湖南省2019-2021年3年中考真題數(shù)學(xué)分項匯編-21 銳角三角函數(shù)（解析版）

專題21銳角三角函數(shù)

一、選擇題

1.（2021?湖南中考真題）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖.自動扶梯的傾斜角為37。，大廳

兩層之間的距離3C為6米，則自動扶梯AB的長約為（sin37°?0.6,cos370工0.8,tan37°?0.75）（）.

A.7.5米B.8米C.9米D.10米

【答案】D

【分析】

結(jié)合題意，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意，得：sin37°=空=0.6

AB

■：8。=6米

/.AB=——=-^―=10米

0.60.6

故選：D.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

2.（2021?湖南中考真題）某限高曲臂道路閘口如圖所示，A3垂直地面4于點A,房與水平線4的夾角為

a（0°<a<90°）,EF/HJH2,若45=1.4米，BE=2米,車輛的高度為〃（單位：米），不考慮閘口

與車輛的寬度.

①當(dāng)a=90°時;h小于3.3米的車輛均可以通過該閘口;

②當(dāng)a=45°Ht，h等于2.9米的車輛不可以通過該閘口;

③當(dāng)a=60°時，力等于3.1米的車輛不可以通過該閘口.

則上述說法正確的個數(shù)為（）

1

￡

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【分析】

①三點共線，直接計算可得；

②做出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)，求出〃；

③方法同②.

【詳解】

如圖過E點作EM上AB交AB的延長線于點M,

■：EFIIIJI12

ZMEB=a

則〃=AM=AB+BExsina

①當(dāng)a=90°時,A,B,E三點共線，

〃=AE=AB+3E=1.4+2=3.4>3.3

h小于3.3米的車輛均可以通過該閘口，故①正確.

②當(dāng)a=45°時，

h=AB+BExsina=1.4+2x—^?1.4+1.41=2.81<2.9

〃等于2.9米的車輛不可以通過該閘口，故②正確.

2

③當(dāng)a=60°時,

h=AB+BExsina=1.4+2x-^-?1.4+1.73=3.13>3.1

2

/i等于3.1米的車輛可以通過該閘口，故③錯誤.

綜上所述：說法正確的為：①②，共2個.

故選：C.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，二次根式的估值，正確的作圖，計算和對比選項是解題關(guān)鍵.

3.（2020?湖南長沙市?中考真題）從一艘船上測得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角是30度，船離燈塔的

水平距離為（）

A.426米B.146米C.21米D.42米

【答案】A

【分析】

在直角三角形中，已知角的對.邊求鄰邊，可以用正切函數(shù)來解決.

【詳解】

解：根據(jù)題意可得：船離海岸線的距離為42+tan30*426（米）.

故選：A.

【點睛】

本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形.

4.（2020?湖南）如圖，撬釘子的工具是一個杠桿，動力臂4=L-cosa,阻力臂4=/-cos，，如果動力

尸的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時，則杠桿向下運動時的動力變化情況是（）

A.越來越小B.不變C.越來越大D.無法確定

【答案】A

【分析】

根據(jù)杠桿原理及COSa的值隨著a的減小而增大結(jié)合反比例函數(shù)的增減性即可求得答案.

3

【詳解】

解：?.?動力X動力臂=阻力X阻力臂，

.?.當(dāng)阻力及阻力臂不變時，動力X動力臂為定值，且定值＞0,

,動力隨著動力臂的增大而減小，

:杠桿向下運動時。的度數(shù)越來越小，此時cosa的值越來越大，

又..,動力臂4=L?cos。，

此時動力臂也越來越大，

,此時的動力越來越小，

故選:A.

【點睛】

本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性，熟練掌握相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵.

5.（2020?湖南中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABC。的頂點A在x軸的正半軸上，矩

形的另一個頂點D在y軸的正半軸上，矩形的邊===則點C到x軸的距離等于

A.acosx+hsinxB.acosx+hcosxC.asinx+Z?cosxD.asinx+Z7sinx

【答案】A

【分析】

作CELy軸于E.解直角三角形求出OD,DE即可解決問題.

【詳解】

作CE，y軸于E.

4

在RtAOAD中,

VZAOD=90°,AD=BC=Z?,ZOAD=x,

OD=ADsin^fOAD=Z?sinx,

?.?四邊形ABCD是矩形，

/ADC=90。，

/.ZCDE+ZADO=90°,

XVZOAD+ZADO=90°,

.?.NCDE=NOAD=x,

在RtACDE中，

VCD=AB=?,NCDE=x,

DE=CDcosNCDE=acosx，

點C至[]x軸的距離=￡0=口￡+0口=acosx+i>sinx,

故選：A.

【點睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.（2020?湖南中考真題）如圖所示，點A、B、C對應(yīng)的刻度分別為0、2、4,將線段CA繞點C按順時針

方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)點A首次落在矩形BCDE的邊BE上時,記為點A,則此時線段CA掃過的圖形的面積為（）

8

C.4GD.—71

3

5

【答案】D

【分析】

求線段CA掃過的圖形的面積，即求扇形ACAi的面積.

【詳解】

解：由題意，知AC=4,BC=4-2=2,/A巾C=90°.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得AiC=AC=4.

BC

在RtAAiBC中，cosZACAi=--=

AC2

/ACAi=60°.

扇形ACAi的面積為60x%x4-=0%

3603

Q

即線段CA掃過的圖形的面積為2乃.

3

故選：D

【點睛】

此題考查了扇形面積的計算和解直角三角形，熟練掌握扇形面積公式是解本題的關(guān)鍵.

7.（2019?湖南中考真題）已知為銳角，且sina='，則Na

)

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答.

【詳解】

為銳角，且sintz=L,

2

Na=30°.

故選A.

【點睛】

此題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，屬較簡單題目.

8.（2019?湖南中考真題）如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=12,AB的垂直平分線EF交AC于點D,連

6

接BD,若cosZBDC=-，則BC的長是（）

7

B.8c.473D.276

【答案】D

【分析】

設(shè)CD=5x,BD=7x,則BC=2遙x,由垂直平分線的性質(zhì)可得BD=AD,可得AC=12x,由AC=12即可

求x,進而求出BC；

【詳解】

5

VZC=90°,cos/BDC=—,

7

設(shè)CD=5x,BD=7x,

*.BC=2&x,

/AB的垂直平分線EF交AC丁點D,

二AD=BD=7x,

\AC=12x,

.,AC=12,

*.x=l,

?.BC=2#；

故選D.

【點睛】

本題考查直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握直角三角形函數(shù)的二角函數(shù)值，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

9.（2019?湖南中考真題）如圖，ZA8C中，AB=AC=IO,tanA=2,BEL4c于點E,。是線段BE上的一

個動點，則CD+@80的最小值是（）

5

7

E

D

B

A.275B.475C.5A/3D.10

【答案】B

【分析】

BE

如圖，作DH_LAB于H,CM_LAB于M.由lanA=—=2,設(shè)AE=a,BE=2a,利用勾股定理構(gòu)建方程求出

AE

a,再證明DH=@BD,推出CD+且BD=CD+DH,由垂線段最短即可解決問題.

55

【詳解】

如圖，作DH_LAB于H,CM_LAB于M.

VBE1AC,

???ZAEB=90°,

BE

,**tanA=-----=2，設(shè)AE=a,BE=2a,

AE

則有：100=a2+4a2,

.?.a=2君或-2后（舍棄）,

；.BE=2a=4后,

VAB=AC,BE±AC,CM±AB,

.?.CM=BE=4火（等腰三角形兩腰上的高相等））

VZDBH=ZABE,ZBHD=ZBEA,

DHAE_#)

sinZDBH~BD

8

石

一

BD,

5石

一

DH,

CD+

BD=

5

,

NCM

+DH

.?.CD

.

>4V5

BD

+y

???CD

4

值為

最小

D的

(B

CD+

.

故選B

】

【點睛

，用

助線

用輔

加常

會添

是學(xué)

關(guān)鍵

題的

，解

知識

短等

段最

垂線

質(zhì)，

的性

角形

腰三

，等

角形

角三

解直

考查

本題

題型.

考?？?/p>

屬于中

題，

考問

想思

的思

轉(zhuǎn)化

開展

對此

動中

踐活

外實

在校

同學(xué)

小芳

梁，

要橋

的重

路上

速公

益高

是南

大橋

洞庭

）南

真題

中考

湖南

019?

10.（2

為

仰角

D的

頂端

架的

橋主

a,大

角為

的俯

匯點C

的交

水面

架與

橋主

得大

A測

一點

橋外

，在

.如圖

活動

測量

）

為（

高CD

面的

離水

頂端

主架

大橋

此時

，則

B=a

距離A

水平

架的

橋主

與大

量點

知測

B，已

a

a