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文檔簡介
專題05圓與三角形或平行四邊形
1.如圖Z-05-1,在圓內接四邊形A8CQ中,ZB=100°,則/£>的度數為(B)
圖Z-05-1
A.70°B.80°C.90°D.100°
1.【解析】?.?在圓內接四邊形A8c。中,ZB=100°,ZD=18O°-1OO°=8O0.
故:選B.
2.(2020婁底)如圖Z-05-2,C、。兩點在以A8為直徑的圓上,AB=2,ZACD=30°,則A£)=(A)
圖Z-05-2
3
Bc-D小
A.2
2.【解析】TAB是。。的直徑,???乙4。8=90。.???乙4。0=30。,???乙48£>=30。...工8=2,??*。=梟8
=1.
故:選A.
3.(2020荊州)如圖Z-05-3,A8為。。的直徑,。為。。上一點,過B點的切線交AC的延長線于點。,
E為弦AC的中點,AD=10,30=6,若點P為直徑A3上的一個動點,連接EP,當AAEP是直角三角形
時,AP的長為4或64盤.
圖Z-05-3
3.【解析】?過8點的切線交AC的延長線于點Q,/.AB=y]AD2-BD2=^102-62=8,
AP
當/AEP=90。時,':AE^EC,經過圓心O,;.AP=AO=4;當/4PE=90。時,貝ijEP〃8D,二7^=
/\D
16
第,VDB2=CDAD,,。。=^^=制=鳥,,ACulO一黑=后,.\AE=^-,,¥="^,???AP=3.綜上,
<1X-X1UDZycS1UZD
AP的長為4或
4.(2020?河南南陽)如圖Z-05-4,已知。A的半徑為4,EC是圓的直徑,點8是。A的切線CB上一
個動點,連接A氏交。A于點。,弦E/〃AB,連接。凡AF.
(1)求證:ZkABC絲/XABF;
(2)當NCAB=時,四邊形AOFE為菱形;
(3)當AB=時,四邊形ACBF為正方形.
圖Z-05-4
【解析】(1)由EF//AB,得NEFA=NFAB,ZCAB=ZAEF,又NAEF=NAFE,得:ZBAC=ZBAF,
又A2=A8,AC=AF,證得A48C也△A8F;(2)連接“根據AOFE為菱形,確定出/C42的度數:(3)
由四邊形AC8F是正方形,得AB=4^AC=4挺.
【解答】解:(1),:EF//AB,
ZEFA=ZFAB,ZCAB=ZAEFf
9:AE=AF,
:.NAEF=NAFE,
:.ZBAC=ZBAF,
XAB=ABfAC=AFf
?二△ABC絲△ABF(SA5);
(2)如圖,連接尸C,
?.?四邊形AQFE是菱形,
:.AE=EF=FD=ADf
':CE=2AE,ZCFE=90°,
???NECF=30。,ZCEF=60°f
U:EF//AB,
:.NAEF=NCAB=60。,
故答案為:60°;
(3)由四邊形ACB尸是正方形,得48=&/1。=40.
5(202。濟源)如圖2-05-5,^ABC中,AB=AC,以AB為直徑的。。與BC相交于點D,與CA的
延長線相交于點E,過點D作DFA.AC于點F.
(1)試說明DF是。0的切線;
(2)①當/C=。時,四邊形AODF為矩形;
②當tanC=時,4c=34E.
圖Z-05-5
【解析】(I)本題主要考察圓的切線知識,證明切線主要證明過切點的半徑垂直過切點的直線;(2)
由四邊形AOO尸為矩形,得/8。。=90。,,NB=45。,.?./C=N8=45。;(3)連接8E,在RtABEC中,tanC=
BE_2y[2CE_72
~CE~4C£
【解答】解:(1)證明:連接O£>,
OB=OD,
:.NB=NODB,
':AB=AC,
:.ZB=ZC,
:.ZODB=ZC,
:.OD//AC,
':DF±AC,
凡點。在。。上,
,力尸是。。的切線;
(2)45°,理由如下:
由四邊形AOD尸為矩形,得N8OZ>90。,
:.ZB=45°,
/.ZC=ZB=45°,
故答案為:45°;
(3)—,理由如下,
2
連接BE,
是直徑,
AZA8=90°,
E
':AB^AC,AC=3AE,
:.AB=3AE,CE=4AE,
:.BE2^AB2~AE2=SAE2,
即BE=2丘AE,
*qBE141CE&
在RiABEC中,tanC-=----------=.
CE4CE2
故答案為:—.
2
6.(2020洛陽)如圖Z-05-6,AB是。。的直徑,點C是。。上一點,AD和過點C的切線互相垂
直,垂足為D,直線DC與AB的延長線相交于點P.
(1)求證:AC2=ADAB.
(2)點E是NACB所對的弧上的一個動點(不包括4,B兩點),連接EC交直徑AB于點F,Z
DAP=M°.
①當/ECB=。時,XPCF為等腰三角形;
②當NECB=。時,四邊形ACBE為矩形.
圖Z-05-6
AnAr
【解析】(1)連接OC,為直徑,AZACB=ZD=90°,/.AACD^AABC,;----------
ACAB
即:AC2=ADAB.(2)由APCD為等腰三角形,得PC=PF,;.NCFP=T7。,:.ZACF=45°,ZECB=90°~Z
ACF=45°,故答案為:45;②由4CBE是矩形,得尸與O重合,,NECB=90。一乙4。0=90。-32。=58。,
故答案為:58.
【解答】解:(1)連接0C,
?..co是切線,
???OC.LCD,
VAD±CD,
:.OC//AD,
:.ZACO=ZCAD,
?:0A=03
:.ZACO=ZCAO,
:.ZCAD=ZCAO,
,:AB為直徑,
AZACB=ZD=90°9
:.AACD^AABC,
.ADAC
??耘一瓦’
即:AC2=ADAB.
(2)①45;②58,理由如下:
①:ZDAP=64°,
AZP=26°,ZCAB=ZDAC=32°9
???/C。是△ACF的外角,
:?/CFP>32。,BPZCFP^ZP,
由NPCB=NCA8=32。,知/FCP>NPCB豐/P,
由△PCO為等腰三角形,得PC=PF,
:.zcFP=n0,
,ZACF=45°,ZECB=9()°-ZACF=45°,
故答案為:45;
②由ACBE是矩形,得尸與0重合,
,ZECB=90°-ZAC0900-32°=58°.
故答案為:58.
7(2020西安)如圖Z-05-7,△4BC內接于。。,過點B的切線BE〃AC,點P是優(yōu)弧AC上一動
點(不與A,C重合),連接PA,PB,PC,PB交AC于D.
(1)求證:PB平分NAPC;
(2)當PD=3,PB=4時,求AB的長.
圖Z-05-7
AnDJ~\
【解析】(1)連接05,證明???03平分NAPG(2)證明△ABDS/XQBA,,——=—-
PBAB
AQ1
即色一-----"8=2,即48的長為2.
4AB
【解答】解:(1)證明:連接。B,
E
B
則OB1.BE,
'JBE//AC,
:.OB±AC,
:.弧48=弧BC,
:.NAPB=NBPC,
.?.P8平分NAPC;
(2)由(1)知,NAPB=NBPC,
':NBAC=NBPC,
NBAC=NAPB,
':ZABD=ZPBA,
:./\ABD^>/^PBA,
.ABBD
?,莉—南’
即空=J-
4AB
:.AB=2,即48的長為2.
8.(2020北京)如圖Z-05-8,AB為。O的直徑,C為BA延長線上一點,CD是。。的切線,D為切點,
OF_LAD于點E,交CD于點F.
(1)求證:ZADC-ZAOF;
(2)若sinC=LBD=8,求EF的長.
3
圖Z-05-7
【解析】(1)連接OD,根據CD是。O的切線,可推出/ADC+NODA=90。,根據OFJ_AD,ZAOF+ZDAO=90°,
根據OD=OA,可得/ODA=NDAO,即可證明;
(2)設半徑為r,根據在RtZ\OCD中,sinC=1,可得0/)=八O0=3r,AC=2r>由AB為。O的直
OEOA1
徑,得出NADB=9。。,再根據推出OFJ_AD,OF〃BD,然后由平行線分線段成比例定理可得==不=彳,
BDAB2
求出OE,—,求出OF,即可求出EF.
BDBC4
【解答】(1)證明:連接OD,
〈CD是。O的切線,
AOD1CD,
:.ZADC+ZODA=90°,
VOF1AD,
?,.NAOF+NDAO=90。,
VOD=OA,
???ZODA=ZDAO,
.\ZADC=ZAOF;
(2)設半徑為r,
,〃1
一sinC=-
在RtAOCD中3,
OP
:.OC3,
,,OD=r,OC=3r)
VOA=r,
/.AC=OC-OA=2r,
:AB為。O的直徑,
;.NADB=90。,
又TOFLAD,
.?.OF〃BD,
OEOA
;.OE=4,
OFOC3'
~BD~~BC~4
OF=6,
??EF=0F-0E=2-
9.(2020湖北)如圖Z-05-9,將ABC繞點B順時針旋轉60度得到也BE,點C的對應點E恰好落
在AB的延長線上,連接AD.
(1)求證:BC//AD;
(2)若AB=4,BC=1,求A,C兩點旋轉所經過的路徑長之和.
【解析】(I)先利用旋轉的性質證明aABD為等邊三角形,則可證/DAB=60°,即NCBE=/DAB再根據平
行線的判定證明即可.
(2)利用弧長公式分別計算路徑,相加即可求解.
【解答】⑴證明:由旋轉性質得:三ADBE/ABD=NCBE=60”
AB=BD,:.AA80是等邊三角形
所以/DAB=60°
ZCBE=ZDAB
BC//AD'
(2)依題意得:AB=BD=4,BC=BE=],
60^x460乃xl5
--------------1-------------=-71
所以A,C兩點經過的路徑長之和為1801803.
10.(2020江蘇)如圖Z-05-10,已知NMON=90°,OT是NMQV的平分線,A是射線上一點,
OA=Scm.動點尸從點A出發(fā),以的速度沿A。水平向左作勻速運動,與此同時,動點。從點0
出發(fā),也以lan/s的速度沿ON豎直向上作勻速運動.連接PQ,交OT于點8.經過。、P、。三點作
圓,交OT于點C,連接PC、QC.設運動時間為《s),其中0<f<8.
圖Z-05-10
(1)求。P+OQ的值;
(2)是否存在實數,,使得線段OB的長度最大?若存在,求出f的值;若不存在,說明理由.
(3)求四邊形。PC。的面積.
【解析】(1)根據題意可得Op=8_〃OQ=f由此可求得OP+OQ的值;
(2)過B作由)j_0p,垂足為D,則B£)_LOP,設線段BD的長為x,可得BO=0£)=x,
,,PLBD
OB=6BD=GJTPD^-t-x'根據3O//OQ可得△PBOSAPQ。,進而可得切
OQ
2O,2
由此可得._8/一廠,由此可得OB=JE———=
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