隨機(jī)變量的均值及其性質(zhì)

第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征前一章介紹了隨機(jī)變量的分布，它是對(duì)隨機(jī)變量的一種完整的描述。然而實(shí)際上，求出分布率并不是一件容易的事。在很多情況下，人們并不需要去全面地考察隨機(jī)變量的變化情況，而只要知道隨機(jī)變量的一些綜合指標(biāo)就夠了．隨機(jī)變量的數(shù)字特征就是用數(shù)字表示隨機(jī)變量的分布特點(diǎn)。將介紹最常用的兩種數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望與方差．§1.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)為了敘述一組事物的大致情況，我們經(jīng)常要使用平均值這個(gè)概念.例如，對(duì)一個(gè)物體重復(fù)測量10次，測得的結(jié)果為:80,81,81,80,83T82,81,82,81,80,那么10次測量結(jié)果的平均值等于—(80+81+81+80+83+82十81+^2+81+80)“0X需+沁壽十磁魯+8/汁=81,1從上例看出，測量平均值并非10次測量中所得到的4個(gè)

數(shù)值80,81.82,83的簡單算術(shù)平均，而是它們依次乘以備,

需W令后的和.而后面四個(gè)數(shù)依次為上述4個(gè)測量值在10次測量值中岀現(xiàn)的頻率.因此，所求平均值為得到的諸測量值以其出現(xiàn)的頻率為權(quán)的加權(quán)平均.對(duì)于任何隨機(jī)變量X的取值都有類似的問題，我們經(jīng)常要了解X平均取什么值?通常就以X能取的各個(gè)值以及取這些值的概率為權(quán)，作加權(quán)平均來計(jì)量X的平均值.我們稱這種平均值為邇機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(簡稱為期望或均值人以下就離楸型和連續(xù)型兩種隨機(jī)變量分別給出其數(shù)學(xué)期望的定義.一．?dāng)?shù)學(xué)期望：1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義:設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為顯然，當(dāng)隨機(jī)變量X服從取值為茂的單點(diǎn)分布時(shí)，必有當(dāng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為爐的0—1分布肘必有=0X(1」/*〉+1X亡例1設(shè)X-B<n“)，求E(X).解若X?Eg?則例2設(shè)X?求歐Xh解尸｛%=創(chuàng)=普祀」4=0,1嚴(yán)dEE=勿加m*k\>?[}k\>?[}屜一旨1例3】甲.乙兩射手在一次射擊中的得分(分別以X，丫表示)的分布律見表￡2和表3.3=X109X109870.20-40.30.1r1087r0.40.10.20.3JE3?3試怡較甲、乙兩射手的技術(shù)+"分析由X與F的分布難以對(duì)甲、乙的射擊技術(shù)作岀比較，但可以利用二人多次射擊后的平均數(shù)來比較二人水平高低,也就是說可以用X與￥的數(shù)學(xué)期望作為標(biāo)識(shí)?ECX)=10X0.2+9X0.4+8X0.3+7X0<1=87￡<r>=10X0,4+9X0.1十8X0.2+7XO.3=￡6顯然，￡(X)>￡<y)故從平均水平來看，甲射手的射擊水平比乙射手的水平高.2。連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為W■十8若廣義積分HfSch：絕對(duì)收斂，則J—8E(X)= ^rf(x)Jjc」—rx3稱為連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.【例4】設(shè)X?求恵QO.3?隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：一維隨機(jī)變量X，若Y=g(X)?E(Y)=E(g〔X))?離散型隨機(jī)變量,E(Y)二丫召(爲(wèi)"(X=藝).f+CK連續(xù)型隨機(jī)變量,E(Y)二 g(jr)/(x)dx^里的」—g是X的慨率密度函數(shù)?數(shù)學(xué)期墨的性質(zhì)性質(zhì)1若C為常數(shù)，則￡(C)-C性質(zhì)4若H巧為常數(shù)，X為隨機(jī)變量，則有￡(iX+*)=kEg+b性質(zhì)冒設(shè)K,丫為二個(gè)隨機(jī)變量，則￡(X+Y)=E(X)+E(Y)推論設(shè)為們個(gè)隨機(jī)變量，則E(X.+耳 FX)=Eg+E(X2)+…+Eg性質(zhì)6若X與丫獨(dú)立，則有E(XY)=￡(X)￡(y\例測量某個(gè)圓的直徑戈其結(jié)果為一連續(xù)型隨機(jī)變量X.若已知X?U［宀刃，求圜面積的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)圓面積為人則Y=yX^因?yàn)閄7S刃「則幾（巧=”一口其它、0,其它7T所以￡(y)-E(^2)=JE(XS)h'_/(kMh=手,7T—g T7JCiP<?兀r212U三．習(xí)題：1? P.752. P.84 1,3,5； 1,3,5.【例】據(jù)統(tǒng)計(jì)，一位40歲的健康（一般體檢末發(fā)現(xiàn)病癥）者，5年之內(nèi)活著或自殺死亡的概率為p（0VpVl,p為已知），在5年內(nèi)非自殺死亡的概率為1—P。保險(xiǎn)公司開辦5年人壽保險(xiǎn)，參加者需交保險(xiǎn)費(fèi)a元（a已知），若5年之內(nèi)非自殺死亡，公司賠償b元（b>a）。b應(yīng)如何定才能使