圓與三角形或平行四邊形（解析版）-2021年中考數學專項訓練（河南專用）

專題05圓與三角形或平行四邊形

1.如圖Z-05-1,在圓內接四邊形A8CQ中，ZB=100°,則/￡>的度數為（B）

圖Z-05-1

A.70°B.80°C.90°D.100°

1.【解析】?.?在圓內接四邊形A8c。中，ZB=100°,ZD=18O°-1OO°=8O0.

故：選B.

2.（2020婁底）如圖Z-05-2,C、。兩點在以A8為直徑的圓上，AB=2,ZACD=30°,則A￡）=（A）

圖Z-05-2

3

Bc-D小

A.2

2.【解析】TAB是。。的直徑，???乙4。8=90。.???乙4。0=30。，???乙48￡>=30。...工8=2,??*。=梟8

=1.

故：選A.

3.（2020荊州）如圖Z-05-3,A8為。。的直徑，。為。。上一點，過B點的切線交AC的延長線于點。，

E為弦AC的中點，AD=10,30=6,若點P為直徑A3上的一個動點，連接EP,當AAEP是直角三角形

時，AP的長為4或64盤.

圖Z-05-3

3.【解析】?過8點的切線交AC的延長線于點Q,/.AB=y]AD2-BD2=^102-62=8,

AP

當/AEP=90。時，'：AE^EC,經過圓心O,；.AP=AO=4；當/4PE=90。時，貝ijEP〃8D,二7^=

/\D

16

第，VDB2=CDAD,，。。=^^=制=鳥，,ACulO一黑=后，.\AE=^-,，￥="^，???AP=3.綜上，

<1X-X1UDZycS1UZD

AP的長為4或

4.(2020?河南南陽)如圖Z-05-4,已知。A的半徑為4,EC是圓的直徑，點8是。A的切線CB上一

個動點，連接A氏交。A于點。，弦E/〃AB,連接。凡AF.

(1)求證：ZkABC絲/XABF；

(2)當NCAB=時，四邊形AOFE為菱形;

(3)當AB=時，四邊形ACBF為正方形.

圖Z-05-4

【解析】(1)由EF//AB,得NEFA=NFAB,ZCAB=ZAEF,又NAEF=NAFE,得：ZBAC=ZBAF,

又A2=A8,AC=AF,證得A48C也△A8F；(2)連接“根據AOFE為菱形，確定出/C42的度數：(3)

由四邊形AC8F是正方形，得AB=4^AC=4挺.

【解答】解：(1),：EF//AB,

ZEFA=ZFAB,ZCAB=ZAEFf

9：AE=AF,

：.NAEF=NAFE,

：.ZBAC=ZBAF,

XAB=ABfAC=AFf

?二△ABC絲△ABF(SA5)；

(2)如圖，連接尸C,

?.?四邊形AQFE是菱形，

：.AE=EF=FD=ADf

'：CE=2AE,ZCFE=90°,

???NECF=30。,ZCEF=60°f

U：EF//AB,

：.NAEF=NCAB=60。，

故答案為：60°；

(3)由四邊形ACB尸是正方形，得48=&/1。=40.

5(202。濟源)如圖2-05-5,^ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。與BC相交于點D,與CA的

延長線相交于點E,過點D作DFA.AC于點F.

(1)試說明DF是。0的切線;

(2)①當/C=。時，四邊形AODF為矩形;

②當tanC=時，4c=34E.

圖Z-05-5

【解析】(I)本題主要考察圓的切線知識，證明切線主要證明過切點的半徑垂直過切點的直線；(2)

由四邊形AOO尸為矩形,得/8。。=90。，，NB=45。，.?./C=N8=45。；(3)連接8E,在RtABEC中，tanC=

BE_2y[2CE_72

~CE~4C￡

【解答】解：(1)證明：連接O￡>,

OB=OD,

:.NB=NODB,

'：AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.ZODB=ZC,

：.OD//AC,

'：DF±AC,

凡點。在。。上，

，力尸是。。的切線；

(2)45°,理由如下：

由四邊形AOD尸為矩形，得N8OZ>90。，

：.ZB=45°,

/.ZC=ZB=45°,

故答案為:45°；

(3)—,理由如下，

2

連接BE,

是直徑，

AZA8=90°,

E

'：AB^AC,AC=3AE,

：.AB=3AE,CE=4AE,

：.BE2^AB2~AE2=SAE2,

即BE=2丘AE,

*qBE141CE&

在RiABEC中，tanC-=----------=.

CE4CE2

故答案為：—.

2

6.(2020洛陽)如圖Z-05-6,AB是。。的直徑，點C是。。上一點，AD和過點C的切線互相垂

直，垂足為D,直線DC與AB的延長線相交于點P.

（1）求證：AC2=ADAB.

（2）點E是NACB所對的弧上的一個動點（不包括4,B兩點），連接EC交直徑AB于點F,Z

DAP=M°.

①當/ECB=。時，XPCF為等腰三角形；

②當NECB=。時，四邊形ACBE為矩形.

圖Z-05-6

AnAr

【解析】（1）連接OC,為直徑，AZACB=ZD=90°,/.AACD^AABC,；----------

ACAB

即：AC2=ADAB.（2）由APCD為等腰三角形，得PC=PF,；.NCFP=T7。,：.ZACF=45°,ZECB=90°~Z

ACF=45°,故答案為：45；②由4CBE是矩形，得尸與O重合，,NECB=90。一乙4。0=90。-32。=58。，

故答案為：58.

【解答】解：（1）連接0C,

?..co是切線,

???OC.LCD,

VAD±CD,

:.OC//AD,

：.ZACO=ZCAD,

?：0A=03

：.ZACO=ZCAO,

：.ZCAD=ZCAO,

,：AB為直徑，

AZACB=ZD=90°9

：.AACD^AABC,

.ADAC

??耘一瓦’

即：AC2=ADAB.

(2)①45；②58,理由如下：

①:ZDAP=64°,

AZP=26°,ZCAB=ZDAC=32°9

???/C。是△ACF的外角，

:?/CFP>32。,BPZCFP^ZP,

由NPCB=NCA8=32。，知/FCP>NPCB豐/P,

由△PCO為等腰三角形，得PC=PF,

:.zcFP=n0,

，ZACF=45°,ZECB=9()°-ZACF=45°,

故答案為:45；

②由ACBE是矩形，得尸與0重合，

，ZECB=90°-ZAC0900-32°=58°.

故答案為：58.

7（2020西安）如圖Z-05-7,△4BC內接于。。，過點B的切線BE〃AC,點P是優(yōu)弧AC上一動

點（不與A,C重合），連接PA,PB,PC,PB交AC于D.

（1）求證：PB平分NAPC；

（2）當PD=3,PB=4時，求AB的長.

圖Z-05-7

AnDJ~\

【解析】(1)連接05,證明???03平分NAPG(2)證明△ABDS/XQBA,，——=—-

PBAB

AQ1

即色一-----"8=2,即48的長為2.

4AB

【解答】解：（1）證明：連接。B,

E

B

則OB1.BE,

'JBE//AC,

：.OB±AC,

：.弧48=弧BC,

：.NAPB=NBPC,

.?.P8平分NAPC；

(2)由(1)知，NAPB=NBPC,

'：NBAC=NBPC,

NBAC=NAPB,

'：ZABD=ZPBA,

：./\ABD^>/^PBA,

.ABBD

?,莉—南’

即空=J-

4AB

：.AB=2,即48的長為2.

8.(2020北京)如圖Z-05-8,AB為。O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是。。的切線，D為切點,

OF_LAD于點E,交CD于點F.

(1)求證：ZADC-ZAOF；

(2)若sinC=LBD=8,求EF的長.

3

圖Z-05-7

【解析】（1）連接OD,根據CD是。O的切線，可推出/ADC+NODA=90。,根據OFJ_AD,ZAOF+ZDAO=90°,

根據OD=OA,可得/ODA=NDAO,即可證明；

（2）設半徑為r,根據在RtZ\OCD中，sinC=1,可得0/）=八O0=3r，AC=2r＞由AB為。O的直

OEOA1

徑，得出NADB=9。。，再根據推出OFJ_AD,OF〃BD,然后由平行線分線段成比例定理可得==不=彳,

BDAB2

求出OE,—,求出OF,即可求出EF.

BDBC4

【解答】（1）證明：連接OD,

〈CD是。O的切線，

AOD1CD,

:.ZADC+ZODA=90°,

VOF1AD,

?,.NAOF+NDAO=90。,

VOD=OA,

???ZODA=ZDAO,

.\ZADC=ZAOF;

(2)設半徑為r,

,〃1

一sinC=-

在RtAOCD中3，

OP

：.OC3,

,,OD=r,OC=3r)

VOA=r,

/.AC=OC-OA=2r,

：AB為。O的直徑，

；.NADB=90。，

又TOFLAD,

.?.OF〃BD,

OEOA

；.OE=4,

OFOC3'

~BD~~BC~4

OF=6，

??EF=0F-0E=2-

9.（2020湖北）如圖Z-05-9,將ABC繞點B順時針旋轉60度得到也BE，點C的對應點E恰好落

在AB的延長線上，連接AD.

（1）求證：BC//AD；

（2）若AB=4,BC=1,求A,C兩點旋轉所經過的路徑長之和.

【解析】（I）先利用旋轉的性質證明aABD為等邊三角形，則可證/DAB=60°,即NCBE=/DAB再根據平

行線的判定證明即可.

（2）利用弧長公式分別計算路徑，相加即可求解.

【解答】⑴證明：由旋轉性質得：三ADBE/ABD=NCBE=60”

AB=BD,:.AA80是等邊三角形

所以/DAB=60°

ZCBE=ZDAB

BC//AD'

（2）依題意得：AB=BD=4,BC=BE=],

60^x460乃xl5

--------------1-------------=-71

所以A,C兩點經過的路徑長之和為1801803.

10.（2020江蘇）如圖Z-05-10,已知NMON=90°,OT是NMQV的平分線，A是射線上一點，

OA=Scm.動點尸從點A出發(fā)，以的速度沿A。水平向左作勻速運動，與此同時，動點。從點0

出發(fā)，也以lan/s的速度沿ON豎直向上作勻速運動.連接PQ,交OT于點8.經過。、P、。三點作

圓，交OT于點C,連接PC、QC.設運動時間為《s),其中0<f<8.

圖Z-05-10

(1)求。P+OQ的值；

(2)是否存在實數，，使得線段OB的長度最大？若存在，求出f的值；若不存在，說明理由.

(3)求四邊形。PC。的面積.

【解析】(1)根據題意可得Op=8_〃OQ=f由此可求得OP+OQ的值；

(2)過B作由)j_0p,垂足為D,則B￡)_LOP，設線段BD的長為x，可得BO=0￡)=x，

,,PLBD

OB=6BD=GJTPD^-t-x'根據3O//OQ可得△PBOSAPQ。，進而可得切

OQ

2O,2

由此可得._8/一廠，由此可得OB=JE———=