA=90°時(shí)，分別求出即可．【詳解】解：