南大冬令營-靜力學(xué)

靜力學(xué)力平衡力矩平衡幾種力：張力（拉伸）—繩子，處處相等嗎？彈力（擠壓）—?jiǎng)傂晕矬w，無形變，垂直于接觸面彈性物體摩擦力—靜摩擦（有無，大小，方向的判斷）動(dòng)摩擦重力（引力）—非接觸力例1.在光滑水平面上，直立一個(gè)半徑為R的中空直圓筒。在筒內(nèi)放兩個(gè)相同的勻質(zhì)球，球半徑為r(R/2<r<R),重量為P.求兩球?qū)A筒的壓力。2Rf’BANPfNBPNAXYA球：x方向，

y方向，B球：x方向，

y方向，列方程：A球B球如圖所示，一根長度為l

，質(zhì)量為m的均勻桿，它的一端A與粗糙的墻面相接觸，B點(diǎn)用不可伸長的繩懸掛于墻上的C點(diǎn)，AB＝3/4l，桿呈水平狀態(tài)，繩與桿的夾角為θ。桿與墻之間的摩擦系數(shù)為μ。為了使桿達(dá)到靜力平衡，μ與θ應(yīng)該滿足什么條件？如圖所示，一根長度為l

，質(zhì)量為m的均勻桿，它的一端A與粗糙的墻面相接觸，B點(diǎn)用不可伸長的繩懸掛于墻上的C點(diǎn)，AB＝3/4l，桿呈水平狀態(tài)，繩與桿的夾角為θ。桿與墻之間的摩擦系數(shù)為μ。為了使桿達(dá)到靜力平衡，μ與θ應(yīng)該滿足什么條件？有一梯子長為2l,重為P。一端靠在光滑的墻上，另一端放在摩擦系數(shù)為μ的地面上。梯子與地面的夾角為θ。今有一人體重為P1，沿梯子往上攀登，當(dāng)他爬到距離下端h處，求梯子不滑動(dòng)的條件。有一梯子長為2l,重為P。一端靠在光滑的墻上，另一端放在摩擦系數(shù)為μ的地面上。梯子與地面的夾角為θ。今有一人體重為P1，沿梯子往上攀登，當(dāng)他爬到距離下端h處，求梯子不滑動(dòng)的條件。細(xì)桿靠在另一根桿的端點(diǎn)，伸出來的長度可以忽略不計(jì)。兩者之間摩擦系數(shù)是。兩者單位長度的質(zhì)量相等，由鉸鏈與地面連接。求桿子維持不倒的最小角度。fN應(yīng)用力矩平衡，可以避免求解鉸鏈上的作用力。

細(xì)桿單位長度的質(zhì)量為。靠在半徑為R的圓環(huán)上，上端與球相切。假設(shè)所有接觸點(diǎn)皆有足夠的摩擦，以使系統(tǒng)保持靜止，求地面與圓環(huán)之間的摩擦力。尋找關(guān)鍵關(guān)系，不需要列出所有方程。桿的力矩平衡：球的力平衡（水平方向)關(guān)鍵：球的力矩平衡，兩個(gè)接觸點(diǎn)摩擦力相等！張力在連續(xù)物體（繩與桿）中的分布引力分布問題例

一根繩子跨于一光滑的定滑輪兩邊，繩中張力為T，繩與滑輪接觸的一段在輪心所張的角是2。求繩對(duì)定滑輪的作用力。TNTOABxy解：

x方向，

y方向，TTFF=2TyNfOT+dTTx

T0T1例：皮帶繞過輪，其與輪相接觸的一段在輪心所張角度為。皮帶與輪之間的靜摩擦力系數(shù)為。試求輪兩方皮帶中張力T1和T0之間的數(shù)量關(guān)系。球殼的萬有引力求地球內(nèi)部物體受到的萬有引力M’蘭色部分：不貢獻(xiàn)引力紅色部分：貢獻(xiàn)引力，恰如位于球心的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)M’，M’是紅色部分的總質(zhì)量球體的萬有引力ORFr例題：均勻彈簧在重力場中的伸長問題。M,K引例：彈簧串聯(lián)。哪個(gè)伸長更大？mmmmkkkkn個(gè)彈簧串聯(lián)，從下向上數(shù)x1=mg/k,x2=2mg/k,x3=3mg/k,…X=x1+x2+x3+…+xn=n(1+n)mg/2kM=nmX=Mg(1+n)/2kn無窮大,1+n=n,k/n=K(n個(gè)串聯(lián)彈簧的等效彈性系數(shù))

X=Mg/2K(M均勻彈簧的總質(zhì)量，K彈性系數(shù)）可以進(jìn)一步考慮，均勻彈簧懸掛小球的伸長，振動(dòng)。。。質(zhì)心的計(jì)算質(zhì)點(diǎn)組

剛體的質(zhì)心質(zhì)心質(zhì)量剛體質(zhì)量質(zhì)心質(zhì)心可以在剛體之外；總是固結(jié)于剛體。xy例：半圓形均勻薄板的質(zhì)心。xy對(duì)稱性x0=0,y0=?y0=4R/3例：求如圖均勻薄板的質(zhì)心。xy12282C2IIIC1C0

解法1：分割法

解法2：補(bǔ)差法IIICIC’CII

解法2：正負(fù)法剛體平面力系的平衡三力平衡的性質(zhì)：剛體在三個(gè)力作用下平衡，這三個(gè)力必在同一平面內(nèi)，而且它們的作用線（或延長線）必相交于同一點(diǎn)。（平行力系除外）勻質(zhì)平行六面體，放在斜面上，兩者之間的摩擦系數(shù)是m,斜面與水平面作q角。求六面體對(duì)斜面正壓力的作用點(diǎn)。使q角逐漸增大，何時(shí)發(fā)生滑動(dòng)或翻倒現(xiàn)象？PfN滑動(dòng)條件：翻倒條件：N的作用點(diǎn)應(yīng)該在P與f交點(diǎn)。當(dāng)P的作用線不經(jīng)過六面體底面時(shí)會(huì)翻倒。abq如果m>a/b，時(shí)先翻倒，如果m<a/b，時(shí)先滑動(dòng)，繼續(xù)增大到a/b

時(shí)翻到。旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)等效靜力學(xué)問題IPhO20-2

不共線的三個(gè)點(diǎn)P1,P2和P3質(zhì)量分別為m1,m2和m3，彼此間僅有萬有引力作用。令C代表過質(zhì)點(diǎn)組（P1，P2，P3）質(zhì)心并垂直于三角形P1P2P3所在平面的軸，當(dāng)系統(tǒng)繞軸C旋轉(zhuǎn)時(shí)，為使三角形P1P2P3的形狀保持不變，那么質(zhì)點(diǎn)間的距離P1P2＝a,P2P3=b,P1P3=c應(yīng)滿足什么關(guān)系？角速度應(yīng)滿足什么條件？即在什么樣的條件下，系統(tǒng)能如剛體一樣繞C軸旋轉(zhuǎn)？解:取坐標(biāo)原點(diǎn)在質(zhì)心，則引力質(zhì)點(diǎn)1慣性離心力與引力平衡，故代入兩項(xiàng)不共線，所以系數(shù)分別為零，解：選取地面參考系。水相對(duì)于參考系轉(zhuǎn)動(dòng)，任選一小塊水，其受力如下圖。mg為重力，N為這一小塊水周圍液體對(duì)它的作用力的合力，N應(yīng)垂直于液體表面。

an例5定量計(jì)算牛頓旋轉(zhuǎn)水桶的水面形狀。此為拋物線方程，可見液面為旋轉(zhuǎn)拋物面。IPhO9-1半徑R=0.5m的空心球以角速度繞其豎直直徑旋轉(zhuǎn)。在球內(nèi)側(cè)高度為R/2處有一小木塊同球一起旋轉(zhuǎn)。(g=10m/s2)(1)實(shí)現(xiàn)這一情況的最小摩擦系數(shù)為多少？(2)求時(shí)實(shí)現(xiàn)這一情況的條件。(3)在以下兩種情況下研究運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性

(i)木塊位置有微小變動(dòng)；

(ii)球角速度有微小變動(dòng)。解：（1）（2）（3）把和當(dāng)作變量，判斷N,f以及的增減。增加，則N增加，f減小，能滿足，所以能保持平衡，減小則N減小，f增大，不能滿足，向下滑。改變，兩者系數(shù)皆正，兩者比值的變化更重要附近，該系數(shù)仍大于零。如果木塊向上滑動(dòng)，增加，要求摩擦系數(shù)增加，不夠大，故滑下來；如果向下滑，則摩擦力足夠，不回來了。附近增加則增大，不能保持平衡，向上滑；減小則減小，保持平衡。增加時(shí)，要求摩擦系數(shù)減小，可以停留；如果向下滑，要求摩擦系數(shù)增大，摩擦力不夠，返回。26屆復(fù)賽2：圖示正方形輕質(zhì)剛性水平桌面由完全相同的輕質(zhì)細(xì)桌腿1、2、3、4支撐于桌角A、B、C、D處，桌腿豎直立在水平粗糙剛性地面上。已知桌腿受力后將產(chǎn)生微小形變?，F(xiàn)于桌面中心點(diǎn)O至角A的連線OA某點(diǎn)P施加一豎直向下的力F，令OP/OA=c,求桌面對(duì)桌腿1的壓力F1。分析：力平衡，力矩平衡，對(duì)稱性，F(xiàn)1＋F2＋F3+F4＝FF2＝F4F3＋cF＝F1差一個(gè)方程，彈性形變，X1=F1/k,X2=X4=F2/k,X3=F3/k從側(cè)面看1、2（4）、3腿構(gòu)成梯形，形變量滿足X1＋X3＝2X2即F1＋F3＝2F2以上方程解得F1＝(2c+1)F/4,F3=(1-2c)F/4討論：

c>1/2,F3<0?取F3＝0，重新解，以上哪個(gè)方程不必滿足？F1＋F2＋F3+F4＝FF2＝F4F3＋cF＝F1X1＋X3＝2X2？？？化成F1＝cF總結(jié):F1＝(2c+1)F/4，0≤c≤1/2F1=cF,1/2≤c≤1例:風(fēng)向與帆船的航向作

角。試研究驅(qū)使帆船向前行駛的風(fēng)力如何取決于帆面的方向。風(fēng)束強(qiáng)度I，帆面面積S研究最有效利用風(fēng)力即：dF

/d

=0注意：根據(jù)具體情況選擇答案航向側(cè)向帆面法向風(fēng)向帆面法向風(fēng)向帆面

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航向風(fēng)向帆面FF

風(fēng)向逆風(fēng)作浪解由M的受力平衡條件得，由于系統(tǒng)處于靜力平衡，所以T1=m1g,，T2=m2g，T3=Mg。代入m1和m2的數(shù)值，得

考慮到上式，又知道當(dāng)時(shí)，M極大，時(shí)，M極小，即例

一不可伸長的輕繩跨過兩個(gè)滑輪組成的系統(tǒng)。繩的兩端分別系有質(zhì)量為m1=4kg和m2=4kg的物體。兩滑輪之間掛有質(zhì)量為M的物體。試求維持平衡時(shí)M的取值范圍。光滑曲線上有一勻質(zhì)鏈條，求鏈條上任意位置的張力。證明如果鏈條兩端處于同一水平高度則鏈條保持靜止。解：取一小段長為dl的線元，

質(zhì)量dm=ldl兩端張力之差（凈張力）dT=(dm)gsinq=ldlgsinq=lgdy萬有引力求解勻質(zhì)桿(質(zhì)量為M,長為l)與其延長線上一質(zhì)點(diǎn)間的引力（p84)。解：質(zhì)量元dM=Mdx/lOXx+dxxalmdM練習(xí)：（1）皮帶繞過輪，其與輪相接觸的一段在輪心所張角度為。皮帶與輪之間的靜摩擦力系數(shù)為。試求輪兩方皮帶中張力T1和T0之間的數(shù)量關(guān)系。

（2）一個(gè)質(zhì)量為M半徑