九隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度

2024/1/291隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度引言在許多領(lǐng)域的理論與實(shí)際應(yīng)用中，廣泛應(yīng)用到傅立葉變換這一工具。一方面由于確定性信號(hào)的頻譜、線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)等具有鮮明的物理意義。另一方面，在時(shí)域上計(jì)算確定性信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)必須采用大量的卷積運(yùn)算，轉(zhuǎn)換到頻域上分析時(shí)，可以變換成簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而使運(yùn)算量大為減少，因而傅立葉變換是確定性信號(hào)分析的重要工具。在隨機(jī)信號(hào)分析領(lǐng)域能否應(yīng)用傅立葉變換，隨機(jī)信號(hào)是否存在某種譜特征？回答是可以，不過(guò)在隨機(jī)信號(hào)情況下，必須進(jìn)行某種處理以后，才能應(yīng)用傅立葉分析這一工具。因?yàn)橐话汶S機(jī)信號(hào)的樣本函數(shù)不滿足傅立葉變換的絕對(duì)可積條件，即通常用信號(hào)在其定義域內(nèi)的總量來(lái)表示信號(hào)的大小，稱為信號(hào)的規(guī)范量。 一階規(guī)范量，若?？煞e，即滿足 則一階規(guī)范量定義為 否則定義為6.1確定信號(hào)的大小、能量和功率確定信號(hào)的大小、能量和功率二階規(guī)范量，若?？煞e定義為

否則定義為樣本函數(shù)x(t)不滿足絕對(duì)可積的條件，但功率是有限的因此，可以研究隨機(jī)過(guò)程的功率譜。樣本函數(shù)x(t)的截取函數(shù)隨機(jī)信號(hào)的功率截取函數(shù)的傅立葉變換截取函數(shù)應(yīng)滿足帕塞瓦定理兩邊同除以2T可得取集合平均可得隨機(jī)過(guò)程的平均功率功率譜密度兩個(gè)結(jié)論1、隨機(jī)過(guò)程的平均功率可以通過(guò)對(duì)過(guò)程的均方值求時(shí)間平均得到。若隨機(jī)過(guò)程廣義平穩(wěn)2、若隨機(jī)過(guò)程廣義平穩(wěn)1、功率譜密度為非負(fù)的，即2、功率譜密度是ω的實(shí)函數(shù)。3、對(duì)于實(shí)隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)，功率譜密度是ω的偶函數(shù)，即功率譜密度的性質(zhì)截取函數(shù)為t的實(shí)函數(shù)，根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)于是4、功率譜密度可積，即功率譜密度的表達(dá)式為 其中功率譜密度可表示為功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)由得對(duì)于廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程則維納－辛欽定理

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的對(duì)應(yīng)關(guān)系：例已知零均值平穩(wěn)過(guò)程X(t)的互譜密度

定義兩個(gè)截取函數(shù)為二者滿足絕對(duì)可積的條件，則聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互譜密度

定義兩隨機(jī)過(guò)程的互功率為應(yīng)用帕塞瓦定理下面求平均功率，得平均功率

互功率譜密度定義為1、對(duì)于實(shí)隨機(jī)過(guò)程X(t)、Y(t)有2、若X(t),Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，有

互譜密度與互相關(guān)函數(shù)高斯過(guò)程定義：如果對(duì)于任意時(shí)刻，隨機(jī)過(guò)程的任意n維隨機(jī)變量服從高斯分布，則X(t)就是高斯過(guò)程。高斯過(guò)程的n維概率密度函數(shù)為：式中m,x為n維向量

C為協(xié)方差矩陣

6.7高斯過(guò)程與白噪聲高斯過(guò)程與白噪聲廣義平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程定義：若正態(tài)隨機(jī)過(guò)程X(t)的均值和方差都是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)只取決于時(shí)間間隔，則稱此正態(tài)過(guò)程為廣義平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程。

性質(zhì)1：寬平穩(wěn)高斯過(guò)程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。性質(zhì)2：若平穩(wěn)高斯過(guò)程在任意兩個(gè)不同時(shí)刻是不相關(guān)的，那么也一定是互相獨(dú)立的

性質(zhì)3：平穩(wěn)高斯過(guò)程與確定時(shí)間信號(hào)之和仍是高斯過(guò)程。

高斯過(guò)程性質(zhì)性質(zhì)4：若正態(tài)隨機(jī)過(guò)程在T上是均方可積的，則也是正態(tài)過(guò)程。性質(zhì)5：若正態(tài)隨機(jī)過(guò)程在T上是均方可微的，則其導(dǎo)數(shù)也是正態(tài)過(guò)程。高斯過(guò)程性質(zhì)（1）從噪聲與電子系統(tǒng)的關(guān)系來(lái)看：內(nèi)部噪聲：系統(tǒng)本身的元器件及電路產(chǎn)生的。外部噪聲：包括電子系統(tǒng)之外的所有噪聲。（2）根據(jù)噪聲的分布：高斯噪聲：具有高斯分布的噪聲。均勻噪聲：具有均勻分布的噪聲。（3）從功率譜的角度來(lái)看：白噪聲：如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的功率譜為常數(shù)，無(wú)論是什么分布，都稱它為白噪聲。色噪聲：功率譜中各種頻率分量的大小不同。噪聲的分類

噪聲的分類一個(gè)均值為零，功率譜密度在整個(gè)頻率軸上為非零常數(shù)，即

的平穩(wěn)過(guò)程N(yùn)(t)，稱為白噪聲過(guò)程，簡(jiǎn)稱為白噪聲。理想白噪聲

白噪聲過(guò)程利用傅立葉反變換可求得白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為：白噪聲的相關(guān)系數(shù)

若平穩(wěn)過(guò)程N(yùn)(t)在有限頻帶上的功率譜密度為常數(shù)，在頻帶之外為零，則稱N(t)為理想帶限白噪聲。理想白噪聲

帶限白噪聲若白噪聲的功率譜在內(nèi)不為零，而在其外為零，且分布均勻，其表達(dá)式為稱這類白噪聲為低通白噪聲。自相關(guān)函數(shù)為

低通白噪聲