人教版小學(xué)六年級數(shù)學(xué)數(shù)和數(shù)的運(yùn)算復(fù)習(xí)講義

數(shù)和數(shù)的運(yùn)算

一概念

(一)整數(shù)

1、整數(shù)分為正整數(shù)、。和負(fù)整數(shù)。

2、自然數(shù)

我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的0,1,2,

3……叫做自然數(shù)。最小的自然數(shù)是0。

3、計數(shù)單位

個、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計

數(shù)單位。

每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的計數(shù)法

叫做十進(jìn)制計數(shù)法。

4、數(shù)位

計數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫

做數(shù)位。

5、數(shù)的讀法和寫法

(1)、整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億

級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在后面加一個“億〃

或"萬"字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有

幾個0都只讀一個零。

(2)、整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個

數(shù)位上一個單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫0。

(3)、小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀

法讀，小數(shù)點(diǎn)讀作〃點(diǎn)〃，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位

數(shù)位上的數(shù)字，有0時有幾個讀幾個。

(4)、小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的

寫法來寫，小數(shù)點(diǎn)寫在個位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一

個數(shù)位上的數(shù)字。

(5)、分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時，先讀分母再讀"分之〃然

后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。

(6)、分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最后寫分子，

按照整數(shù)的寫法來寫。

(7)、百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時，先讀百分之，再讀百

分號前面的數(shù)，讀數(shù)時按照整數(shù)的讀法來讀。

(8)、百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在

原來的分子后面加上百分號"％"來表示。

6、數(shù)的改寫

一個較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用

"萬〃或"億"作單位的數(shù)。有時還可以根據(jù)需要,省略這

個數(shù)某一位后面的數(shù),寫成近似數(shù)。

(1)、準(zhǔn)確數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計數(shù)的簡便，可以把

一個較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原

數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)。例如把1254300000改寫成以萬做單位的數(shù)

是125430萬；改寫成以億做單位的數(shù)是12.543億。

(2)、近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，我們還可以把一個較大的

數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個近似數(shù)來表示。例如：

1302490015省略億后面的尾數(shù)是13億。

(3)、四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4

或者比4小，就把尾數(shù)去掉；如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5

或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進(jìn)lo例如：

省略345900萬后面的尾數(shù)約是35萬。省略4725097420

億后面的尾數(shù)約是47億。

二、小數(shù)

1、小數(shù)的意義

把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份……得到

的十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數(shù)表示。

一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)

表示千分之幾……

一個小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。數(shù)

中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)

點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。

在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部

分的最高分?jǐn)?shù)單位"十分之一”和整數(shù)部分的最低單位"一"

之間的進(jìn)率也是10。

2、小數(shù)的分類

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：

0.25、0368都是純小數(shù)。

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如：

3.25、5.26都是帶小數(shù)。

有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小

數(shù)。例如：41.7、25.3、0.23都是有限小數(shù)。

無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小

數(shù)。例如：4.33……3.1415926……

無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律

且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：圓周

率（力）

循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)

字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如：

3.555……0.0333……12.109109……

一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫

做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如399……的循環(huán)節(jié)是"9",

0.5454……的循環(huán)節(jié)是"54"。

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純

循環(huán)小數(shù)。例如：3.111……0.5656……

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混

循環(huán)小數(shù)。3.1222……0.03333……

寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫

出一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個

圓點(diǎn)。如果循環(huán)節(jié)只有一個數(shù)字，就只在它的上面點(diǎn)一個點(diǎn)。

例如：3.1111……簡寫作3.1

三、數(shù)的整除

1、整數(shù)a除以整數(shù)b(b/O)，除得的商是整數(shù)而沒有余

數(shù),我們就說a能被b整除，或者說b能整除ao

如果數(shù)a能被數(shù)b(b^O)整除，a就叫做b的倍數(shù)，

b就叫做a的約數(shù)(或a的因數(shù)1倍數(shù)和約數(shù)是相互依存

的。

因?yàn)?5能被7整除所以35是7的倍數(shù)7是35的約數(shù)。

一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1,

最大的約數(shù)是它本身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10,其

中最小的約數(shù)是1,最大的約數(shù)是10。

一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本

身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3,沒

有最大的倍數(shù)。

2、能被2、3、5整除數(shù)的特征。

個位上是0、2、4、6、8的數(shù),都能被2整除，例如：

202、480、304,都能被2整除。

個位上是0或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、

405都能被5整除。

一個數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個數(shù)就能被3

整除，例如：12、108、204都能被3整除。

3、偶數(shù)和奇數(shù)

偶數(shù)：能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。

奇數(shù)：不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。

。也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)

和偶數(shù)。

4、質(zhì)數(shù)和合數(shù)

一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)叫做

質(zhì)數(shù),100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、

23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、

73、79、83、89、97。

一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)

叫做合數(shù)，例如4、6、8、9、12都是合數(shù)。

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就

是合數(shù)。如果把自然數(shù)按其約數(shù)的個數(shù)的不同分類，可分為

質(zhì)數(shù)、合數(shù)和10

每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)

數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3

x5,3和5叫做15的質(zhì)因數(shù)。

把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)

因數(shù)。例如把28分解質(zhì)因數(shù)

5、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)

幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。其中最大

的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)，例如12的約數(shù)有1、

2、3、4、6、12;18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中,

1、2、3、6是12和18的公約數(shù),6是它們的最大公約數(shù)。

公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩

個數(shù)，有下列幾種情況：

1和任何自然數(shù)互質(zhì)。

相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。

兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)，如果幾個數(shù)

中任意兩個都互質(zhì)，就說這幾個數(shù)兩兩互質(zhì)。

如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)

的最大公約數(shù)。

如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是lo

幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一

個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6、

8、10、12、14、16、18……

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18……其中6、12、

18……是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。。

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)

的最小公倍數(shù)。

如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最

小公倍數(shù)。

幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)

是無限的。

6、如何分解質(zhì)因數(shù)和求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)。

(11把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除

這個合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和

商寫成連乘的形式。

(2\求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)的公

約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后

把所有的除數(shù)連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的的最大公約

數(shù)。

(3\求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)(或

其中的部分?jǐn)?shù))的公約數(shù)去除，一直除到互質(zhì)(或兩兩互質(zhì))

為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個積就是這幾個

數(shù)的最小公倍數(shù)。

(4\成為互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì)；相鄰

的兩個自然數(shù)互質(zhì)；當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和

這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)；兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互

質(zhì)。

四、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)。

1、分?jǐn)?shù)的意義

把單位"1〃平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份

的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。

在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù),

叫做分母，表示把單位"1〃平均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的

數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。

把單位"1〃平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫

做分?jǐn)?shù)單位。

2、分?jǐn)?shù)的分類

真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于

10

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫

做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于L

帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常

叫做帶分?jǐn)?shù)。

3、約分和通分

把一個分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分

數(shù)，叫做約分。

分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡分?jǐn)?shù)。

把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù),

叫做通分。

4、百分?jǐn)?shù)

表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)，也

叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用"%”來表示。百分號是

表示百分?jǐn)?shù)的符號。

5、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的互化

(1\小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾

個零作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子，能約分的要

約分。

(2)、分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限

小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位

小數(shù)。

(3)、一個最簡分?jǐn)?shù),如果分母中除了2和5以外，不含有其

他的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有

2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

(4)、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動兩位，同時在

后面添上百分號。

(5)、百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號去

掉，同時把小數(shù)點(diǎn)向左移動兩位。

(6)、分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)(除不盡時,

通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。

(7)、百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要

約成最簡分?jǐn)?shù)。

五、整數(shù)的大小比較

1、比較整數(shù)大小：比較整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個數(shù)就大，

如果位數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個數(shù)就大；

最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個數(shù)就

大。

2、比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分,,整數(shù)部分大的

那個數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個數(shù)就

大；十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就

3、比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)比較大；

分子相同的數(shù)，分母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相

同的，先通分，再比較兩個數(shù)的大小。

六、數(shù)的性質(zhì)和規(guī)律

1、商不變的規(guī)律

商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大或者

同時縮小相同的倍，商不變。

2、小數(shù)的性質(zhì)

小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大

小不變。

3、小數(shù)點(diǎn)位置的移動引起小數(shù)大小的變化

(11小數(shù)點(diǎn)向右移動一位，原來的數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)

點(diǎn)向右移動兩位，原來的數(shù)就擴(kuò)大100倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動

三位，原來的數(shù)就擴(kuò)大1000倍

(21小數(shù)點(diǎn)向左移動一位，原來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)

點(diǎn)向左移動兩位，原來的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動

三位，原來的數(shù)就縮小1000倍

（31小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用"0"補(bǔ)足

位。

4、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相

同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

5、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

1、被除數(shù)?除數(shù)二被除數(shù)/除數(shù)

2、因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。

3、被除數(shù)相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。

七、整數(shù)四則運(yùn)算

1、整數(shù)加法：

把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運(yùn)算叫做加法。

在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)

是部分?jǐn)?shù)，和是總數(shù)。

加數(shù)+加數(shù)二和一個加數(shù)二和-另一個加數(shù)

2、整數(shù)減法:

已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運(yùn)算

叫做減法。

在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未

知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。

加法和減法互為逆運(yùn)算。

3、整數(shù)乘法：

求幾個相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算叫做乘法。

在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。

相同加數(shù)的和叫做積。

在乘法里和任何數(shù)相乘都得和任何數(shù)相乘都的

，00o1

任何數(shù)。

一個因數(shù)X一個因數(shù)二積

一個因數(shù)二積?另一個因數(shù)

4、整數(shù)除法：

已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運(yùn)

算叫做除法。

在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個因數(shù)叫做

除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。

乘法和除法互為逆運(yùn)算。

在除法里,0不能做除數(shù)。因?yàn)?和任何數(shù)相乘都得0,

所以任何一個數(shù)除以0,均得不到一個確定的商。

被除數(shù)田余數(shù)二商除數(shù);被除數(shù)?商

被除數(shù)二商x除數(shù)

八、小數(shù)四則運(yùn)算

1、小數(shù)加法：

小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合

并成一個數(shù)的運(yùn)算。

2、小數(shù)減法：

小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)

的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運(yùn)算。

3、小數(shù)乘法：

小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個

相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算；一個數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個數(shù)

的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。

4、小數(shù)除法：

小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩個

因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運(yùn)算。

九、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算

1、分?jǐn)?shù)加法：

分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)

合并成一個數(shù)的運(yùn)算。

2、分?jǐn)?shù)減法：

分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)

的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運(yùn)算。

3、分?jǐn)?shù)乘法：

分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相

同加數(shù)和的簡便運(yùn)算。

4、乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。

5、分?jǐn)?shù)除法:

分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。就是已知兩個

因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運(yùn)算。

十、運(yùn)算定律

1、加法交換律：

兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即

a+b=b+ao

2、加法結(jié)合律：

三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或

者先把后兩個數(shù)相加，再和第一個數(shù)相加它們的和不變，即

(a+b)+c=a+(b+c)0

3、乘法交換律：

兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即axb二b

xao

4、乘法結(jié)合律：

三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)；或

者先把后兩個數(shù)相乘，再和第一個數(shù)相乘，它們的積不變,

SP(axb)xc=ax(bxc)o

5、乘法分配律：

兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個

數(shù)相乘再把兩個積相加，即(a+b)xc=axc+bxc。

6、減法的性質(zhì)：

從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù)，可以從這個數(shù)里減去所有

減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c)o

十一、運(yùn)算法則

1、整數(shù)加法計算法則：

相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十,

就向前一位進(jìn)一。

2、整數(shù)減法計算法則：

相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就

從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。

3、整數(shù)乘法計算法則：

先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個

數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就

對齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來。

4、整數(shù)除法計算法則：

先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的

前幾位；如果不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，

商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1,要補(bǔ)"0〃

占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。

5、小數(shù)乘法法則：

先按照整數(shù)乘法的計算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾

位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；如果位數(shù)

不夠，就用〃0"補(bǔ)足。

6、除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計算法則：

先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的

小數(shù)點(diǎn)對齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后

面添"0〃，再繼續(xù)除。

7、除數(shù)是小數(shù)的除法計算法則：

先移動除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也

向右移動幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)"0"），然后按照除數(shù)是整數(shù)的

除法法則進(jìn)行計算。

8、同分母分?jǐn)?shù)加減法計算方法：

同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。

9、異分母分?jǐn)?shù)加減法計算方法：

先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計算。

10、帶分?jǐn)?shù)加減法的計算方法：

整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起

來。

11、分?jǐn)?shù)乘法的計算法則：

分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不

變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作

分母。

12、分?jǐn)?shù)除法的計算法則：

甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

十二、運(yùn)算順序

1、小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。

2、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。

3、沒有括號的混合運(yùn)算:

同級運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級運(yùn)算先算乘、除法，后

算加減法。

4、有括號的混合運(yùn)算：

先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。

5、第一級運(yùn)算：

加法和減法叫做第一級運(yùn)算。

6、第二級運(yùn)算：

乘法和除法叫做第二級運(yùn)算。

十三、整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用

1、簡單應(yīng)用題

(1)簡單應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運(yùn)

算解答的應(yīng)用題，通常叫做簡單應(yīng)用題。

(2)解題步驟：

a、審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的

條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題

中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問題，幫助理解題意。

b、選擇算法和列式計算:這是解答應(yīng)用題的中心工作。

從題目中告訴什么，要求什么著手，逐步根據(jù)所給的條件和

問題，聯(lián)系四則運(yùn)算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進(jìn)

行解答并標(biāo)明正確的單位名稱。

c、檢驗(yàn)：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)行檢查看所列

算式和計算過程是否正確，是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯誤，

馬上改正。

d、答案：根據(jù)計算的結(jié)果，先口答，逐步過渡到筆答。

2、復(fù)合應(yīng)用題

(1)有兩個或兩個以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩

步以上運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題。

(2)含有三個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。

求比兩個數(shù)的和多(少)幾個數(shù)的應(yīng)用題。

(3)含有兩個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。

已知兩數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系)與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)

的和(或差X

已知兩數(shù)之和與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)相差多少(或倍

數(shù)關(guān)系I

(4)解答連乘連除應(yīng)用題。

(5)解答三步計算的應(yīng)用題。

(6)解答小數(shù)計算的應(yīng)用題：小數(shù)計算的加法、減法、乘法

和除法的應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)、和解題方式都與

正式應(yīng)用題基本相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。

3、解答加法應(yīng)用題：

a、求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求

甲乙兩數(shù)的和是多少。

b、求比一個數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)

比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。

4、解答減法應(yīng)用題：

a、求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的

部分。

b、求兩個數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多

少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。

c、求比一個數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，，

乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。

5、解答乘法應(yīng)用題：

a、求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)

的個數(shù)，求總數(shù)。

b、求一個數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個數(shù)是多少,

另一個數(shù)是它的幾倍，求另一個數(shù)是多少。

6、解答除法應(yīng)用題：

a、把一個數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：

已知一個數(shù)和把這個數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少。

b、求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)的應(yīng)用題：已知一個數(shù)

和每份是多少，求可以分成幾份。

c、求一個數(shù)是另一個數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙

數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。

d、已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)的應(yīng)用題。

常見的數(shù)量關(guān)系：

總價二單價X數(shù)量

路程二速度X時間

工作總量;工作時間X工效

總產(chǎn)量二單產(chǎn)量X數(shù)量

6、典型應(yīng)用題

具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用

題，通常叫做典型應(yīng)用題。

（1\平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。

解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對應(yīng)的總份數(shù)。

算術(shù)平均數(shù)：已知幾個不相等的同類量和與之相對應(yīng)的份數(shù),

求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和?數(shù)量的個數(shù)二算

術(shù)平均數(shù)。

加權(quán)平均數(shù)：已知兩個以上若干份的平均數(shù)，求總平均

數(shù)是多少。

數(shù)量關(guān)系式（部分平均數(shù)X權(quán)數(shù)）的總和X權(quán)數(shù)的和）

二加權(quán)平均數(shù)。

差額平均數(shù)：是把各個大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被

總份數(shù)均分，求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。

數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)-小數(shù)）:2二小數(shù)應(yīng)得數(shù)

最大數(shù)與各數(shù)之差的和?總份數(shù)二最大數(shù)應(yīng)給數(shù)

最大數(shù)與個數(shù)之差的和+總份數(shù)二最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。

歸一問題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個量，其中一種量改變，

另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是相同的，這種問題

稱之為歸一問題。

根據(jù)求〃單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一

次歸一問題，兩次歸一問題。

根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問

題可以分為正歸一問題，反歸一問題。

一次歸一問題，用一步運(yùn)算就能求出〃單一量”的歸一

問題。又稱〃單歸一。"

兩次歸一問題，用兩步運(yùn)算就能求出"單一量”的歸一

問題。又稱〃雙歸一。"

正歸一問題：用等分除法求出"單一量"之后，再用乘

法計算結(jié)果的歸一問題。

反歸一問題：用等分除法求出"單一量〃之后，再用除

法計算結(jié)果的歸一問題。

解題關(guān)鍵：從已知的一組對應(yīng)量中用等分除法求出一份

的數(shù)量（單一量），然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)題目的要求算出結(jié)

果。

數(shù)量關(guān)系式：單一量X份數(shù)=總數(shù)量（正歸一）

總數(shù)量+單一量二份數(shù)（反歸一）

例：一個織布工人，在七月份織布4774米，照這樣計

算，織布6930米，需要多少天？

分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。6930

-r（4774/31）=45（天）

（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù)，以

及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個數(shù)），通過求總數(shù)量求得

單位數(shù)量的個數(shù)（或單位數(shù)量1

特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也

跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。

數(shù)量關(guān)系式：單位數(shù)量X單位個數(shù)?另一個單位數(shù)量;另

一個單位數(shù)量

單位數(shù)量*單位個數(shù):另一個單位數(shù)量;另一個單位數(shù)量。

例：修一條水渠，原計劃每天修800米，6天修完。實(shí)

際4天修完，每天修了多少米？

分析：因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L度，就必須先求出水渠的

長度。所以也把這類應(yīng)用題叫做"歸總問題不同之處是"歸

一〃先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再

求單一量。800x6+4=1200（米）

（4）和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以及他們的差，求這

兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問題。

解題關(guān)鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個大數(shù)的和

（或兩個小數(shù)的和），然后再求另一個數(shù)。

解題規(guī)律：（和+差）-2=大數(shù)大數(shù)-差二小數(shù)

（和-差）+2=小數(shù)和-小數(shù)二大數(shù)

例：某加工廠甲班和乙班共有工人94人,因工作需要

臨時從乙班調(diào)46人到甲班工作，這時乙班比甲班人數(shù)少12

人，求原來甲班和乙班各有多少人？

分析：從乙班調(diào)46人到甲班，對于總數(shù)沒有變化，現(xiàn)

在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成2個乙班，即94-12,由此得到現(xiàn)在的乙

班是（94-12）-2=41（人），乙班在調(diào)出46人之前應(yīng)該

為41+46=87（人），甲班為94-87=7（人）

（5）和倍問題：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求

兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。

解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說

是"誰"的幾倍，把誰就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。求出倍數(shù)和之后，

再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個數(shù)（也可能是幾個數(shù)）

與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求另一個數(shù)（或幾個數(shù)）的數(shù)量。

解題規(guī)律：和一倍數(shù)和二標(biāo)準(zhǔn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)x倍數(shù);另一

個數(shù)

例:汽車運(yùn)輸場有大小貨車115輛，大貨車比小貨車的5

倍多7輛，運(yùn)輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？

分析：大貨車比小貨車的5倍還多7輛，這7輛也在總

數(shù)115輛內(nèi)，為了使總數(shù)與5+1潛對應(yīng)總車輛數(shù)血115-

7）輛。

歹I」式為（115-7）-（5+1）=18（輛），18x5+7=97

（輛）

（6）差倍問題：已知兩個數(shù)的差,及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求

兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題。

解題規(guī)律：兩個數(shù)的差：（倍數(shù)-1）二標(biāo)準(zhǔn)數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)X倍數(shù)二另一個數(shù)。

例：甲乙兩根繩子，甲繩長63米，乙繩長29米，兩

根繩剪去同樣的長度，結(jié)果甲所剩的長度是乙繩長的3倍,

甲乙兩繩所剩長度各多少米？各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所

剩的長度是乙繩的3倍，實(shí)比乙繩多（3-1）倍，以乙繩的

長度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。列式（63-29）+（3-1）=17（米）...乙繩剩

下的長度，17x3=51（米）…甲繩剩下的長度,29-17=12

（米）…剪去的長度。

（7K亍程問題:關(guān)于走路、行車等問題，一般都是計算路程、

時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速

度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他

們之間的關(guān)系，再根據(jù)這類問題的規(guī)律解答。

解題關(guān)鍵及規(guī)律：

同時同地相背而行：路程二速度和X時間。

同時相向而行：相遇時間二速度和X時間

同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）:追及時間二

路程速度差。

同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）:路程二

速度差X時間。

例：甲在乙的后面28千米，兩人同時同向而行，甲每

小時行16千米，乙每小時行9千米，甲幾小時追上乙？

分析：甲每小時比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小時可

以追近乙（16-9）千米，這是速度差。

已知甲在乙的后面28千米（追擊路程）,28千米里包

含著幾個（16-9）千米，也就是追擊所需要的時間。列式28

.（16-9）=4（小時）

（8）流水問題：一般是研究船在“流水"中航行的問題。它

是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。

它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。

船速：船在靜水中航行的速度。

水速：水流動的速度。

順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣取?/p>

逆水速度：船逆流航行的速度。

順?biāo)俣?水速

逆速二船速-水速

解題關(guān)鍵：因?yàn)轫樍魉俣仁谴倥c水速的和，逆流速度

是船速與水速的差，所以流水問題當(dāng)作和差問題解答。解題

時要以水流為線索。

解題規(guī)律：船行速度二（順?biāo)俣?逆流速度）-2

流水速度二（順流速度逆流速度）+2

路程二順流速度x順流航行所需時間

路程二逆流速度X逆流航行所需時間

例：一只輪船從甲地開往乙地順?biāo)?，每小時行28千

米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?

小時，已知水速每小時4千米。求甲乙兩地相距多少千米？

分析：此題必須先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r間，

或者逆水速度和逆水的時間。已知順?biāo)俣群退魉俣?，?/p>

此不難算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r間，逆水所用的時

間不知道，只知道順?biāo)饶嫠儆?小時，抓住這一點(diǎn)，就

可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r間，這樣就能算

出甲乙兩地的路程。列J式為284x2=20（千米）20x2=40

（千米）40-（4x2）=5（小時）28x5=140（千米工

（9）還原問題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過一定的四則運(yùn)算后所得

的結(jié)果，求這個未知數(shù)的應(yīng)用題，我們叫做還原問題。

解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。

解題規(guī)律：從最后結(jié)果出發(fā)，采用與原題中相反的運(yùn)算

（逆運(yùn)算）方法，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。

根據(jù)原題的運(yùn)算順序列出數(shù)量關(guān)系，然后采用逆運(yùn)算的

方法計算推導(dǎo)出原數(shù)。

解答還原問題時注意觀察運(yùn)算的順序。若需要先算加減

法，后算乘除法時別忘記寫括號。

例：某小學(xué)三年級四個班共有學(xué)生168人，如果四班調(diào)

3人到三班，三班調(diào)6人到二班，二班調(diào)6人到一班，一班

調(diào)2人到四班，則四個班的人數(shù)相等，四個班原有學(xué)生多少

人？

分析:當(dāng)四個班人數(shù)相等時應(yīng)為168-4以四班為例，

它調(diào)給三班3人，又從一班調(diào)入2人，所以四班原有的人數(shù)

減去3再加上2等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為168+4-

2+3=43（人）

一班原有人數(shù)列式為168?4-6+2=38（人）；二班原有

人數(shù)列式為168-4-6+6=42（人）三班原有人數(shù)列式為168

-4-3+6=45（人工

（10）植樹問題：這類應(yīng)用題是以“植樹"為內(nèi)容。凡是研

究總路程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做

植樹問題。

解題關(guān)鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封

閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基

本公式進(jìn)行計算。

解題規(guī)律：沿線段植樹

棵樹二段數(shù)+1棵樹二總路程:株距+1

株距二總路程：（棵樹-1）

總路程二株距x（棵樹-1）

沿周長植樹

棵樹二總路程:株距

株距二總路程?棵樹

總路程二株距X棵樹

例：沿公路一旁埋電線桿301根，每相鄰的兩根的間距

是50米。后來全部改裝，只埋了201根。求改裝后每相鄰

兩根的間距。

分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉

一。列式為50x（301-1）-（201-1）=75（米）

（11）盈虧問題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。他的

特點(diǎn)是把一定數(shù)量的物品，平均分配給一定數(shù)量的人，在兩

次分配中，一次有余，一次不足（或兩次都有余），或兩次都

不足），已知所余和不足的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)

的問題，叫做盈虧問題。

解題關(guān)鍵：盈虧問題的解法要點(diǎn)是先求兩次分配中分配

者沒份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分配中各次共分物品的

差（也稱總差額），用前一個差去除后一個差，就得到分配者

的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù)。

解題規(guī)律：總差額+每人差額=人數(shù)

總差額的求法可以分為以下四種情況：

第一次多余，第二次不足，總差額:多余+不足

第一次正好，第二次多余或不足，總差額二多余或不足

第一次多余，第二次也多余，總差額二大多余-小多余

第一次不足，第二次也不足，總差額二大不足-小不足

例：參加美術(shù)小組的同學(xué)，每個人分的相同的支數(shù)的色

筆，如果小組10人，則多25支，如果小組有12人，色筆

多余5支。求每人分得幾支？共有多少支色鉛筆？

分析每個同學(xué)分到的色筆相等。這個活動小組有12人,

比10人多2人，而色筆多出了（25-5）=20支，2個人多

出20支，一個人分得10支。列式為（25-5）-（12-10）

二10（支）10x12+5=125（支工

（12）年齡問題：將差為一定值的兩個數(shù)作為題中的一個條

件，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問題

解題關(guān)鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，主

要特點(diǎn)是隨著時間的變化，年歲不斷增長，但大小兩個不同

年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種"差不變〃

的問題，解題時，要善于利用差不變的特點(diǎn)。

例：父親48歲，兒子21歲。問幾年前父親的年齡是兒

子的4倍？