【數(shù)學(xué)】一元線性回歸模型及其應(yīng)用教學(xué)課件 2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修第三冊）

選修三《第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析》8.2.1一元線性回歸模型課時(shí)目標(biāo)：研究當(dāng)兩個(gè)變量線性相關(guān)時(shí)，如何利用成對樣本數(shù)據(jù)建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型，能結(jié)合具體實(shí)例了解模型及其參數(shù)的含義.提出問題確定研究變量收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖求回歸模型做出預(yù)報(bào)(一元線性回歸模型)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，回歸分析指的是定量分析兩種或兩種以上變量間相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法?；貧w分析按照涉及的變量的個(gè)數(shù)，分為一元回歸分析和多元回歸分析。回歸回歸分析定相關(guān)關(guān)系計(jì)算r問題背景——確定兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系及強(qiáng)弱生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兒子身高與父親身高存在正線性相關(guān)關(guān)系，即父親的身高較高時(shí)，兒子的身高通常也較高.

以橫軸表示父親身高、縱軸表示兒子身高建立直角坐標(biāo)系，由表中的成對樣本數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，如圖所示.可以發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高線性相關(guān).利用統(tǒng)計(jì)軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高.

為了進(jìn)一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表所示.問題提出——建立兩個(gè)相關(guān)變量的關(guān)系式思考1：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)或散點(diǎn)圖，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？存在父親身高相同，而兒子身高不同的情況.也存在兒子身高相同，而父親身高不同的情況。不符合函數(shù)的定義，可見兒子身高和父親身高之間不是函數(shù)關(guān)系，不能用函數(shù)模型刻畫.思考2：為什么兒子身高和父親身高有相關(guān)關(guān)系而不是函數(shù)關(guān)系？因?yàn)橛绊憙鹤由砀叩囊蛩爻烁赣H身高這個(gè)主要因素外，還受其他隨機(jī)因素的影響，如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣、鍛煉時(shí)間等.思考3：考慮上述隨機(jī)因素的影響，你能否用類似于函數(shù)的表達(dá)式來表示父親身高x和兒子身高Y的關(guān)系？問題解決——建立兩個(gè)相關(guān)變量的統(tǒng)計(jì)模型用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差.假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，則它們之間的關(guān)系可以表示為：稱為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.Y稱為因變量或響應(yīng)變量；x稱為自變量或解釋變量；a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.思考4：為什么要假設(shè)E(e)=0，而不假設(shè)它為某個(gè)不為0的常數(shù)？因?yàn)殡S機(jī)誤差表示大量已知和未知的影響因素之和，因?yàn)檎`差是隨機(jī)的，即取各種正負(fù)誤差的可能性一樣，它們會相互抵消，所以隨機(jī)誤差的期望值應(yīng)為0.理解模型——一元線性回歸模型的實(shí)際意義用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差.則它們之間的關(guān)系可以表示為下面的一元線性回歸模型：思考5：你能結(jié)合身高案例解釋上述模型的意義嗎？由于E(Y)=bx+a，故模型可解釋為父親身高為xi的所有男大學(xué)生的身高(子總體)的均值E(Y)為bxi+a，即該子總體的均值與父親身高是線性函數(shù)關(guān)系。yi不一定為bxi+a，yi=bxi+a+ei，bxi+a是子總體的均值，yi只是該子總體中的一個(gè)樣本值，這個(gè)樣本值yi與均值E(Y)有一個(gè)誤差項(xiàng)ei=yi?(bxi+a).思考6：父親身高為xi的某一名男大學(xué)生，他的身高yi一定為bxi+a嗎？理解為理解模型——一元線性回歸模型的實(shí)際意義思考7：你能結(jié)合上述身高案例解釋模型中產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因嗎？(1)存在其他可能影響兒子身高Y的因素，如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時(shí)間等；(2)測量身高時(shí)，可能存在由測量工具、測量精度導(dǎo)致的測量誤差；(3)實(shí)際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，而利用一元線性回歸模型來近似刻畫這種關(guān)系，這種近似產(chǎn)生了誤差.用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差.則它們之間的關(guān)系可以表示為下面的一元線性回歸模型：理解為若Y與x呈現(xiàn)線性相關(guān)，則Y關(guān)于x的一元線性回歸模型為：Y稱為因變量或響應(yīng)變量；x稱為自變量或解釋變量；a，b為參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.可理解為E(Y)=bx+a課堂小結(jié)yi不一定為bxi+a，觀測值yi與子總體的均值E(Y)有一個(gè)誤差項(xiàng)ei=yi?(bxi+a).選修三《第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析》8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)課時(shí)目標(biāo)：利用最小二乘法和成對樣本數(shù)據(jù)估計(jì)一元線性回歸模型Y=bx+a+e中的參數(shù)a和b；了解最小二乘法的原理，能利用該原理推導(dǎo)參數(shù)估計(jì)值的計(jì)算公式.提出問題確定研究變量收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖建立回歸模型做出預(yù)報(bào)(一元線性回歸模型)定相關(guān)關(guān)系計(jì)算r求解回歸直線方程y=bx+a(估計(jì)參數(shù)a,b)問題提出——由散點(diǎn)圖尋找一條適當(dāng)?shù)闹本€思考1：如何從散點(diǎn)圖中尋找到一條適當(dāng)?shù)闹本€，使得這些散點(diǎn)在整體上與這條直線最接近?方案1：先畫出一條直線，測量出各點(diǎn)與直線的距離，然后移動直線，到達(dá)一個(gè)使距離的和最小的位置.測量出此時(shí)的斜率和截距，就可得到一條直線，如圖.方案2：在圖中選擇兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同，把這條直線作為所求直線，如圖.方案3：在散點(diǎn)圖中多取幾對點(diǎn)，確定出幾條直線的方程，再分別求出這些直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為所求直線的斜率和截距.上面這些方法雖然有一定的道理，但比較難操作，我們需要另辟蹊徑.問題提出——利用樣本數(shù)據(jù)尋找一條適當(dāng)?shù)闹本€思考2：如何利用成對樣本數(shù)據(jù)，用數(shù)學(xué)方法刻畫“從整體上看，各散點(diǎn)與直線最接近”?析：可令n個(gè)樣本點(diǎn)與直線的豎直距離之和最小y=bx+a問題分析——利用樣本數(shù)據(jù)尋找一條適當(dāng)?shù)闹本€最小二乘法經(jīng)驗(yàn)回歸直線及其方程問題解決——最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)回歸方程圖形推導(dǎo)模型運(yùn)用——求身高案例的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型理解——身高案例的經(jīng)驗(yàn)回歸方程

含義2：父親身高為176cm的所有兒子身高的均值的估計(jì)值為177cm.

斜率可以解釋為父親身高每增加1cm，其兒子身高平均增加0.839cm.含義1：由方程作出推測，當(dāng)父親身高為176cm時(shí)，兒子身高一般在177cm左右.思考5：根據(jù)方程，父親身高為多少時(shí)，長大成人的兒子身高和父親身高一樣？模型理解——身高案例的經(jīng)驗(yàn)回歸方程高個(gè)子父親有生高個(gè)子兒子的趨勢，矮個(gè)子父親有生矮個(gè)子兒子的趨勢，思考6：分析案例中的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得到什么結(jié)論？

兒子身高有向平均身高回歸的趨勢英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓把這種后代身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”(自閱課本P122-123了解“回歸的含義”)隨機(jī)抽查了205對夫婦及其928個(gè)成年子女的身高數(shù)據(jù)記中親身高為X，子女身高為Y

女子身高×1.08換算為男子升高父母身高取平均數(shù)得中親身高新知：殘差的定義父親身高x174170173169182172180172168166182173164180兒子身高觀測值yi176176170170185176178174170168178172165182174.943171.587174.104170.748181.655173.265179.977173.265169.909168.231181.655174.104166.553179.9771.0574.413-4.104-0.7483.3452.735-1.9770.7350.091-0.231-3.655-2.104-1.5532.023殘差表：殘差=觀測值－預(yù)報(bào)值殘差之和為0.027(計(jì)算或測量時(shí)數(shù)據(jù)四舍五入)新知：殘差分析2.殘差的作用：判斷回歸模型刻畫數(shù)據(jù)的效果；發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，對模型進(jìn)行改進(jìn)，使我們能根據(jù)改進(jìn)模型作出更符合實(shí)際的預(yù)測與決策.1.殘差分析途徑：列殘差表、作殘差圖.以殘差為縱坐標(biāo)，以樣本編號(或x)為橫坐標(biāo).若存在某幾個(gè)樣本點(diǎn)的殘差絕對值較大，則為可以數(shù)據(jù)，需予以糾正或剔除，再重新建立回歸模型.殘差圖：殘差有正有負(fù)，比較均勻地分布在橫軸的兩邊，說明殘差比較符合一元線性回歸模型中對于隨機(jī)誤差的假定帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸瑲埐罱^對值越小，且較均勻地落在橫軸附近，說明回歸方程預(yù)報(bào)的精度越高.理解辨析——?dú)埐?/p>

殘差與觀測時(shí)間有線性關(guān)系，應(yīng)將時(shí)間變量納入模型殘差與觀測時(shí)間有非線性關(guān)系，應(yīng)在模型中加入時(shí)間的非線性函數(shù)部分殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨觀測時(shí)間的變大而變大殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)理解運(yùn)用——?dú)埐罹毩?xí)1.已知兩個(gè)線性相關(guān)變量與的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：x3456y2.534m

B殘差的概念回歸直線過樣本點(diǎn)中心理解運(yùn)用——?dú)埐罹毩?xí)2.2020年初，新型冠狀病毒引起的肺炎疫情爆發(fā)以來，各地醫(yī)療機(jī)構(gòu)采取了各種針對性的治療方法，取得了不錯(cuò)的成效，某醫(yī)療機(jī)構(gòu)開始使用中西醫(yī)結(jié)合方法后，每周治愈的患者人數(shù)如下表所示：第x周12345治愈人數(shù)y(單位：十人)38101415

B課堂小結(jié)1——回歸分析的流程

課堂小結(jié)2——經(jīng)驗(yàn)回歸方程的理解④解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn).一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)效果會比較好，超出這個(gè)范圍越遠(yuǎn)，預(yù)報(bào)的效果越差.⑤不能期望經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是響應(yīng)變量的精確值.它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值.②經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于所研究的樣本的總體.如，根據(jù)我國父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來描述美國父親身高與兒子身高之間的關(guān)系.根據(jù)生長在南方多雨地區(qū)的樹高與胸徑的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程不能用來描述北方干旱地區(qū)的樹高與胸徑之間的關(guān)系.①只有在散點(diǎn)圖大致呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程才有實(shí)際意義，否則求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程毫無意義.③經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有時(shí)效性.例如，根據(jù)20世紀(jì)80年代的父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來描述現(xiàn)在的父親身高與兒子身高之間的關(guān)系.綜合應(yīng)用——樹高與胸徑的關(guān)系P113-例.經(jīng)驗(yàn)表明，一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大，樹就越高.由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)(如下表)，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.編號123456789101112胸徑d/cm18.120.122.224.426.028.329.632.433.735.738.340.2樹高h(yuǎn)/m18.819.221.021.022.122.122.422.623.024.323.924.7解：以胸徑為橫坐標(biāo)、樹高為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，可見兩個(gè)變量呈正線性相關(guān)，因此可用一元線性回歸模型刻畫樹高h(yuǎn)與胸徑d之間的關(guān)系.綜合應(yīng)用——樹高與胸徑的關(guān)系根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由表中的胸徑d的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出樹高的預(yù)測值(精確到0.1)：以胸徑為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖如下：殘差的絕對值最大是0.8，所有殘差分布在以橫軸為對稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi).可見經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關(guān)系，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程由胸徑預(yù)測樹高.綜合應(yīng)用

非線性關(guān)系的回歸模型思想：變換為線性回歸模型析：以世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo)，世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖如下：問題.(P115-119)人們常將男子短跑的高水平運(yùn)動員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.在圖中，散點(diǎn)看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程.思考1：仔細(xì)觀察圖中散點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，你能看出其中存在的問題嗎？以經(jīng)驗(yàn)回歸直線為參照，第1個(gè)散點(diǎn)遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)回歸直線，且前后兩時(shí)間段的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的上方，中間時(shí)間段的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的下方.這說明散點(diǎn)并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗(yàn)回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.思考2：你能對模型進(jìn)行修改，以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征嗎？散點(diǎn)更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近.已學(xué)的函數(shù)_________________的圖象具有類似的形狀特征.注意到短跑的第1個(gè)世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年，因此可以認(rèn)為散點(diǎn)是集中在曲線y=c1+c2ln(t?1895)的周圍，其中c1和c2為未知參數(shù)，且c2<0.思考1：仔細(xì)觀察圖中散點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，你能看出其中存在的問題嗎？y=﹣lnx、y=﹣lgx思考3：如何利用成對數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)c1和c2？注意到短跑的第1個(gè)世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年，因此可以認(rèn)為散點(diǎn)是集中在曲線y=c1+c2ln(t?1895)的周圍，其中c1和c2為未知參數(shù)，且c2<0.非線性經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)精確到0.01作出(xi，yi)的散點(diǎn)圖，可見x與y呈現(xiàn)出很強(qiáng)的負(fù)線性相關(guān)特征.思考3：如何利用成對數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)c1和c2？注意到短跑的第1個(gè)世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年，因此可以認(rèn)為散點(diǎn)是集中在曲線y=c1+c2ln(t?1895)的周圍，其中c1和c2為未知參數(shù)，且c2<0.非線性經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)該經(jīng)驗(yàn)回歸方程對于表中的成對數(shù)據(jù)xi，yi具有非常好的擬合精度.x和Y之間的線性相關(guān)程度比t和Y的線性相關(guān)程度強(qiáng)得多.由圖可看出，非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程①思考4：你能否通過殘差分析來比較這兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程對數(shù)據(jù)刻畫的好壞？方程②各項(xiàng)殘差的絕對值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于方程①，即方程②的擬合效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①.一般情況下，直接一一比較兩個(gè)模型的各項(xiàng)殘差絕對值比較困難，因?yàn)閷τ谀承┥Ⅻc(diǎn)，模型①的殘差的絕對值比模型②的小，而另一些散點(diǎn)的情況則相反.方案二：通過比較殘差的平方和來比較兩個(gè)模型的效果.在殘差平方和最小的標(biāo)準(zhǔn)下，非線性回歸模型的擬合效果要優(yōu)于一元線性回歸模型的擬合效果.方案一：通過比較殘差的絕對值之和來比較兩個(gè)模型的效果.方案二：通過比較殘差的平方和來比較兩個(gè)模型的效果.經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的擬合效果要優(yōu)于經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的擬合效果.方案三：通過比較決定系數(shù)R2來比較兩個(gè)模型的效果.殘差平方和總偏差平方和(與回歸方程無關(guān))(與回歸方程有關(guān))R2越大，殘差平方和越小，模型擬合效果越好.經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的好很多.新知——決定系數(shù)R2①R2越大，殘差平方和越小，