高考數(shù)學一輪復習 練案（8）第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第五講 冪函數(shù)與二次函數(shù)（含解析）-人教版高三數(shù)學試題

[練案8]第五講冪函數(shù)與二次函數(shù)A組基礎鞏固一、選擇題1．(2020·河北武邑中學調研)若冪函數(shù)的圖象過點(2，eq\f(1,4))，則它的單調遞增區(qū)間是(D)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)[解析]設y＝xα，則eq\f(1,4)＝2α，∴α＝－2，∴y＝x－2，故選D.2．若函數(shù)f(x)＝－x2＋4ax在[1,3]內不單調，則實數(shù)a的取值范圍是(D)A．[eq\f(1,2)，eq\f(3,2)] B．[eq\f(1,2)，eq\f(3,2))C．(eq\f(1,2)，eq\f(3,2)] D．(eq\f(1,2)，eq\f(3,2))[解析]由題意得：1<2a<3，得eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).3．(2020·湖北鄂東南省級示范高中教育改革聯(lián)盟期中)若冪函數(shù)y＝x－1，y＝xm與y＝xn在第一象限的圖象如圖所示，則m與n的取值情況為(D)A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<mC．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1[解析]取x＝eq\f(1,2)，由圖易知eq\f(1,2)<(eq\f(1,2))m<1<(eq\f(1,2))n<(eq\f(1,2))－1，∴－1<n<0<m<1.故選D.4．(2020·柳州模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,2)，若f(a＋1)<f(10－2a)，則實數(shù)a的取值范圍是(C)A．(－1,3) B．(－∞，5)C．(3,5) D．(3，＋∞)[解析]由題意得，冪函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,2)在定義域(0，＋∞)上單調遞減，所以由f(a＋1)<f(10－2a)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>10－2a，,10－2a>0，))解得3<a<5.5．(2020·河北唐山一中模擬)設函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，則(C)A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0[解析]因為f(x)的對稱軸為x＝－eq\f(1,2)，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致圖象如圖所示，由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0，故選C.6．(2020·滄州質檢)如果函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對任意的x都有f(x＋1)＝f(－x)，那么(D)A．f(－2)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(2)<f(0)<f(－2) D．f(0)<f(2)<f(－2)[解析]由f(1＋x)＝f(－x)知f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(1,2)對稱，又拋物線f(x)開口向上，∴f(0)<f(2)<f(－2)．7．(2020·吉林長春外國語學校期中)已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是(C)A．[1，＋∞) B．[0,2]C．[1,2] D．(－∞，2][解析]y＝x2－2x＋3的對稱軸為x＝1，此時ymin＝2，故m≥1，又x＝0時y＝3，x＝2時y＝3，因此m≤2，故選C.二、多選題8．(2020·江西上饒潘陽一中第一次月考改編)已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的圖象不經過原點，則mA．1 B．2C．0 D．3[解析]由冪函數(shù)定義知m2－3m＋3＝1，得m＝1或m＝2，經檢驗m＝1和m9．如圖給出四個冪函數(shù)大致的圖象，則圖象與函數(shù)對應正確的是(BCD)A．①y＝xeq\f(1,3) B．②y＝x2C．③y＝xeq\f(1,2) D．④y＝x－1[解析]根據(jù)常見冪函數(shù)的圖象判斷或取特殊值，逐個驗證知B、C、D正確．10．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，則它的圖象不可能是(ABC)[解析]由a＋b＋c＝0和a>b>c知a>0，c<0，由c<0，不可能是A，B，又a>0，不可能是C.故選A、B、C.三、填空題11．冪函數(shù)y＝xm2－2m－3(m∈Z)的圖象如圖所示，則實數(shù)m的值為__1__[解析]∵函數(shù)在(0，＋∞)上單調遞減，∴m2－2m－3<0，解得－1<m∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而當m＝0或2時，f(x)＝x－3為奇函數(shù)，當m＝1時，f(x)＝x－4為偶函數(shù)．∴m＝1.12．設二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx－2(a≠0)，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，則f(x1＋x2)＝__－2__.[解析]由對稱性知f(x1＋x2)＝f(－eq\f(b,a))＝a×eq\f(b2,a2)＋b×(－eq\f(b,a))－2＝－2.13．若關于x的不等式x2－4x≥m對任意x∈(0,1]恒成立，則m的取值范圍是__(－∞，－3]__.[解析]只需要在x∈(0,1]時，(x2－4x)min≥m即可．因為函數(shù)f(x)＝x2－4x在(0,1]上為減函數(shù)，所以當x＝1時，(x2－4x)min＝1－4＝－3.所以m≤－3.14．已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，不等式f(x)<－2x的解集為(1,3)，且方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的實根，則f(x)的解析式為__f(x)＝x2－6x＋3__[解析]設f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)．由題意得方程f(x)＝－2x的兩個根分別是1,3，即ax＋(b＋2)x＋c＝0的兩個根分別是1,3，故由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得－eq\f(b＋2,a)＝4，eq\f(c,a)＝3，∴b＝－4a－2，c＝3a，所以f(x)＝ax2－2(2a＋1)x＋3a.再根據(jù)方程f(x)＋6a＝0，即ax2－2(2a＋1)x＋9a＝0有兩個相等的實根，得Δ＝4(2a＋1)2－36a2＝0，解得a＝1或a＝－eq\f(1,5)(舍去)，∴f(x)＝x2－6x＋3.B組能力提升1．(2020·吉林模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的圖象關于y軸對稱，則下列選項正確的是(B)A．f(－2)>f(1) B．f(－2)<f(1)C．f(2)＝f(1) D．f(－2)>f(－1)[解析]由冪函數(shù)f(x)＝xn的圖象關于y軸對稱，可知f(x)＝xn為偶函數(shù)，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，則f(－2)＝f(2)＝eq\f(1,4)，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)<f(1)，故選B.2．(多選題)(2020·甘肅武威模擬改編)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3,0)，對稱軸為直線x＝－1.給出下面四個結論：其中正確的結論是(AD)A．b2>4ac B．2a－C．a－b＋c＝0 D．5a<b[解析]∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于兩點，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，A正確；二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1,2a－b＝0.B錯誤；結合圖象知，當x＝－1時，y>0，即a－b＋c>0，C錯誤；由對稱軸為直線x＝－1知，b＝2a，又函數(shù)的圖象開口向下，∴a<0，∴5a<2a，即53．(2020·陜西黃陵中學模擬)中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，后來用它表示上、下兩個底面均為矩形(不能全為正方形)、四條側棱的延長線不交于一點的六面體．關于“芻童”體積計算的描述，《九章算術》注曰：“倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一，”其計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為(B)A．eq\f(39,2) B．eq\f(75,2)C．39 D．eq\f(601,16)[解析]設下底面的長、寬分別為x，y，則2(x＋y)＝18，x＋y＝9，則x∈[eq\f(9,2)，9)．則“芻童”的體積為eq\f(1,6)×3×[2(6＋x)＋(2x＋3)y]＝eq\f(1,2)(30＋2xy＋y)＝eq\f(1,2)(－2x2＋17x＋39)＝－x2＋eq\f(17,2)x＋eq\f(39,2)，當x＝eq\f(9,2)時，“芻童”的體積取得最大值，最大值為eq\f(75,2)，故選B.4．已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]內的最大值為－5，則aA．eq\f(5,4) B．1或eq\f(5,4)C．－1或eq\f(5,4) D．－5或eq\f(5,4)[解析]f(x)＝－4(x－eq\f(a,2))2－4a，對稱軸為x＝eq\f(a,2)，①當eq\f(a,2)≥1，即a≥2時，f(x)在[0,1]上遞增，∴ymax＝f(1)＝－4－a2，令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．②當0<eq\f(a,2)<1，即0<a<2時，ymax＝f(eq\f(a,2))＝－4a，令－4a＝－5，得a＝eq\f(5,4).③當eq\f(a,2)≤0，即a≤0時，f(x)在[0,1]上遞減，∴ymax＝f(0)＝－4a－a2，令－4a－a得a＝－5或a＝1(舍去)，綜上所述，a＝eq\f(5,4)或－5.故選D.5．函數(shù)f(x)＝x2＋2x，若f(x)>a在區(qū)間[1,3]上滿足：①恒有解，則實數(shù)a的取值范