中考數學：單元滾動檢測卷單元滾動檢測卷(八)

單元滾動檢測卷(八)【測試范圍：第十一單元時間：100分鐘分值：100分】一、選擇題(每題5分，共30分)圖11．[2017·湖州]如圖1，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則cosB的值是 (A)圖1A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)2．計算eq\r(2)sin45°的結果等于 (B)A.eq\r(2) B．1 C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)【解析】eq\r(2)sin45°＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1.3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(3,4)，則cosB的值為 (B)A.eq\f(\r(7),4) B.eq\f(3,4) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)4．如圖2，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，AC＝2eq\r(2)，BC＝1，那么sin∠ABD的值是 (A)圖2A.eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(\r(2),4) C.eq\f(\r(2),3) D．2eq\r(2)【解析】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，AB＝eq\r(12＋（2\r(2)）2)＝3.∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(2\r(2),3).

圖35．如圖3，釣魚竿AC長6m，露在水面上的魚線BC長3eq\r(2)m，某釣者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉動到AC′的位置，此時露在水面上的魚線B′C′為3eq\r(3)m，則魚竿轉過的角度是 (C)圖3A．60° B．45° C．15° D．90°【解析】∵sin∠CAB＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3\r(2),6)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CAB＝45°.∵sin∠C′AB′＝eq\f(B′C′,AC′)＝eq\f(3\r(3),6)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，∴魚竿轉過的角度是15°.故選C.6．如圖4，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝eq\f(3,5)，BE＝2，則tan∠DBE的值為(B)圖4A.eq\f(1,2) B．2 C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(1,3)【解析】設菱形ABCD邊長為t.∵BE＝2，∴AE＝t－2.∵cosA＝eq\f(3,5)，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(3,5)，∴eq\f(t－2,t)＝eq\f(3,5)，∴t＝5，∴AE＝5－2＝3，∴DE＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\r(52－32)＝4，∴tan∠DBE＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(4,2)＝2.二、填空題(每題5分，共30分)7．如圖5，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA＝__eq\f(\r(5),5)__．圖5第7題答圖【解析】如答圖，過點C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D.設小正方形的邊長為1，在Rt△ACD中，CD＝2，AC＝2eq\r(5)，∴sinA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5).8．計算：2sin30°＋2cos60°＋3tan45°＝__5__．9．[2017·廣豐區(qū)一模]已知對任意銳角α，β均有：cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，則cos75°＝__eq\f(\r(6)－\r(2),4)__.【解析】cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°·cos45°－sin30°·sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).10．[2016·杭州模擬]如圖6，在把易拉罐中的水倒入一個圓水杯的過程中，若水杯中的水在點P與易拉罐剛好接觸，則此時水杯中的水深為__10－2eq\r(3)__cm(用根式表示)． 圖6 第10題答圖【解析】如答圖，過P作PM⊥AB于M.在Rt△ABP中，PB＝AB·cos30°＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3)，圖7在Rt△BPM中，PM＝PB·sin30°＝4eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3).故此時水杯中的水深為(10－2eq\r(3))cm.圖711．如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，過D點作AB的垂線交AC于點E，BC＝6，sinA＝eq\f(3,5)，則DE＝__eq\f(15,4)__．【解析】∵BC＝6，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,5)，∴AB＝10，∴AC＝eq\r(102－62)＝8.∵D是AB的中點，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝5.易證△ADE∽△ACB，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AC)，即eq\f(DE,6)＝eq\f(5,8)，解得DE＝eq\f(15,4).圖812．[2017·樂清模擬]如圖8，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別是AB，BC上的點，且滿足AC＝DC＝DE＝BE＝1，則tanA＝__eq\r(2)＋1__.圖8【解析】設∠B＝x°，∵BE＝DE，∴∠B＝∠BDE＝x°，∴∠CED＝2x°，又∵DE＝DC，∴∠ECD＝∠CED＝2x°.∴∠DCA＝∠ACB－∠ECD＝90°－2x°.∵Rt△ABC中，∠A＝90°－∠B＝90°－x°.又∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝90°－x°.∵△ACD中，∠ACD＋∠A＋∠ADC＝180°，∴(90－2x°)＋2(90－x°)＝180°，解得x＝22.5，則∠CED＝∠ECD＝45°，∴△ECD是等腰直角三角形，∴EC＝eq\r(2)CD＝eq\r(2)，∴BC＝eq\r(2)＋1，∴tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\r(2)＋1.三、解答題(共40分)13．(5分)計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(－2)－(3.14－π)0＋|1－eq\r(2)|－2sin45°.解：原式＝4－1＋eq\r(2)－1－2×eq\f(\r(2),2)＝4－1＋eq\r(2)－1－eq\r(2)＝2.14．(5分)為解決停車難的問題，在如圖9一段長56m的路段開辟停車位，每個車位是長5m，寬2.2m的矩形，矩形的邊與路的邊緣成45°角，那么這個路段最多可以劃出多少個這樣的停車位．(參考數據：eq\r(2)≈1.4)圖9第14題答圖解：如答圖，BC＝2.2×sin45°＝2.2×eq\f(\r(2),2)≈1.54(m)，CE＝5×sin45°＝5×eq\f(\r(2),2)≈3.5(m)，BE＝BC＋CE≈5.04(m)，EF＝2.2÷sin45°＝2.2÷eq\f(\r(2),2)≈3.1(m)，(56－5.04)÷3.1＋1≈16＋1＝17(個)．答：這個路段最多可以劃出17個這樣的停車位．15．(8分)[2017·嵊州模擬]小州在堤邊垂釣，如圖10，釣竿OA的傾斜角α為60°，河堤AC的坡角β為45°，且AC＝2m，AO＝4m，釣竿AO與釣魚線OB的夾角為60°，其中浮漂在點B處．(1)求點O到水面的垂直距離；(2)求浮漂B與河堤點C之間的距離． 圖10 第15題答圖解：(1)如答圖，作OD⊥BC于D，AF⊥BC于F，AE⊥OD于E，∵河堤AC的坡角β為45°，∴AF＝CF＝AC·sin∠ACF＝eq\r(2)，∵釣竿OA的傾斜角α為60°，∴OE＝OA·sin∠OAE＝2eq\r(3)，AE＝2，則OD＝OE＋DE＝OE＋AF＝2eq\r(3)＋eq\r(2)，答：點O到水面的垂直距離為(2eq\r(3)＋eq\r(2))m；(2)由題意得∠BOD＝30°，∴BD＝OD·tan30°＝eq\f(\r(6),3)＋2，∴BC＝BD＋AE－CF＝eq\f(\r(6),3)＋4－eq\r(2).答：浮漂B與河堤點C之間的距離為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)＋4－\r(2)))m.16．(10分)[2017·余姚模擬]如圖11，我國某艘海艦船沿正東方向由A向B例行巡航南海部分區(qū)域，在航線AB同一水平面上，有三座島嶼C，D，E.船在A處時，測得島C在A處南偏東15°方向距離A處eq\r(2)a(a＞0)海里，島D在A處南偏東60°方向距離A處a海里，島E在A處東南方向，當船航行到達B處時，此時測得島E恰好在船的正南方．(1)請說明船航行的距離AB正好是島E與B處的距離；(2)若島D距離B處18海里，求島C，E之間的距離．圖11 第16題答圖解：(1)如答圖，連結AE，∵島E在A處東南方向，∴∠BAE＝∠EAF＝45°，∵E恰好在B的正南方，∴∠ABE＝90°，∴∠BEA＝45°，∴AB＝EB，∴船航行的距離AB正好是島E與B處的距離；(2)∵∠ABE＝90°，∠BAE＝45°，∴sin∠BAE＝eq\f(BE,AE)＝eq\f(\r(2),2)＝eq\f(AD,AC)，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC)，∵∠CAF＝15°，∠DAF＝60°，∴∠DAC＝∠DAF－∠CAF＝45°，∴∠BAE－∠DAE＝∠DAC－∠DAE，即∠BAD＝∠EAC，∴△BAD∽△EAC，∴eq\f(BD,EC)＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(\r(2),2)，∵BD＝18海里，∴CE＝18eq\r(2)海里．17．(12分)如圖12，AB是半圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線交半圓O于點E，交AC于點C，使∠BED＝∠C.(1)判斷直線AC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；(2)若AC＝8，cos∠BED＝eq\f(4,5)，求AD的長．圖12解：(1)AC與⊙O相切．圖12證明：∵eq\o(BD,\s\up8(︵))是∠BED與∠BAD所對的弧，∴∠BAD＝∠BED，∵OC⊥AD，∴∠AOC＋∠BAD＝90°，∴∠BED＋∠AOC＝90°，又∵∠BED＝∠C，即∠C＋∠AOC＝90°，