六年級數(shù)學(xué)上冊 第16講 最值問題二（教師版）全國通用

第16講最值問題二興趣篇1、用0,1,2，…，9這10個數(shù)字各一次組成5個兩位數(shù)、、、、。請問：最大可能是多少？答案：222要讓結(jié)果盡量大，那么的十位要盡量大，的十位盡量小。再讓的個位要盡量大，的個位盡量小。那么可以得到。2、將135個人分成若干小組，要求任意兩個組的人數(shù)都不同，最多可以分成多少組？這時人數(shù)最少的那組有多少人？答案：15組；1個人或2個人，因此最多可以分為15組。又，，因此人數(shù)最少的一組有1或2人。3、有11個同學(xué)計(jì)劃組織一場圍棋比賽，他們準(zhǔn)備分為兩組，每組進(jìn)行單循環(huán)比賽，那么他們最少需要比賽多少場？答案：25場兩隊(duì)人數(shù)最接近的時候，比賽場次最少。要證實(shí)此結(jié)論，可采用逐步調(diào)整法：考慮初始狀態(tài)是，那么把一個人從1組調(diào)到2組可以減少10場比賽，變成；再把一個人從1組調(diào)到2組可以減少1組9場比賽，增加2組1場比賽，變成……。，減少6場，增加4場；減少5場，增加5場。再調(diào)整的時候，增加的場數(shù)要比減少的多了，那么分組時的場次達(dá)到最少。分成1組5人，1組6人，那么共需比（場）。4、我們知道，很多自然數(shù)可以表示成兩個不同質(zhì)數(shù)的和，例如。有的數(shù)有幾種不同的表示方法，例如。請問：恰好有兩種表示方法的最小數(shù)是多少？答案：16如果我們能找到4個數(shù)使得，那么就有。我們把質(zhì)數(shù)從小到大寫出來：其中最小的滿足上述條件的4個數(shù)是，那么這個最小的數(shù)是。5、一個三位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商最大是多少？商最小是多少？答案：最大100；最小設(shè)三位數(shù)為。那么，它與其各位數(shù)的商為。。當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。例，100。，a=1，c=9時分子有最小值，b=9時，分母有最大值。那么，當(dāng)時，商最小，為。例，199。6、（1）在分母是一位數(shù)的最簡真分?jǐn)?shù)中，兩個不相等的分?jǐn)?shù)最小相差多少？（2）從1至9中選取四個不同的數(shù)字填入算式中，使算式的結(jié)果小于1。這個結(jié)果最大是多少？答案：（1）；（2）（1）分子相同的情況下，分母越大，分?jǐn)?shù)越小。兩個分母是一位數(shù)的最簡真分?jǐn)?shù)之差，分母最大是，那么這兩個分?jǐn)?shù)的差最小是。（2）在形如的分?jǐn)?shù)中，分母越大，分?jǐn)?shù)和1約接近。又最大是72，因此這個結(jié)果最大是。7、如圖，等腰直角三角形中，厘米。在其中作一個矩形，矩形的面積最大可能是多少？答案：4平方厘米矩形的長和寬之和是一固定值：4厘米。那么長和寬相差越小，面積越大。因此矩形面積最大為平方厘米。8、如圖，從一個長方形的兩個角上挖去兩個小長方形后得到一個八邊形。這個八邊形的邊長恰好為1、2、3、4、5、6、7、8這8個數(shù)，它的面積最大可能是多少？答案：70先把八邊形補(bǔ)成一個矩形。那么要讓八邊形的面積最大，首先要讓矩形的面積最大。矩形的周長為如果4條邊的長度都是9，那么僅有，而實(shí)際上有1條邊是由3條小線段組成的，顯然不成立。那么讓。這時可讓上下兩條邊為8：，左右兩邊為10。此時大矩形的面積為。此時想讓八邊形面積最大，那么左右缺損的兩個小矩形面積要盡量小，分別是。于是八邊形的面積最大為。各線段長度如圖。9、在的方格表中將一些方格染成黑色，使得任意兩個黑格都沒有公共頂點(diǎn)。請問：最多可以將多少個方格染成黑色？答案：4個把的方格表分成4個的小方格，那么為了使任意兩個黑格都沒有公共頂點(diǎn)，每個的方格中，只能有1個黑色方格，即最多可以將4個黑色方格染成黑色。例如（寫1處染黑色）。10、古希臘有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。他精通數(shù)學(xué)、物理，聰慧過人。有一天，一位將軍向他請教一個問題：如圖，將軍從甲地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到乙地的馬棚，為了使走的路線最短，應(yīng)該讓馬在什么地方飲水？答案：在下圖中的地飲水先把甲乙兩地和河邊分別抽象為如圖的兩點(diǎn)和直線。從點(diǎn)做關(guān)于直線對稱的點(diǎn)。那么現(xiàn)在，在直線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離，和到點(diǎn)的距離相等。那么直接連接交直線于點(diǎn)，點(diǎn)就是我們所求的飲馬地點(diǎn)。要證明這個結(jié)論很簡單，只需在直線上任取一點(diǎn)，那么，三角形兩邊之和大于第三邊。拓展篇1、如圖所示，用一根長80厘米的鐵絲焊接成一個棱長都是整數(shù)厘米的長方體框架。這個長方體的體積最大可能是多少？答案：294立方厘米設(shè)長方體的長、寬、高分別為，那么。我們知道，和相同的情況下，差越小，積越大。因此體積最大時，，體積為（立方厘米）。2、把14表示成幾個自然數(shù)（可以重復(fù)）的和，并使得這些數(shù)的乘積盡可能大。問：這個乘積最大可能是多少？答案：162我們要把14分成若干個自然數(shù)的和，并使他們的積盡量大，那么首先要盡量把所有數(shù)分小，但又不能太小。那分到哪個數(shù)最劃算呢？我們考慮，5可以分成2和3；6可以分成3和3；7可以分成3、2、2……顯然，這些自然數(shù)中不能有超過4的數(shù)。而顯然也不能有1。那么我們就需要盡量分成2,3,4這幾個數(shù)。對于這3個數(shù)，哪個最劃算呢？我們注意到，3比4劃算，，3比2劃算。因此要讓積最大，我們應(yīng)該盡可能多的分成3，不足3的用2。如果最后剩下4怎么辦呢？因?yàn)椋虼耸?的時候我們不分。那么對于這道題，，乘積最大為。3、從1,2，…，9中選出8個數(shù)填入下面算式中的方框中，使得結(jié)果盡可能大，并求出這個結(jié)果。答案：，計(jì)算結(jié)果為131，要讓結(jié)果最大，首先是中，乘數(shù)盡量大，除數(shù)盡量小。那么。和一定時，差越小積越大，那么。。接下來，應(yīng)該讓盡量小，那么乘數(shù)盡量小，加數(shù)盡量小，減數(shù)盡量大。。于是4、有13個不同的自然數(shù)，它們的和是100。其中偶數(shù)最多有多少個？最少有多少個？答案：9個；5個還剩下10，無法表示為3個不同奇數(shù)的和，那么最多有9個偶數(shù)。我們?nèi)サ粢粋€偶數(shù)18，那么剩下28可以表示成4個不同奇數(shù)的和，那么最多可以有9個偶數(shù)。，還差3個偶數(shù)。那么我們至少去掉2個奇數(shù)，換成5個偶數(shù)?？梢匀サ?和19，那么剩下5個偶數(shù)的和是20，。因此最少有5個偶數(shù)。5、將6、7、8、9、10這5個數(shù)按任意次序?qū)懺谝粓A周上，將每相鄰兩數(shù)相乘，再把所得的5個乘積相加。請問：所得和數(shù)的最小值是多少？最大值是多少？答案：312；323如圖。要讓乘積的和最小，那么10兩邊的數(shù)要盡量小。令，那么剩下8,9，，因此讓。乘積的和最小為：要讓乘積的和最大，那么10兩邊的數(shù)要盡量大。令，那么剩下6,7，，因此讓。乘積的和最大為：6、有5袋糖塊，其中任意3袋的總塊數(shù)都超過60。這5袋糖塊總共最少有多少塊？答案：103塊如果讓任意3袋都剛好有60塊，那么可以讓每一袋都有20塊，那么共有100塊糖?，F(xiàn)在我們想任意取3袋的總塊數(shù)都超過60，那么只需在其中3袋中再加入1塊糖。那么此時5袋中共有103塊糖。7、已知算式的結(jié)果是一個各位數(shù)字互不相同的數(shù)，這個結(jié)果最大可能是多少？答案：98729984恰好能被8整除，那么我們要求的是能被8整除的各位數(shù)字不同的最大四位數(shù)。，那么9872滿足條件。8、用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次組成3個三位數(shù)，使得它們都是9的倍數(shù)，并且要求乘積最大，請寫出這個乘法算式。答案：要讓乘積最大，首先3個三位數(shù)的百位數(shù)字必須盡量大。要分成3個能被9整除的三位數(shù)，那么必有1個數(shù)的各位和為9，那么這個數(shù)最大是621。剩下兩個三位數(shù)，百位必然是8和9，那么只能是873和954。這個算式是：9、所有不能表示為兩個合數(shù)之和的自然數(shù)中，最大的一個是多少？答案：11所有不小于8的偶數(shù)，都能表示成兩個偶合數(shù)之和；所有不小于13的奇數(shù)，都能表示成9和一個偶合數(shù)之和。那么最大的不能表示為兩個合數(shù)之和的自然數(shù)是1110、把1至99依次寫成一排，形成一個多位數(shù)：。從中劃去99個數(shù)字，剩下的數(shù)字組成一個首位不是0的多位數(shù)。請問：剩下的數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少？答案：最大；最小要讓剩下的數(shù)盡量大，我們要讓前面有盡可能多的9。1-9共9個數(shù)字，有1個9；以后每10個數(shù)，20個數(shù)字中有1個9。那么1-49中共89個數(shù)字，有5個9。我們還可以再劃去15個數(shù)，那么劃去505152535455565下一個最大的數(shù)字是7，剩下的數(shù)最大是。要讓剩下的數(shù)盡量小，第一位是1，之后有盡可能多的0。1-10共11個數(shù)字，有1個1,1個0；以后每10個數(shù)，20個數(shù)字中有1個0。那么1-50中共91個數(shù)字，有1個1，5個0。我們還可以再劃去14個數(shù)，51-60中我們可以留下6個數(shù)字，那么選擇123450是最小的。剩下的數(shù)最小是。11、郵遞員送信件的街道如圖所示，每一小段街道長1千米。如果郵遞員從郵局出發(fā)，必須走遍所有的街道，那么郵遞員最少需要走多少千米？答案：26千米一筆畫問題。圖中有2個奇點(diǎn)，但我們不是從其中一個奇點(diǎn)出發(fā)，因此不能一筆畫出?，F(xiàn)在題目要求走遍所有的街道，那么必然要走重。連接兩個奇點(diǎn)，那么現(xiàn)在總路線多了1千米，奇點(diǎn)個數(shù)為0個，可以一筆畫出。那么總路線為各條線段長度加起來，再加1，共26千米。12、如圖，有一個長方體形狀的柜子。一只螞蟻要從左下角的點(diǎn)出發(fā)，沿柜子表面爬到右上角的點(diǎn)去取食物，螞蟻爬行路線的長度最短是多少？一共有幾條最短路線？請?jiān)趫D中表示出來。答案：5；4條；表示略如圖，把柜子展開，那么根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短（三角形兩邊之和大于第三邊），最短距離為5。共有4條這樣的路線。超越篇1、一臺計(jì)算器大部分按鍵失靈，只有數(shù)字“7”和“0”以及加法鍵“+”尚能使用，因此可輸入77,707這樣只含數(shù)字7和0的數(shù)，并且能進(jìn)行加法運(yùn)算。為了顯示出222222，最少要按“7”鍵多少次？答案：21次從題目要求可知，只用“”、“”和“”鍵來顯示“”，而。這道算式說明，如果只用“”鍵連續(xù)加次，就能得到。但這樣的次數(shù)太多了。況且，“”鍵也沒有發(fā)揮作用。有沒有更好的解決辦法呢？由題目可得我們需要盡量少按“”，而按“”的次數(shù)并沒有限制，那么我們發(fā)現(xiàn)，這屬于位值原理的靈活運(yùn)用。因而我們發(fā)現(xiàn)，只需要按次“”然后把它們都加起來就可以了。2、用1、3、5、7、9這5個數(shù)字組成一個三位數(shù)和一個兩位數(shù),再用0、2、4、6、8這5個數(shù)字組成一個三位數(shù)和一個兩位數(shù).請問：算式的計(jì)算結(jié)果最大是多少？答案：60483要使的結(jié)果最大，那么要使的值最大，的值最小。對于位數(shù)不同的兩數(shù)進(jìn)行賦值，首先應(yīng)把位數(shù)補(bǔ)齊，再從高到低賦值。要使的值最大，即讓每位數(shù)字的分配方法如下：百位盡可能大，；十位兩數(shù)次之，；個位最小。于是，要讓兩乘數(shù)的差盡量小，那么，，。的值最小，即讓每位數(shù)字的分配方法如下：百位盡可能小，；十位兩數(shù)次之，；個位最大。于是，要讓兩乘數(shù)的差盡量大，那么，。所以。3、將1、2、3、4、5、6分別填在正方體的6個面上，計(jì)算具有公共棱的兩個面上的數(shù)的乘積，這樣的乘積共有12個，這12個乘積的和最大是多少？答案：147易知，除了對面兩個數(shù)不需相乘外，其他沒兩數(shù)都要相乘一次。那么我們只需要考慮怎樣讓對面的3組數(shù)的乘積最小即可。那么，1,6一組，2,5一組，3,4一組。12個乘積的和最大為：。4、用1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個數(shù)字各一次，組成一個被減數(shù)、減數(shù)、差都是三位數(shù)的正確的減法算式，那么這個算式中的差最大是多少？答案：784構(gòu)造數(shù)字謎如右上圖，那么這個加法豎式中，其中一個加數(shù)就是所求的差，假設(shè)為。首先考慮進(jìn)位：這個加法算式中最多有2次進(jìn)位（否則和為4位數(shù)）。如沒有進(jìn)位，那么，不成立。如果有2次進(jìn)位，，也不成立。那么只有1次進(jìn)位，而且不可能發(fā)生在百位?？梢郧蟮茫骸?要讓差最大，必然要讓，。下面根據(jù)在哪里進(jìn)位進(jìn)行討論。（1）如果進(jìn)位發(fā)生在個位，那么，此時（進(jìn)位得1，與重復(fù)）。我們可以發(fā)現(xiàn)，此時無法安排的取值。因此進(jìn)位不會發(fā)生在個位。（2）如果進(jìn)位發(fā)生在十位，那么，那么的最大值是8。此時個位不進(jìn)位，可以選擇的只有。為了讓盡量大，那么我們選擇，。那么我們可以得到：。 綜上，差最大為7845、有的偶數(shù)可以寫成兩個奇合數(shù)之和，例如，。所有不能表示為兩個奇合數(shù)之和的偶數(shù)中，最大的一個是多少？答案：38，那么任何大于34的除以3余1的數(shù)都可以表示成25加上一個3的倍數(shù)的奇合數(shù)的形式；任何大于44的除以3余2的數(shù)都可以表示成35加上一個3的倍數(shù)的奇合數(shù)的形式。因此不小于44的偶數(shù)是肯定滿足條件的。又都滿足，因此不能表示為兩個奇合數(shù)之和的偶數(shù)中，最大的是386、如圖，有一個圓錐形沙灘的底面直徑為2厘米，母線的長度為6厘米。請問：（1）如果一只螞蟻想從點(diǎn)去點(diǎn)，最短路線應(yīng)該怎么走？請?jiān)O(shè)計(jì)出一條最短路線（螞蟻只能在圓錐表面走）；（2）如果一只螞蟻需要由點(diǎn)出發(fā)到達(dá)線段上（可以到其上的任意一點(diǎn)），那么最短路線應(yīng)該怎么走？（1）把圓錐的側(cè)面展開，兩點(diǎn)之間線段最短，如下圖所示；（2）同樣先把圓錐的側(cè)面展開。點(diǎn)到直線垂線段最短，如下圖所示7、如圖，一個邊長為10的正方形四個角剪去四個正方形，剩下部分可以拼成一個無蓋長方體，那么所得的長方體容積最大是多少？答案：設(shè)減去的小正方形的邊長是，那么長方體的容積是：要求這個式子的最大值。我們知道，如果幾個數(shù)的和固定，那么要它們的積最大，只需要這幾個數(shù)的差盡量小就可以了?？墒沁@里面3個數(shù)的和為，不固定。那么我們可以考慮這3個數(shù)：，這3個數(shù)的和是20，積是的4倍。而