隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征的意義前面討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù)，我們看到分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性。但在一些實(shí)際問(wèn)題中，不需要去全面考察隨機(jī)變量的變化情況，而只需知道隨機(jī)變量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函數(shù)。例如，在評(píng)定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，在許多場(chǎng)合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量；又如在研究水稻品種優(yōu)劣時(shí)，時(shí)常是關(guān)心稻穗的平均稻谷粒數(shù)；再如檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維的平均長(zhǎng)度，又需要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度，平均長(zhǎng)度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。從上面的例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征。這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要的意義。下面將介紹隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)和矩．§1數(shù)學(xué)期望例：有甲、乙兩個(gè)射手，他們的射擊技術(shù)用下表表出：甲射手擊中環(huán)數(shù)8910概率0.30.10.6乙射手擊中環(huán)數(shù)8910概率0.20.50.3試問(wèn)哪個(gè)射手本領(lǐng)較好？解：設(shè)兩個(gè)選手各射N(xiāo)槍?zhuān)敲从屑祝?×0.3N＋9×0.1N＋10×0.6N=9.3N乙：8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N=9.1N平均甲射中9.3環(huán)，乙射中9.1環(huán)，因此甲射手的本領(lǐng)好些。離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

定義:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布率為假設(shè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，那么稱變量X的數(shù)學(xué)期望〔或均值〕，記為E(X)。即的和為隨機(jī)例1：求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望。例2：求泊松分布的數(shù)學(xué)期望。例3：隨機(jī)變量X取值求數(shù)學(xué)期望。習(xí)題1.(1)在以下句子中隨機(jī)地取一單詞,以X表示所取的單所含的字母?jìng)€(gè)數(shù),寫(xiě)出X的分布律,并求E(X).THEGIRLPUTONHERBEAUTIFULREDHAT.(2)在上述句子的30個(gè)字母中隨機(jī)地取一字母,以Y表示取到的字母所在的單詞所包含的字母數(shù),寫(xiě)出Y的分布律,并求E(Y).解:(1)依題意,X的所有可能取值為:2,3,4,9;且有:P{X=2}=1/8,P{X=3}=5/8,P{X=4}=1/8,P{X=9}=1/8因此,X的分布律為:X2349p1/85/81/81/8E(X)=2*1/8+3*5/8+4*1/8+9*1/8=15/4習(xí)題1.(1)在以下句子中隨機(jī)地取一單詞,以X表示所取的單所含的字母?jìng)€(gè)數(shù),寫(xiě)出X的分布律,并求E(X).THEGIRLPUTONHERBEAUTIFULREDHAT.(2)在上述句子的30個(gè)字母中隨機(jī)地取一字母,以Y表示取到的字母所在的單詞所包含的字母數(shù),寫(xiě)出Y的分布律,并求E(Y).解:(2)依題意,Y的所有可能取值為:2,3,4,9;且有:Y=2時(shí),所可能取到的單詞是:ON,那么P{Y=2}=2/30Y=3時(shí),所可能取到的單詞是:THE,PUT,HER,RED,HAT,那么P{Y=3}=15/30Y=4時(shí),所可能取到的單詞是:GIRL,那么P{Y=4}=4/30Y=9時(shí),所可能取到的單詞是:BEAUTIFUL,那么P{Y=9}=9/30因此,Y的分布律為:Y2349p2/3015/304/309/30E(Y)=2*2/30+3*15/30+4*4/30+9*9/30=73/15習(xí)題4:設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為j=1,2,…,證明:由于級(jí)數(shù)由數(shù)學(xué)期望的定義知,X的數(shù)學(xué)期望不存在.說(shuō)明X的數(shù)學(xué)期望不存在.是發(fā)散的,故級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的值為隨機(jī)變量X的定義:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，假設(shè)積分絕對(duì)收斂,那么稱積分?jǐn)?shù)學(xué)期望〔或均值〕，記為E(X)。即例5：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(m,

2),求數(shù)學(xué)期望。例6：隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布求數(shù)學(xué)期望。例7：設(shè)X～U(a,b),求E(X)。例8：由兩個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命Xk(k=1,2)服從同一指數(shù)分布，其概率密度為假設(shè)將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命〔以小時(shí)計(jì)〕N的數(shù)學(xué)期望。隨機(jī)變量的函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望定理的意義:求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望,可以不用求Y的分布(或概率密度),只需利用X的分布律(或概率密度)就可以了.上述定理可推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的情況設(shè)Z是隨機(jī)變量X,Y的函數(shù)Z=g(X,Y)(g是連續(xù)函數(shù)),那么,Z是一個(gè)一維隨機(jī)變量.假設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),那么有:假設(shè)(X,Y)為離散型二維隨機(jī)變量,其分布律為:P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,3,…那么有:數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的證明數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的證明數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的證明數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的性質(zhì)練習(xí)一一個(gè)有n把鑰匙的人要開(kāi)他的門(mén)，它隨機(jī)而獨(dú)立地試開(kāi)，假設(shè)其中只有一把能開(kāi)門(mén)，假設(shè)將試開(kāi)不成功的鑰匙立即除去；求試開(kāi)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差?！?方差例：有甲、乙兩個(gè)射手，他們的射擊技術(shù)用下表表出：甲射手擊中環(huán)數(shù)8910概率0.30.10.6乙射手擊中環(huán)數(shù)8910概率0.20.50.3試問(wèn)哪個(gè)射手本領(lǐng)較好？誰(shuí)的技術(shù)穩(wěn)定些?解：設(shè)兩個(gè)選手各射N(xiāo)槍?zhuān)敲从屑祝?×0.3N＋9×0.1N＋10×0.6N=9.3N乙：8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N=9.1N平均甲射中9.3環(huán)，乙射中9.1環(huán)，因此甲射手的本領(lǐng)好些。問(wèn)：那個(gè)射手技術(shù)穩(wěn)定些？顯然乙射手的技術(shù)穩(wěn)定些。衡量技術(shù)穩(wěn)定性，可以考慮用隨機(jī)變量與其均值的偏離程度，如E{|X-E(X)|}或E{[X-E(X)]2}方差隨機(jī)變量X的方差與數(shù)學(xué)期望有如下關(guān)系：

D(X)=E(X2)-[E(X)]2方法二:令方差的性質(zhì)方差性質(zhì)的證明方差性質(zhì)的證明方差性質(zhì)的證明方差性質(zhì)的證明方差的性質(zhì)假設(shè)且它們互相獨(dú)立那么,它們的線性組合(其中不全為零),仍服從正態(tài)分布,且切比雪夫不等式切比雪夫不等式的證明[注意]切比雪夫不等式可以使我們?cè)陔S機(jī)變量X的分布未知的情況下，對(duì)事件|X-

|<

的概率做出估計(jì)。應(yīng)用切比雪夫不等式必須滿足E(X)和D(X)存在且有限這一條件。例:設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[-1,2]上服從均勻分布.隨機(jī)變量那么方差D(Y)=?解:所以:§3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)對(duì)于二維隨機(jī)變量,除了討論變量X與Y的數(shù)學(xué)期望及方差外,還需要討論描述X與Y這間相互關(guān)系的數(shù)字特征.也就是說(shuō),當(dāng)時(shí),X與Y不相互獨(dú)立,即:可能存在某種關(guān)系.當(dāng)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立時(shí),有:協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差性質(zhì)的證明最小二乘法最小二乘法相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)的證明相關(guān)系數(shù)性質(zhì)的證明相關(guān)系數(shù)性質(zhì)的證明X與Y不相關(guān)但也不獨(dú)立的例子獨(dú)立不相關(guān)不相關(guān)獨(dú)立×習(xí)題24設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為:試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的,但X和Y不是相互獨(dú)立的.分析:要說(shuō)明X和Y不是相互獨(dú)立,就是要證明f(x,y)≠fX(x)fY(y)由相關(guān)系數(shù)的定義,要驗(yàn)證X和Y不相關(guān),就是要驗(yàn)證解:關(guān)于X的邊緣概率密度為:關(guān)于Y的邊緣概率密度為:顯然,f(x,y)≠fX(x)fY(y),因此X和Y不是相互獨(dú)立的.下面計(jì)算E(X),E(Y),E(XY),D(X),D(Y)下面計(jì)算E(X),E(Y),E(XY),D(X),D(Y)同理故D(X)>0,D(Y)>0,X和Y的相關(guān)系數(shù)為:因此,X和Y是不相關(guān)的.習(xí)題29設(shè)X~N(m,s2),Y~N(m,s2),且設(shè)X,Y互相獨(dú)立,