學案乘法公式與全概率公式

乘法公式與全概率公式

【第一學時】

【學習目標】

1.通過乘法公式及其推廣的學習，體會數(shù)學抽象的素養(yǎng)。

2.借助乘法公式及其推廣解題，提升數(shù)學運算素養(yǎng)。

【學習重難點】

1.掌握乘法公式及其推廣。(重點)

2.會用乘法公式及全概率公式求相應事件的概率。(難點)

【學習過程】

一、新知初探

乘法公式及其推廣

(1)乘法公式：PCAB)=P(A)PCB\A),其中尸(A)>0.

(2)乘法公式的推廣：

設4表示事件，i=l,2,3,且P(4)>0,P(AIA2)>0,

則P(AiA2A3)=P(Ai)P(A2|AI)P(A3|AIA2)O

其中P(A3H1A2)表示已知Al與A2都發(fā)生時A3發(fā)生的概率，P(A1A2A3)表示4A2A3同

時發(fā)生的概率。

二、初試身手

1.思考辨析(正確的打“『'，錯誤的打“X”)

(1)P(AB)=P(84)。()

(2)PCAB)=P(A)P(B)o()

(3)P(AM2A3A4)=P(Ai)P(A2IA1)P(A3IA1A2)P-《加),其中尸(Ai)>0,

P(A2A1)>0,P(A1A2A3)>0.()

12

2.已知尸(8|A)P(A)=5,則P(AB)等于()

5B2

A.$10

3.某人忘記了一個電話號碼的最后一個數(shù)字，只好去試撥，他第一次失敗、第二次成功

的概率是（）

12

IOB.lo

89

cJ—10D.To

=；,則P(=_

4.若P(B|A)

三、合作探究

類型1乘法公式及其應用

【例1】一袋中裝10個球，其中3個黑球、7個白球，先后兩次從中隨意各取一球（不放

回），求兩次取到的均為黑球的概率。

類型2乘法公式的推廣及應用

［例2］設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為盤若第一次落下未打

破，第二次落下打破的概率為7看若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9心試求透

鏡落下三次而未打破的概率。

類型3乘法公式的綜合應用

【例3】已知某廠家的一批產(chǎn)品共100件，其中有5件廢品。但采購員不知有幾件次品，

為慎重起見，他對產(chǎn)品進行不放回的抽樣檢查，如果在被他抽查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢

品，則他拒絕購買這一批產(chǎn)品。求采購員拒絕購買這批產(chǎn)品的概率。

【學習小結】

1.乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)進一步揭示了P(A),P(B|A)及尸(AB)三者

之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了“知二求一”的轉(zhuǎn)化化歸思想。

2.該公式同時也給出了“積事件”概率的另一種求解方式，即在事件A,3不相互獨立的

前提下可考慮條件概率的變形公式，即乘法公式。

3.注意P(A)P(B\A)與P(B)P(A\B)的等價轉(zhuǎn)化。

【精煉反饋】

31

1.若P(8)=§,P(A|B)=],則尸(A8)為()

3「5

A-10B-6

C,2D,5

2.從一副不含大、小王的52張撲克牌中不放回地抽取2次，每次抽一張，則第2次才抽

到A的概率是()

±B工

A13D-17

164

C,22?D,5?

3.有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中，隨機抽取一

粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率是O

4.4張獎券中只有1張能中獎，現(xiàn)分別由4名同學無放回地抽取，若已知第一名同學沒

有抽到中獎券，則最后一名同學抽到中獎券的概率為o

5.已知6個高爾夫球中有2個不合格，每次取1個，不放回地取兩次，求兩次均取到不

合格球的概率。

【第二學時】

【學習目標】

1.通過學習全概率公式及貝葉斯公式，體會邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng)。

2.借助全概率公式及貝葉斯公式解題，提升數(shù)學運算的素養(yǎng)。

【學習重難點】

1.理解并掌握全概率公式。（重點）

2.了解貝葉斯公式。（難點）

3.會用全概率公式及貝葉斯公式解題。（易錯點）

【學習過程】

一、新知初探

1.全概率公式

（1）P（B）=P（A）P（陰A）+尸（彳）PCB\A）；

（2）定理1

若樣本空間。中的事件4,A2,4滿足：

①任意兩個事件均互斥，即4A=0,i,j=\,2,〃，/j；

②Ai+A2+...+4=。；

③尸（4）>0,z=l,2,...?no

則對Q中的任意事件B,都有8=84i+BA2+...+34。

2.貝葉斯公式

(1)一般地，當OVP(A)<1且P(B)>0時，有

P(A)P(B|A)

PCA\B)=

P(B)

（2）定理2若樣本空間。中的事件4,A2,…，4滿足：

①任意兩個事件均互斥，即4A=0,i,j=\,2,…，〃，屎/；

②Ai+A2+…+4=。；

③1>P（A,）>0,i=\,2,no

則對。中的任意概率非零的事件8,有

P(4⑻

P?

二、初試身手

1.思考辨析（正確的打“4”，錯誤的打“X”）

(1)P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A\B)o()

(2)P(B)=P(A)PCB\A)+P(A)P(B|A)o)

C)PMIR')_P(A8)_P(8)P(A|B)

1_P(B)~P(A)P(B\A))

已知事件A,B,且P(A)=1,P(B|A)1_2

2.=亍PCB\A)=亍則P(B)等于()

3B-I

A.5

1

C.3D-15

3.一袋中裝有大小、形狀均相同的5個球，其中2個黑球，3個白球，從中先后不放回地

任取一球，則第二次取到的是黑球的概率為。

4.對以往數(shù)據(jù)分析結果表明，當機器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為98%,而當機器發(fā)

生某種故障時，其合格率為55%。每天早上機器開動時，機器調(diào)整良好的概率為95%。則已知

某日早上第一件產(chǎn)品是合格時，機器調(diào)整得良好的概率約是o

三、合作探究

類型1全概率公式及其應用

【例1】甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個正品和3個次品。

（1）從甲箱中任取2個產(chǎn)品，求這2個產(chǎn)品都是次品的概率；

（2）若從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求取出的這

個產(chǎn)品是正品的概率。

類型2貝葉斯公式及其應用

【例2】一項血液化驗用來鑒別是否患有某種疾病。在患有此種疾病的人群中，通過化驗

有95%的人呈陽性反應，而健康的人通過化驗也會有1%的人呈陽性反應。某地區(qū)此種病的患

者僅占人口的0.5%。若某人化驗結果為陽性，問此人確實患有此病的概率是多大？

類型3全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用

【例3】假定具有癥狀S={S1,S2,S3,S4}的疾病有d2,為三種，現(xiàn)從20000份患有

疾病4,di,心的病歷卡中統(tǒng)計得到下列數(shù)字：

疾病人數(shù)出現(xiàn)S癥狀人數(shù)

d\77507500

di52504200

dy70003500

試問當一個具有S中癥狀的病人前來要求診斷時，他患有疾病的可能性是多少？在沒有別

的資料可依據(jù)的診斷手段情況下，診斷該病人患有這三種疾病中哪一種較合適？

【學習小結】

n

1.全概率公式尸(B)=￡p(A)P(B|Ai)在解題中體現(xiàn)了化整為零的轉(zhuǎn)化化歸思想。

2.貝葉斯概率公式反映了條件概率尸(陰A)=今黑，全概率公式P(A)=\P(Bi)P

)/=1

CA\Bi)及乘法公式PCAB)=P(B)P(A|3)之間的關系。

_P(BA)_P(B/)P(A|5)

即P(剛4)

-P(A)-P(A)

【精煉反饋】

1.有朋自遠方來，乘火車、船、汽車、飛機來的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4,遲到的

概率分別為0.25,0.3,0.1,0.則他遲到的概率為()

A.0.65B.0.075

C.0.145D.0

2.兩臺機床加工同樣的零件，第一臺的廢品率為0