新教材2021-2022學年北師大版數(shù)學必修第一冊學案：第八章 數(shù)學建?；顒?一)

新課程標準解讀核心素養(yǎng)

收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際或者經(jīng)濟領(lǐng)域

中的數(shù)學模型，體會人們是如何借助函數(shù)刻畫實際數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算

問題，感悟數(shù)學模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義

b情境導(dǎo)入

數(shù)學建模是在20世紀60和70年代進入一些西方國家大學的，我國

的幾所大學也在80年代初將數(shù)學建模引入課堂.經(jīng)過30多年的發(fā)展現(xiàn)在

絕大多數(shù)本科院校和許多?？茖W校都開設(shè)了各種形式的數(shù)學建模課程和

講座，為培養(yǎng)學生利用數(shù)學方法分析、解決實際問題的能力開辟了一條有

效的途徑.大學生數(shù)學建模競賽最早是1985年在美國出現(xiàn)的，1989年在

幾位從事數(shù)學建模教育的教師的組織和推動下，我國幾所大學的學生開始參加美國的競賽，

而且積極性越來越高，近幾年參賽校數(shù)、隊數(shù)占到相當大的比例.可以說數(shù)學建模競賽是在

美國誕生，在中國開花、結(jié)果的.

［問題］你知道什么是數(shù)學建模嗎？

［內(nèi)容概述］

數(shù)學建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型

解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、

構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.數(shù)學建?；顒?/p>

是基于數(shù)學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動.

I數(shù)學建模］

數(shù)學建模的基本過程如下：

I實際情墻］

I提出問題I

b---------

|建立模型|

I

|求.模型I

■不.乎實際

二^5實際

I實:結(jié)果I

數(shù)學建模活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的

過程.具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結(jié)論，提出解決問題的

思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結(jié)論.

［實例探究1

牙膏價格與重量關(guān)系的數(shù)學建模

I選題I在超市購物時，我們注意到大包裝商品比小包裝商品便宜，比如某品牌牙膏50

g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元.我們可以通過單位商品價格關(guān)于商品重量的函

數(shù)來分析大包裝便宜還是小包裝便宜.

［開題］1.分析問題

商品價格是由成本決定的，成本可分為生產(chǎn)成本、包裝成本和其他成本.生產(chǎn)成本與重

量w成正比，包裝成本與表面積成正比，其他成本與卬無關(guān).單位重量商品價格。=*答.

牙膏可以近似為圓柱體來思考.

2.模型假設(shè)

設(shè)如下變量：商品價格為C,商品重量為W,單位重量價格為c,商品包裝面積為S,

生產(chǎn)成本為C1,包裝成本為C2，其他成本為C3.

3.研究的大體思路、方法與步驟

(1)分析商品價格C與商品重量W的關(guān)系.價格由生產(chǎn)成本、包裝和其他成本等決定，

這些成本中有的與重量卬成正比，有的與表面積成正比，還有與卬無關(guān)的因素；

(2)求單位重量價格c與W的關(guān)系，可以用簡圖分析.最后結(jié)合實驗結(jié)論，對商家或顧

客提出合理的建議.

4.研究此問題的意義

實際生活中，經(jīng)常會遇到大、小包裝的問題，如洗衣粉、洗發(fā)水、純凈水等.在選擇購

買時，可依據(jù)下面的數(shù)學模型做選擇.

［做題］1.模型建立與求解

商品價格由成本決定，商品成本=生產(chǎn)成本+包裝成本+其他成本，故C=G+C2+

C3,生產(chǎn)成本與重量W成正比，設(shè)?=用卬(心為大于0的常數(shù))，包裝成本與表面積S成正

比，商品包裝包括牙膏包裝和牙膏盒包裝，牙膏包裝與牙膏表面積有關(guān)，牙膏盒為長方體，

設(shè)牙膏盒包裝面積S2,牙膏可以近似為無底的圓柱體，設(shè)牙膏包裝面積S1,即圓柱體側(cè)面

積.

設(shè)此圓柱體的半徑為R,高為3Si=2nRL,①

由題意，我們需要將包裝面積與商品重量聯(lián)系在一起，故我們將牙膏體積V近似為圓

柱體積的一半，則nR?L,②

w

設(shè)牙膏密度為0,則V=—,③

一般地，為了美觀，牙膏的半徑與長度有一定比例關(guān)系，在這里：設(shè)R=k2L（k2為大于

。的常數(shù)），④

根據(jù)②③④，可以得出半徑R=（甯,⑤

由①?⑤得出，0=等077）"，

可以把牙膏盒看成一個長為L,寬高都為2R的長方體，故牙膏盒包裝面積S2=8R2+

8RL,

再根據(jù)④⑤求得S2=8（l+J（誓^’,

2

-

32

行，依，公為大于0的常數(shù),

則包裝成本c2=fa-

是包裝成本與包裝面積的比值.其他成本C3為固定常數(shù)，與w,s無關(guān).

即C=G+C2+C3=%|W+%3

由于ki，&2,依，魚，。都是大于零的常數(shù)，所以商品價格關(guān)于商品重量的函數(shù)是單調(diào)

增函數(shù)，所以商品重量增大，商品價格增大.

對于單位重量價格c與商品重量卬的關(guān)系，我們已知。=石，由于心，心，心，自，P

2

都是大于零的常數(shù)，所以包裝成本與商品重量成正比，可以簡化為C2=A5X%（名為大于0

C11

的常數(shù)），所以。=而=ki+k'X訪.

W5-o--+C3W

加

2.模型解釋

c-W的簡圖如圖所示：

020406080100120140W

由函數(shù)解+析式及圖象可知單位商品價格關(guān)于商品重量的函數(shù)是一個減函數(shù)，即隨著w

的增加，c的減少幅度減少，當W很大時，則c,不再減少，所以說，不要盲目追求大包裝商

品.

［結(jié)題］對于商家，一般來說，小包裝商品的利潤較高，但成本也相應(yīng)的增多，所以應(yīng)

該包裝大小適宜，在適當情況下，可以盡量生產(chǎn)小包裝的商品；

對于顧客，在用得完的情況下，盡量買較大的包裝，可以節(jié)省包裝的費用，但是也不能

盲目地認為越大包裝的商品就越便宜，可能會有其他消耗，如用不完的情況.

數(shù)學建模參考選題

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法、數(shù)學模型解

題的過程.在構(gòu)建模型時，經(jīng)常會遇到?jīng)]有現(xiàn)成數(shù)據(jù)可用的情況，這時就需要先收集數(shù)據(jù)，

再進行分析、建模.

下面摘錄一些中學生曾經(jīng)研究過的問題供參考，同學們可根據(jù)情況組織團隊進行建模活

動.

［生活方面的問題］

1.未成年男性體重(kg)與身高(cm)關(guān)系；

2.太陽能電池板發(fā)電設(shè)備優(yōu)化；

3.區(qū)域養(yǎng)老院規(guī)劃；

4.老年人免費乘公交車的社會成本.

|社會方面的問題|

1.對小區(qū)學生擇校問題的研究；

2.如何使防護林達到最佳防護效果；

3.保安巡更路線方案及軟件流程設(shè)計；

4.高峰期學校門前十字路口紅綠燈周期時間的設(shè)計.

［自然方面的問題］

1.公路上雪的融化速度：

2.水草治理問題.

［以未成年男性體重(kg)與身高(cm)關(guān)系為例］

數(shù)學建模建立函數(shù)模型解決實際問題

1.課題名稱關(guān)于未成年男性體重(kg)與身高(cm)關(guān)系的函數(shù)建模

成員：指導(dǎo)教師和全班同學；

2.課題組成員及分工分工：指導(dǎo)教師負責選課題方向，并對所得模型進行評

價.全班分成4個小組，每個小組分別獨立完成課題研究

3.選題的意義

通過這一個課題使學生熟悉函數(shù)建模的一般過程，并能培養(yǎng)同學們的團隊協(xié)作的意識和勇

于探索的精神.通過整個建模流程的參與，讓同學們認識到很多實際問題最終可以用函數(shù)模

型來刻畫，對未成年男性的身高與體重的關(guān)系有更深入的理解

4.研究計劃（包括對選題的分析，解決問題的思路等）

關(guān)于身高與體重的話題可以說是我們身邊經(jīng)常聊到的，但如何用函數(shù)來刻畫這兩者之間的內(nèi)

在的規(guī)律性就需要我們進行理性分析，為了得到較為理想的函數(shù)模型，首先要對適宜群體進

行數(shù)據(jù)采集，然后結(jié)合散點圖對數(shù)據(jù)的變化趨勢進行分析，再選用我們已學過的能擬合這一

變化規(guī)律的函數(shù)模型，最后對獲得的模型進行驗證，并能解決有關(guān)未成年男性身高和體重的

定量分析等問題

5.研究過程(收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、建立模型、求解模型的過程，以及過程中出現(xiàn)的難點及解

決方案等)

(1)收集數(shù)據(jù)

表中是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值表:

身高

60708090100110120130140150160170

(cm)

體重:12.115.017.520.926.831.138.847.255.0

6.137.909.99

(kg)520261555

說明：初始階段每個小組單獨去采集數(shù)據(jù)，最后在教師指導(dǎo)下對身高以10cm為間隔進彳

并且數(shù)據(jù)要有代表性，以方便計算和整體規(guī)律的體現(xiàn).根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，要求我們/

學過的一種函數(shù)，使它比較近似地反映出該地區(qū)未成年男性體重y關(guān)于身高x的函數(shù)關(guān)系，：

這個函數(shù)的解+析式.

(2)分析數(shù)據(jù)

根據(jù)圖表我們可以知道，本題屬于擬合問題.但體重y關(guān)于身高x的函數(shù)關(guān)系，沒有現(xiàn)

成的函數(shù)模型，為此可以先畫出散點圖，利用圖象直觀分析這組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，從而幫助

我們選擇函數(shù)模型.根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)可得如下散點圖：

60-

50-/

40-?

30.■

20-.?

10..**

0____111111b

6080100120140160180工

(3)建立模型

觀察散點圖的分布情況，并結(jié)合已學過的基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)特點，可選擇指

數(shù)函數(shù)模型.設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=ae3其中a,b滿足。6(0,+?,),+8)(可通過

matlab軟件進行計算)，可得出a=e06952,4=0.0197.

教師點評：如果再換一組數(shù)據(jù)，得出結(jié)果可能不完全相同，但只要能基本吻合數(shù)據(jù)即

可.代入函數(shù)式得y=e°6952+0.019lx.

考慮到考察對象為未成年男性，因此可限定50cmWxW180cm.

因此所得函數(shù)模型為y=e°6952+o.oi97.\(5oWxW18O).

(4)檢驗?zāi)Ｐ?/p>

將已知數(shù)據(jù)代入上式或畫出函數(shù)模型對應(yīng)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)模型可以反映

表中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律.這說明可以用該模型來反映未成年男性體重y(kg)隨身高x(cm)的變化

規(guī)律.

一

0I11I，11A

60