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課時(shí)作業(yè)41空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1.一個(gè)球的表面積是16π,那么這個(gè)球的體積為(B)A.eq\f(16,3)π B.eq\f(32,3)πC.16π D.24π解析:設(shè)球的半徑為R,則S=4πR2=16π,解得R=2,則球的體積V=eq\f(4,3)πR3=eq\f(32,3)π.2.已知圓錐的表面積等于12πcm2,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,則底面圓的半徑為(B)A.1cm B.2cmC.3cm D.eq\f(3,2)cm解析:由題意,得S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,解得r2=4,所以r=2(cm).3.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為(B)A.eq\r(6) B.eq\r(7)C.2eq\r(2) D.3解析:設(shè)新的底面半徑為r,由題意得eq\f(1,3)πr2·4+πr2·8=eq\f(1,3)π×52×4+π×22×8,解得r=eq\r(7).4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,該三棱柱的五個(gè)面所在的平面截球面所得的圓大小相同,若球OA.6eq\r(3) B.12C.12eq\r(3) D.18解析:設(shè)球O的半徑為R,則由4πR2=20π得R2=5,由題意知,此三棱柱為正三棱柱,且底面三角形的外接圓與側(cè)面的外接圓大小相同,故設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,高為h,如圖,取三角形ABC的中心O1,四邊形BCC1B1的中心O2,連接OO1,OA,O2B,O1A,由題意可知,在Rt△AOO1中,OOeq\o\al(2,1)+AOeq\o\al(2,1)=AO2=R2,即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,3)))2=R2=5①,又AO1=BO2,所以AOeq\o\al(2,1)=BOeq\o\al(2,2),即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,3)))2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2②,由①②可得a2=12,h=2,所以三棱柱的體積V=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a2))h=6eq\r(3).故選A.5.已知正三棱錐的高為6,內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切)的表面積為16π,則其底面邊長(zhǎng)為(B)A.18 B.12C.6eq\r(3) D.4eq\r(3)解析:如圖,由題意知,球心在三棱錐的高PE上,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則S球=4πR2=16π,所以R=2,所以O(shè)E=OF=2,OP=4.在Rt△OPF中,PF=eq\r(OP2-OF2)=2eq\r(3).因?yàn)椤鱋PF∽△DPE,所以eq\f(OF,DE)=eq\f(PF,PE),得DE=2eq\r(3),AD=3DE=6eq\r(3),AB=eq\f(2,\r(3))AD=12.故選B.6.(多選題)已知A,B,C三點(diǎn)均在球O的表面上,AB=BC=CA=2,且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的eq\f(1,3),則下列結(jié)論正確的是(AD)A.球O的表面積為6πB.球O的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為1C.球O的外切正方體的棱長(zhǎng)為eq\f(4,3)D.球O的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為2解析:設(shè)球O的半徑為r,△ABC的外接圓圓心為O′,半徑為R.易得R=eq\f(2\r(3),3).因?yàn)榍蛐腛到平面ABC的距離等于球O半徑的eq\f(1,3),所以r2-eq\f(1,9)r2=eq\f(4,3),得r2=eq\f(3,2).所以球O的表面積S=4πr2=4π×eq\f(3,2)=6π,選項(xiàng)A正確;球O的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)a滿足eq\r(3)a=2r,顯然選項(xiàng)B不正確;球O的外切正方體的棱長(zhǎng)b滿足b=2r,顯然選項(xiàng)C不正確;球O的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)c滿足c=eq\f(2\r(6),3)r=eq\f(2\r(6),3)×eq\f(\r(6),2)=2,選項(xiàng)D正確.二、填空題7.(2019·江蘇卷)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點(diǎn),則三棱錐E-BCD的體積是10解析:因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1所以CC1·S四邊形ABCD=120,又E是CC1的中點(diǎn),所以三棱錐E-BCD的體積VE-BCD=eq\f(1,3)EC·S△BCD=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)CC1×eq\f(1,2)S四邊形ABCD=eq\f(1,12)×120=10.8.如圖所示,一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球,水面高度恰好升高r,則eq\f(R,r)=eq\f(2\r(3),3).解析:由水面高度升高r,得圓柱體積增加了πR2r,恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積,因此有eq\f(4,3)πr3=πR2r.故eq\f(R,r)=eq\f(2\r(3),3).9.一個(gè)六棱錐的體積為2eq\r(3),其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形,側(cè)棱長(zhǎng)都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為12.解析:設(shè)六棱錐的高為h,則V=eq\f(1,3)Sh,所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×4×6h=2eq\r(3),解得h=1.設(shè)六棱錐的斜高為h′,則h2+(eq\r(3))2=h′2,故h′=2.所以該六棱錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×2×2×6=12.10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PB⊥底面ABCD,O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),若PB=1,∠APB=∠BAD=eq\f(π,3),則三棱錐P-AOB的外接球的體積是eq\f(4π,3).解析:∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即OA⊥OB.∵PB⊥平面ABCD,∴PB⊥AO,又OB∩PB=B,∴AO⊥平面PBO,∴AO⊥PO,即△PAO是以PA為斜邊的直角三角形.∵PB⊥AB,∴△PAB是以PA為斜邊的直角三角形,∴三棱錐P-AOB的外接球的直徑為PA.∵PB=1,∠APB=eq\f(π,3),∴PA=2,∴三棱錐P-AOB的外接球的半徑為1,∴三棱錐P-AOB的外接球的體積為eq\f(4π,3).三、解答題11.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍,若AB=6m,PO1=解:由PO1=2m知,O1O=4PO1=8m.因?yàn)锳1B1=AB=6m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1V錐=eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1=eq\f(1,3)×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3),所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3).故倉(cāng)庫(kù)的容積是312m312.如圖①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點(diǎn),CD=2AB=2EF=4,M為DF的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形BEFC沿EF折起,使平面BEFC⊥平面AEFD,得到如圖②所示的多面體.在圖②中,(1)證明:EF⊥MC;(2)求三棱錐M-ABD的體積.解:(1)證明:由題意,可知在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∵E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點(diǎn),∴EF⊥CD.折疊后,EF⊥DF,EF⊥CF.∵DF∩CF=F,∴EF⊥平面DCF.又MC?平面DCF,∴EF⊥MC.(2)易知AE=BE=1,DF=CF=2,DM=1,∴MF=1=AE.又AE∥MF,∴四邊形AEFM為平行四邊形.∴AM∥EF,故AM⊥DF.∵平面BEFC⊥平面AEFD,平面BEFC∩平面AEFD=EF,且BE⊥EF,∴BE⊥平面AEFD.∴VM-ABD=VB-AMD=eq\f(1,3)×S△AMD×BE=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1=eq\f(1,3).即三棱錐M-ABD的體積為eq\f(1,3).13.已知在四面體ABCD中,AD=DB=AC=CB=1,則該四面體的體積的最大值為eq\f(2\r(3),27).解析:如圖,設(shè)AB的中點(diǎn)為P,連接PC,PD,因?yàn)锳D=DB,AC=CB,所以AB⊥PD,AB⊥PC,又PC∩PD=P,所以AB⊥平面PCD.設(shè)AB=2x(0<x<1),則PC=PD=eq\r(1-x2).于是,V三棱錐A-BCD=V三棱錐A-PCD+V三棱錐B-PCD=eq\f(1,3)·S△PCD·AP+eq\f(1,3)·S△PCD·BP=eq\f(1,3)·S△PCD·AB=eq\f(1,3)·2x·eq\f(1,2)(eq\r(1-x2))2sin∠CPD≤eq\f(1,3)x·(eq\r(1-x2))2.設(shè)函數(shù)f(x)=eq\f(1,3)x·(eq\r(1-x2))2=eq\f(1,3)(x-x3),0<x<1,則f′(x)=eq\f(1,3)-x2,所以當(dāng)0<x<eq\f(\r(3),3)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)eq\f(\r(3),3)<x<1時(shí),f′(x)<0.所以函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(\r(3),3)))上單調(diào)遞增,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3),1))上單調(diào)遞減,所以f(x)max=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))=eq\f(2\r(3),27).從而V三棱錐A-BCD≤eq\f(2\r(3),27),當(dāng)且僅當(dāng)sin∠CPD=1且x=eq\f(\r(3),3),即平面ABD⊥平面ABC且AB=eq\f(2\r(3),3)時(shí),不等式取等號(hào).故所求四面體的體積的最大值為eq\f(2\r(3),27).14.如圖,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB=BC=1,CD=2,E為CD的中點(diǎn),將△ADE沿AE折到△APE的位置.(1)證明:AE⊥PB;(2)當(dāng)四棱錐P-ABCE的體積最大時(shí),求點(diǎn)C到平面PAB的距離.解:(1)證明:在等腰梯形ABCD中,連接BD,交AE于點(diǎn)O.∵AB∥CE,AB=CE,∴四邊形ABCE為平行四邊形,∴AE=BC=AD=DE,∴△ADE為等邊三角形,∴在等腰梯形ABCD中,∠C=∠ADE=eq\f(π,3),BD⊥BC,∴BD⊥AE.如圖,翻折后可得,OP⊥AE,OB⊥AE,又OP?平面POB,OB?平面POB,OP∩OB=O,∴AE⊥平面POB,∵PB?平面POB,∴AE⊥PB.(2)當(dāng)四棱錐P-ABCE的體積最大時(shí),平面PAE⊥平面ABCE.又平面PAE∩平面ABCE=AE,PO?平面PAE,PO⊥AE,∴OP⊥平面ABCE.∵OP=OB=eq\f(\r(3),2),∴PB=eq\f(\r(6),2),∵AP=AB=1,∴S△PAB=eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)×eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(
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