小學(xué)四年級(jí)下冊(cè) 數(shù)學(xué)《奧數(shù)》知識(shí)點(diǎn)講解第10課 圖形的剪拼2 試題附答案

小學(xué)四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第10課《圖形的剪拼2》試題附答案

第十講圖形的剪拼（二）

類(lèi)似棋盤(pán)圖形的剪拼問(wèn)題更需要我們認(rèn)真的思考、周密的分析，雖然有的

問(wèn)題難度較大，但通過(guò)我們的探索，還是能尋找到規(guī)律性的.

例1如右圖所示，請(qǐng)將這個(gè)正方形分切成兩塊，使得兩塊的形狀、大小都

相同，并且每一塊都含有A、B、C、D、E五個(gè)字母.

例2如右圖所示.請(qǐng)將這個(gè)正方形切成四塊，使得它們彼此之間的形狀和大小

都相同，而且每塊當(dāng)中都含有A、B、C,D四個(gè)字母.

DCAA

BBCD

ADCA

BCDB

例3如右圖所示的正方形是由36個(gè)小正方格組成的.如圖那樣放著4顆黑子，4

顆白子，現(xiàn)在要把它切割成形狀、大小都相同的四塊，并使每一塊中都有一顆

黑子和一顆白子.試問(wèn)如何切割？

OOO

O

例4如下頁(yè)圖，甲、乙是兩個(gè)大小一樣的正方形.要求把每一個(gè)正方形分成四

塊，兩個(gè)正方形共分為八塊，使每塊的大小和形狀都相同，而且都帶一個(gè)O.

甲乙

例5如右圖所示，請(qǐng)將這個(gè)正方形分成大小和形狀都一樣的四塊，并且使每一

塊都有A、B、C、D四個(gè)字母.

例6如下圖長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為120厘米、90厘米，正中央開(kāi)有小長(zhǎng)方形

孔，長(zhǎng)為80厘米，寬為10厘米，要拼成面積為100平方厘米的正方形.問(wèn)如何切

分，能使劃分的塊數(shù)最少.

答案

第十講圖形的剪拼（二）

類(lèi)似棋盤(pán)圖形的剪拼問(wèn)題更需要我們認(rèn)真的思考、周密的分析，雖然有的

問(wèn)題難度較大，但通過(guò)我們的探索，還是能尋找到規(guī)律性的.

例1如右圖所示，請(qǐng)將這個(gè)正方形分切成兩塊，使得兩塊的形狀、大小都

相同，并且每一塊都含有A、B、C,D,E五個(gè)字母.

E

BBD

DEC

AAC

分析圖中有相同字母挨在一起的情況，肯定要從它們之間切開(kāi)，因此，首

先要在它們之間劃出切分線(xiàn).因?yàn)橐獙⑦@個(gè)正方形切開(kāi)成兩塊形狀和大小都一樣

的圖形，所以其中一塊繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°必定與另一塊重合.要是把切分線(xiàn)也

繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。就可得到一些新的切分線(xiàn).這就為我們解決問(wèn)題提供了線(xiàn)

索，本題的兩種解法如下圖所示.

例2如右圖所示.請(qǐng)將這個(gè)正方形切成四塊，使得它們彼此之間的形狀和大小

都相同，而且每塊當(dāng)中都含有A、B、C、D四個(gè)字母.

DCAA

BBCD

ADCA

BCDB

分析先將圖中兩個(gè)相同字母挨在一起的之間劃出切分線(xiàn).因?yàn)橐颜叫?/p>

切成形狀大小完全相同的四塊，其中一塊繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°、180。、270。之

后必定分別和另外三塊重合.那么畫(huà)出的切分線(xiàn)在繞中心旋轉(zhuǎn)90°、180。、

270。之后得到一些新的切分線(xiàn)，從而為我們解決問(wèn)題提供了線(xiàn)索.

同時(shí)我們知道：所分成的四塊面積每一塊都應(yīng)是正方形面積的：，即一

4

塊里都應(yīng)包含有四個(gè)小正方形.本題解答如右圖所示.

DCAA

BBCD

ADCA

BCDB

例3如右圖所示的正方形是由36個(gè)小正方格組成的.如圖那樣放著4顆黑子，4

顆白子，現(xiàn)在要把它切割成形狀、大小都相同的四塊，并使每一塊中都有一顆

黑子和一顆白子.試問(wèn)如何切割？

分析首先在相同顏色的棋子之間劃出切分線(xiàn)，以中心旋轉(zhuǎn)90°、180。、

270。之后，得一些新的切分線(xiàn)，同時(shí)考慮到每塊包含有一顆黑子和一

顆白子的要求.以及每塊面積是正方形面積的;，即含有9個(gè)小正方格.

找到了符合要求的其中一塊之后，讓它繞中心旋轉(zhuǎn)90°、180。、270°便

得到其他三塊，如右圖.

例4如下頁(yè)圖，甲、乙是兩個(gè)大小一樣的正方形.要求把每一個(gè)正方形分成四

塊，兩個(gè)正方形共分為八塊，使每塊的大小和形狀都相同，而且都帶一個(gè)O.

分析一個(gè)正方形分成大小和形狀都相同的四塊，一定是從中心點(diǎn)分開(kāi)的，

只要能找出其中符合題目要求的一塊，然后再將這塊繞著正方形的中心點(diǎn)分別

旋轉(zhuǎn)90°、180。、270。就可以得到另外三塊.又因?yàn)檫@個(gè)正方形面積為36平方

單位，所以分成的每一塊的面積都是9平方單位.即每一塊都由9個(gè)小正方格組

成.另外，由于兩個(gè)正方形要切分成一樣大小的四塊，因此可將兩個(gè)正方形重疊

在一起考慮.

解：①將兩個(gè)正方形重疊在一起，如右圖所示，為便于區(qū)別，將其中一組

的”改寫(xiě)成“X按要求將這重疊的正方形切分成大小、形狀都相同的四

塊，并且每塊都有一個(gè)“O”和“X

xO

Ox

O

②圖中有相同符號(hào)的“O”操在一起的從中間把它們切開(kāi)，在它們中間劃

上截線(xiàn).并將這些截線(xiàn)繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。、180。、270。得到另外三段截線(xiàn).如

右圖.利用它們?cè)O(shè)想出劃分線(xiàn).

③設(shè)想分塊從中心位置開(kāi)始，逐步向外擴(kuò)散，在里層方格中，先指定某一

方格已分入到某小塊中，并作上記號(hào)（斜線(xiàn)陰影），然后將它繞中心旋轉(zhuǎn)180。

后得到另一方格分入到另一小塊中，也作上記號(hào)（橫線(xiàn)陰影），如右圖.

XO

1OX

電

—X1

O

對(duì)于中間一層方格和最外一層方格，設(shè)想分塊時(shí)一定要緊扣條件：每一塊

中都要有一個(gè)“O”和一個(gè)“X”.每一塊都有9個(gè)方格組成，不能斷開(kāi).下圖是

分解了的分塊過(guò)程示意圖.

④注意到斜線(xiàn)陰影部分已經(jīng)有了一個(gè)”和一個(gè)“X那么左下角包含

“O”的方格就不能再分到斜線(xiàn)陰影部分去了，而只能將右下角的方格分到斜

線(xiàn)陰影部分.于是左上角的方格就應(yīng)該分給橫線(xiàn)陰影部分.空白部分是另外兩塊.

右圖就是最后分得的結(jié)果.

例5如右圖所示，請(qǐng)將這個(gè)正方形分成大小和形狀都一樣的四塊，并且使每一

塊都有A、B、C、D四個(gè)字母.

BAA

AB

ADD

CCCC

DD

BB

分析這個(gè)正方形的面積是8X8=64（平方單位），切開(kāi)后每一小塊應(yīng)是16

平方單位（即由16個(gè)小方格組成），由于要求分成的四塊形狀、大小都相同，

必定是由中心點(diǎn)分開(kāi)的.而且其中一塊若繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°、180。、270°后必

定和其他三塊重合.

解：①將兩個(gè)相同字母并列在一起的中間劃出切分線(xiàn)，并將它們分別繞中

心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°、180。、270。，得到相應(yīng)的另三段切分線(xiàn).如下左圖所示.

②從最里層開(kāi)始，沿著畫(huà)出的切分線(xiàn)作設(shè)想分塊，注意到題目的要求，找

到滿(mǎn)足要求題目的一塊，如下右圖中陰影部分

BAiABA

—7/7/7/7/7/

AB|B

ADuDD

aCTcc1ccC

11DD—D的

目BBB%III

1

1——

③將上面的陰影部分繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，可以得到符合條件的另一塊，這

樣兩塊空白部分也符合條件，最后劃分的結(jié)果如右圖所示.

例6如下圖長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為120厘米、90厘米，正中央開(kāi)有小長(zhǎng)方形

孔，長(zhǎng)為80厘米，寬為10厘米，要拼成面積為100平方厘米的正方形.問(wèn)如何切

分，能使劃分的塊數(shù)最少.

分析切分前面積為12X90-80X10=10000（平方厘米）應(yīng)與拼成后的正方

形面積相等.拼成后正方形的邊長(zhǎng)x=100厘米.因?yàn)椋?00=120-20=90+10.假設(shè)上

頁(yè)圖切成兩塊如下左圖，然后將右塊向上平移10厘米，再向左平移20厘米，就

拼成了一個(gè)正方形，切分線(xiàn)不可能是直線(xiàn)，一定是折線(xiàn)段.切分后的兩塊類(lèi)似階

悌形，然后由兩個(gè)階悌互相嚙合，組成一個(gè)正方形，如下右圖.

習(xí)題十

1.把右圖劃分成形狀、大小完全相同的4塊，而且每塊中有一個(gè)字母.

2.將下圖中的各圖分別切成大小、形狀相同的三塊，便每塊都帶有一個(gè)小

圓圈“O

3.將右圖分成4塊，使它們的形狀、大小都相同并且每塊內(nèi)都有一個(gè)小圓圈

“O”

4.如下圖有兩個(gè)正方形，請(qǐng)把每一個(gè)正方形分成兩塊，兩個(gè)正方形共四

四年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第十講圖形的剪拼（二）習(xí)題解答

習(xí)題十解答