四川省南充市嘉陵第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

嘉陵一中高2023級高一上期第三次月考數(shù)學(xué)試卷（試卷總分：150分，考試時間：150分鐘）一、單選題（每小題5分，共40分）1.若集合，集合，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，用列舉法寫出集合，對集合取并集即可得到答案.【詳解】集合，又集合，所以.故選：C.2.函數(shù)定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列不等式確定函數(shù)的定義域.【詳解】根據(jù)函數(shù)的解析式可知，要得到函數(shù)的定義域，需滿足，得且，即函數(shù)的定義域為.故選：C3.命題“，”為真命題的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出命題為真的充要條件，然后根據(jù)必要不充分條件的定義判斷．【詳解】命題“，”為真命題，，，時，取得最大值，由是，這是命題為真的充要條件，因此只有D是必要不充分條件．故選：D．4.已知函數(shù)若，則實數(shù)（）A.－5 B.5 C.－6 D.6【答案】A【解析】【分析】先求，再由列方程求解即可.【詳解】由題意可得，因為，即，所以，得，故選：A5.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)確定范圍并比較大小，再判斷的范圍，即可比較，，的大小關(guān)系.【詳解】在上單調(diào)遞增，，又在上單調(diào)遞減，，，,又，.故選：D6.已知，則取到最小值時，的值為（）A.16 B.12 C.9 D.8【答案】B【解析】【分析】從條件得到a與b的關(guān)系，然后運(yùn)用均值不等式的性質(zhì)，找到取到最小值時的值，從而求得答案.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，取最小值，此時；則.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：基本不等式是建立多項式乘積和和之間的橋梁，可以快速解決多項式最值問題.7.2023年1月31日，據(jù)“合肥發(fā)布”公眾號報道，我國最新量子計算機(jī)“悟空”即將面世，預(yù)計到2025年量子計算機(jī)可以操控的超導(dǎo)量子比特達(dá)到1024個.已知1個超導(dǎo)量子比特共有2種疊加態(tài)，2個超導(dǎo)量子比特共有4種疊加態(tài)，3個超導(dǎo)量子比特共有8種疊加態(tài)，，每增加1個超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就增加一倍.若，則稱為位數(shù)，已知1024個超導(dǎo)量子比特的疊加態(tài)的種數(shù)是一個位的數(shù)，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.308 B.309 C.1023 D.1024【答案】B【解析】【分析】由已知可推得當(dāng)有1024個超導(dǎo)量子比特時共有種疊加態(tài).兩邊同時取以10為底的對數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，根據(jù)已知數(shù)據(jù)，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，得個超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，所以當(dāng)有1024個超導(dǎo)量子比特時共有種疊加態(tài).兩邊取以10為底的對數(shù)得，所以.由于，故是一個309位的數(shù)，即.故選：B.8.已知函數(shù)對任意的，，都有，的圖像關(guān)于對稱、則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意函數(shù)對任意的，，都有可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，再根據(jù)的圖像關(guān)于對稱，將轉(zhuǎn)化為，即可比較出三個函數(shù)的大小．【詳解】由題意得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且的圖像關(guān)于對稱，可得為偶函數(shù)；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和對稱性的綜合應(yīng)用．二、多選題（每題5分，共20分，全對得5分，部分選對得2分，多選或錯選得0分）9.下列命題中正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ABC【解析】【分析】A.取特殊值判斷；B.根據(jù)和的單調(diào)性判斷；C.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象判斷；D.根據(jù)和的單調(diào)性判斷.【詳解】A.當(dāng)時，,故正確；B.因為在上遞減，在上遞增，所以，即，，故正確；C.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知：，，故正確；D.因為在上遞減，在上遞減，所以，，所以，故錯誤；故選：ABC10.下列說法正確是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對稱B.函數(shù)（且）的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)C.函數(shù)的圖象不過第四象限，則的取值范圍是D.函數(shù)（且），，則的單調(diào)遞減區(qū)間是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)分式分離得，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)即可得的對稱中心，從而判斷A；由指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)可得函數(shù)的定點(diǎn)，從而判斷B；由指數(shù)函數(shù)的圖象平移可得函數(shù)的圖象不過第四象限時的取值范圍，從而判斷C；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)即可判斷D.【詳解】函數(shù)，其圖象是由反比例函數(shù)的圖象向左平移一個單位，再向上平移兩個單位得到，故函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對稱，故A正確；當(dāng)時，，則函數(shù)（且）的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)，故B錯誤；由指數(shù)函數(shù)的圖象可得函數(shù)的圖象不過第四象限，則，所以的取值范圍是，故C錯誤；函數(shù)中，，又且，所以，則，由于函數(shù)，單調(diào)減區(qū)間為上，單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故D正確.故選：AD11.今有函數(shù)又，使對都有成立，則下列選項正確的是（）A.對任意都有 B.函數(shù)是偶函數(shù)(其中常數(shù))C.實數(shù)的取值范圍是 D.實數(shù)的最小值是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)的解析式可判斷AB，，然后可得，然后可得，然后分、兩種情況討論，當(dāng)時可得，當(dāng)時，，然后求出右邊的最小值即可判斷CD.【詳解】因為，所以當(dāng)時，故A正確；令，則，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故B錯誤，因為，所以因為，使對都有成立，所以，所以，當(dāng)時，不等式恒成立，當(dāng)時，由可得所以，所以當(dāng)時，成立，當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最小值，所以，即綜上：，故C正確D錯誤故選：AC12.若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“保值區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)不存在保值區(qū)間B.函數(shù)存在保值區(qū)間C.若函數(shù)存在保值區(qū)間，則D.若函數(shù)存在保值區(qū)間，則【答案】ACD【解析】【分析】由新定義與函數(shù)的性質(zhì)對選項逐一判斷，【詳解】對于A，在和上單調(diào)遞增，令，得，，故不存在保值區(qū)間，故A正確，對于B，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，若存在保值區(qū)間，若，令得無解，若，則，作差后化簡得或，不合題意，故不存在保值區(qū)間，故B錯誤，對于C，若存在保值區(qū)間，而在上單調(diào)遞增，故，得，故C正確，對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞減，若存在保值區(qū)間，則，作差得，得，則原式等價于在上有兩解，令，則在上有兩解，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故，故D正確，故選：ACD三、填空題（每題5分，共20分）13.函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值為________．【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則，解得.故答案為：.14.將函數(shù)的圖象先向左平移一個單位、再向上平移一個單位得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則______．【答案】-2【解析】【分析】根據(jù)題意可得知與之間的關(guān)系式，然后利用函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)，計算可得答案.【詳解】由函數(shù)的圖象先向左平移一個單位、再向上平移一個單位得到函數(shù)的圖象，可得：，故，所以,故答案為：-2.15.已知函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，，都滿足不等式，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得出在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)列出不等式求解即可.【詳解】由不等式可知，在上單調(diào)遞增，又因為在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以，解得．故答案為：16.已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_______.【答案】【解析】【分析】由得使得不等式一邊是參數(shù)，另一邊是不含關(guān)于的式子，分離參數(shù).【詳解】由為奇函數(shù)，可得其圖像關(guān)于對稱，所以的圖像關(guān)于對稱，由題目可知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，可得，對任意的，恒成立恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，設(shè)，當(dāng)時，取得最大值，所以的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】①分離參數(shù)法：遇到類似或等不等式恒成立問題，可把不等式化簡為或的形式，達(dá)到分離參數(shù)的目的，再求解的最值處理恒成立問題；②恒成立問題最終轉(zhuǎn)化為最值問題，而分離參數(shù)法，最好之處就是轉(zhuǎn)化后的函數(shù)不含參，避免了麻煩的分離討論.四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）17.計算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】.18.已知集合A={x|}，B={x|2<x<7}，C={x|5-a<x<a}.（1）求A∪B，（）∩B；（2）若C∩B=B，求a的取值范圍.【答案】（1）A∪B，（）∩B；（2）.【解析】【分析】（1）求解分式不等式解得集合，再根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)的包含關(guān)系，列出不等關(guān)系，求解即可.【小問1詳解】A={x|，故A∪B，又或，故（）∩B.【小問2詳解】B={x|2<x<7}，C={x|5-a<x<a}因為C∩B=B，故可得結(jié)合，則，且，解得，故實數(shù)的取值范圍為：.19.（1）已知，求的解析式．（2）已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式．【答案】（1）（且）（2）【解析】【分析】（1）直接利用換元法即可求出函數(shù)的解析式；（2）利用函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，建立方程組，進(jìn)而即可求出函數(shù)的解析式．【小問1詳解】設(shè)，則()，代入中，得，所以的解析式為，(且)．【小問2詳解】由于函數(shù)為一次函數(shù)，設(shè)，又，整理得，故，解得，，故的解析式為．20.已知二次函數(shù)滿足：關(guān)于不等式的解集為且.（1）求表達(dá)式；（2）若且在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法設(shè)，代入，根據(jù)不等式的解集求出，可得的表達(dá)式；（2）設(shè)，當(dāng)時，化為，的最小值為，當(dāng)時，化為，的最小值為，根據(jù)二次函數(shù)知識列式可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為為二次函數(shù)，且，所以可設(shè)，由，得，因為關(guān)于的不等式的解集為，所以關(guān)于的不等式的解集為，所以的兩根為和，所以，，所以，，所以.【小問2詳解】由（1）知，，設(shè)，當(dāng)時，由，得，則，，其對稱軸為，且，所以，解得；當(dāng)時，由，得，則，，其對稱軸為，且，所以，解得.綜上所述：的取值范圍是或.21.設(shè)函數(shù)（1）解關(guān)于的方程；（2）令，求的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意,將代入原方程化簡可得關(guān)于的方程,利用換元法令,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程,解方程即可求得的值.（2）根據(jù)解析式,分析并計算可知為定值,即可求值.【詳解】（1）因為函數(shù)代入可得令則解得或即或解得或（2）根據(jù)題意則所以且所以【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式求值,函數(shù)性質(zhì)的分析及應(yīng)用,指數(shù)冪的化簡求值,屬于基礎(chǔ)題.22.已知函數(shù)．（1）若，