數(shù)學(xué)（廣東B卷） 2023年高考第二次模擬考試卷（全解全析）

2023年高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷

數(shù)學(xué)?全解全析

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知集合4={工,=2丫,了€1<},3={口,)，)僅=兀+1,%丫€1^},貝I]()

A.AB={1,2}B.A8={(1,2)}

C.A=B=RD.Ac\B=0

【答案】D

【解析】由題意可知集合4={巾=2*戶€用為數(shù)集,集合8={(x,y)|y=x+l,x,yeR}表示點(diǎn)集，

二者元素類型不同，所以Ac8=0,

故選：D.

2.

2.“a=I”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解Br]"2+i_(42+i)(l+i)_a2+/i+i-l_=-1、+1?

1-i-2-2-2+21'

22

。=1時(shí)±±1是純虛數(shù)，充分；￡口是純虛數(shù)，則。=±1,不必要.

l-i1-i

故選：A

3.已知等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和S,，若見(jiàn)+%+《4+45=40,則，6=()

A.150B.160C.170D.與％和公差有關(guān)

【答案】B

【解析】因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，所以4+%+44+%=2(4+46)=40，

所以q+%=20,所以九=」(a；%)=3|竺=if。.

故選：B

4.在平行四邊形ABCQ中，E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F在BE上，^AF=xAB+^AD,

貝叱=()

【答案】C

【解析】由題可知AE=|(AB+AO),

:點(diǎn)F在BE上,

：.AF=AAB+(\-X)AE,

..?”=(|+孫可鴻小。.

故選：C.

5.將5名學(xué)生志愿者分配到成語(yǔ)大賽、詩(shī)詞大會(huì)、青春歌會(huì)、愛(ài)心義賣4個(gè)項(xiàng)目參加志愿活動(dòng)，每名志愿

者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將5名大學(xué)生分為4組，有C；=10種分組方法,

②將分好的4組安排參加4個(gè)項(xiàng)目參加志愿活動(dòng)，有A：=24種情況,

則有10x24=240種分配方案;

故選：C.

6.已知點(diǎn)P是橢圓片十片=1上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為A、F,且COSN￡P(guān)K=

2,則△助巴的

94

面積為（）

A.6B.12C.V2D.2&

【答案】D

【解析】對(duì)于橢圓工+二=1有"=3,6=2,c=右，

94

設(shè)尸耳=〃i,尸片=〃，

則根據(jù)橢圓的定義得m+n=2a=6,

“廠+〃--(26)(加+〃)--2nm-20

乂cosN—P居=_3_6_-__2_n_m__-_2_0__1,

2mm2tnm2mm3

解得mn=6,

=

Szg2mnsinZF}PF2=

故選：D.

/、cos2a+—\

7.若且一―?=—71一~則u忸11#的最小值為（

)

cos1]-')sin(|+.5-cosa

A.上B.一更C.交D

101010-<

【答案】B

cos2a+一

[解析]由T-4]sin2a]

得一得一sin2a=tan/?,

sin(%sin/7cos尸

cos二為

tan/?-sin2a

sin2a2sincrcosa2tana_2

2-

因?yàn)?-cos2a5sin2a+4cos2a5tana+45tana+^_,

tana

因?yàn)樗詔ana>0,故5tana+，Nzjstana.，=4后，

\?)tanavtana

當(dāng)且僅當(dāng)5tana=」-,即tana=氈時(shí)，等號(hào)成立，

tana5

2V2=亞

故U44石-10，

5tana+----

tana

所以二in27之_@,所以.的最小值是一正,

5-cos%105-cos-a10

故選：B

8.己知函數(shù)/⑶，g(x)的定義域均為R,/*+1)是奇函數(shù)，且/(I—x)+g(x)=2,f(x)+g(x-3)=2,則

()

A./(x)為奇函數(shù)B.g(x)為奇函數(shù)

2020

C.Z/W=40D.Zg(Q=40

*=1hl

【答案】D

【解析】因?yàn)椤皒)+g(x—3)=2,所以〃x+3)+g(x)=2,又x)+g(x)=2,

則有〃x+3)=/(l—x),因?yàn)椤▁+l)是奇函數(shù)，所以=

可得/(尤+3)=-f(x+l),即有」(x+2)=-/(x)與〃x+4)=-f(x+2),

即〃x+4)=〃x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)，

故g⑺也是周期為4的周期函數(shù).

因?yàn)?〃T)"(X+2),所以〃-X)=〃X),所以〃x)為偶函數(shù).故A錯(cuò)誤;

由〃x+l)是奇函數(shù),則/⑴=0,所以/⑶=0,

又〃2)+〃4)=〃2)+〃())=0,

20

所以Zf(k)=5[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=0,所以c選項(xiàng)錯(cuò)誤；

"1

由"1)=0得g(o)=2,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)間⑵=2-〃5)=2-〃1)=2,

g(1)+g⑶=[2—〃4)]+[2—八6)]=4—"(4)+/(2)]=4,

20

所以g(O)+g⑴+g⑵+g(3)=8,所以Zg伙)=5[g(0)+g⑴+g⑵+g(3)]=40,

A=l

所以D選項(xiàng)正確.

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知函數(shù)/(x)=sin2x+J§cos2x,則()

A..f(x)的最小正周期為不

B./(x)的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)為(一看,0)

C./(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象向左平移方個(gè)單位得到

jr77r

D.在區(qū)間上單調(diào)遞減

【答案】ABD

【解析】對(duì)A,/(x)=sin2x+\/3cos2x=2sin2x4-y,

由周期公式可得7=三2IT=五,A正確；

對(duì)B,因?yàn)?[q)=2sin]-g+])=0,故[-/o]為對(duì)稱中心，B正確；

對(duì)C,g(x)=2sin2x的圖象向左平移展個(gè)單位得到y(tǒng)=2sin12x+JC錯(cuò)誤；

,_rit7兀1_兀「兀3兀

X']'D,'JXG—,—,2xH€一,—,

[1212」3|_22」

兀771

根據(jù)正弦函數(shù)X=sinx的圖象與性質(zhì)可知，/(X)在—單調(diào)遞減，故D正確.

故選：ABD.

10.設(shè)單位圓。與x軸的左、右交點(diǎn)分別為A、B,直線/：xcos0-ysin0+l=0(其中0＜。＜兀)分別與

直線x+l=0、x—1=0交于C、。兩點(diǎn)，則()

A.。=”時(shí)，/的傾斜角為[

36

B.兀)，點(diǎn)A、8到/的距離之和為定值

c.mew(o,兀)，使/與圓。無(wú)公共點(diǎn)

D.V6?e(o,7t),恒有OC_LO￡>

【答案】BD

【解析】依題意A(-l,0),5(1,0),

乂寸于A：當(dāng)。時(shí)直線/：xcos——ysin——4-1=0,BP—--x—y4-1=0，

33322”

所以直線/的斜率4=-且，所以直線/的傾斜角為等，故A錯(cuò)誤；

36

對(duì)于B：點(diǎn)A到直線/的距離4=/18S.+,=卜?os6+1|,

Vcos26>+sin26>

點(diǎn)B到直線/的距離d2=/=|cos^+l|,

vcos6+sirr6

所以點(diǎn)A、8至|J直線/的距離之和為4=kcos，+l|+|cos，+”,

因?yàn)椤（0,兀），所以cosde（-1,1）,所以d=-cos6+l+cose+l=2,

即對(duì)V6?0,兀），點(diǎn)A、B到直線/的距離之和為定值2,故B正確;

…1,

對(duì)于C：坐標(biāo)原點(diǎn)0到直線I的距離d0=-7=--------------=1,

Vcos"（9+sin2

所以直線/與單位圓相切，即直線/與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：對(duì)于直線/：xcos0-ysine+l=0,令廣-1,解得產(chǎn)二”"+!,

sin。

人.左力-cos^+1

令x=l,解得k工獷

1一cos6+n，cose+n

所以O(shè)C=1L笆。。=（1，安

Isin6JIsin0

「口、?八〃八八tcos0+1-COS0+1il-cos~0,sm~0?「山、|八二八

所以O(shè)COO=-1+---------------------------=-1+--------------=-1+——=0,所以O(shè)C_LO￡>，

sin。sin。sin0sin~0

即V8e（（U）,恒有OCJ_OD,故D正確;

故選：BD

11.下圖改編自李約瑟所著的《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》，用于說(shuō)明元代數(shù)學(xué)家郭守敬在編制《授時(shí)歷》時(shí)所做的

天文計(jì)算.圖中的AB，AC，BD，CO都是以。為圓心的圓弧，CMNK是為計(jì)算所做的矩形，其中M,N,

K分別在線段。￡>,OB,OA上，MN1OB,KNA.OB.記。=1408,/3=AAOC,y=NBOD,6=2C0D,

則（）

A.sin/?=sinycosSB.cos尸=cosycos5

sin§COS7COS(J

C.sina=--------Dcosa=-------------

COSPcos/

【答案】ACD

【解析】因?yàn)樵诰匦蜯NKC中，KN1MN.

又KN人OB,MNcOB=N,MN,OBu面BOD,所以MV1面

又ODu面3O￡>,所以

因?yàn)樵诰匦蜯NKC中，CM//KN,所以CM_LO￡),即

因?yàn)镸NLOB,KN1MN,KNcOB=N,KN,O8u面(MB,

所以MN_L面04B,

又在矩形MNKC中，MN//CK,所以CKL面043,

又。4u面。4B,所以CK_LQ4,

同時(shí)，易知在矩形MNKC中，CM=KN,CK=MN,

CK

對(duì)于A,在RjCKO中，sin/7=—,

MN

在Rt八MNO中，sin/=-----,

OM

在RtZXCMO中，cos5=^^,

.cMNOMMNCK.“MAI

WrrHrIUsm/cos^=--=sin/?,故A止確;

OMOCOCOC

OK

對(duì)于B,在RtCKO中，cos/?=—,

ON

在RtZ\A/NO中,cos/=,

又3sB二卷,且在RtKNO中,0K為RtK7VO的斜邊，則ONwOK,

GilCONOMONOK°口

yr以cos/coso=-------------=-----w------=cosp,古攵B錯(cuò)」天；

OMOCOCOC

KN

對(duì)于C,在RtKNO中,sin6z=——,

OK

在Rt^CWO中，sin(5=—,

p°OK丁

又cosB=-----w0,

OC

?,Sin5CMOCCMKN〃

===sinaIf

所以---~Q='7^，故C正確；

cospOCOKOKOK

ON

對(duì)于D,在RtKNO中，cosa=—,

OK

「DOK八ONcOM

又cos/=-----#0,cosy=------,cost)=------,

OCOMOC

°ONOKONcONOMON

所rrK以Icosacos/=-----------=-----,cosycosd=--------------=,

OKOCOCOMOCOC

一，ccCOS7COS(51,一J

JVfWCOScrcos/7=cosycos,即cosa=------------,故D正確.

cosp

故選：ACD.

⑵已知“。，e,-廣鬻恒成立，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若bw(0,e),則QW(0,+OO)B.a=]nb-]

1—Z7I

C.〃+方22怛成立D.?2的最大值為不

b-2e

【答案】ACD

【解析】對(duì)B,令/⑷=e"—：。一包單，則b>0,e"-：e4里恒成立等價(jià)為“0,恒成立.

bbbh

r(a)=e"-￡單調(diào)遞增，由/'(a)=0=a=l-ln〃，且

1-1吟,/⑷<0,f⑷單調(diào)遞減;ae(l-ln^+^),/,(a)>0,〃a)單調(diào)遞增.

X/(?)min=i/'(l-ln*)=^-^(l-lnZ>)-^^=0,：.a=\-\nb,B錯(cuò);

對(duì)A,Z?e(O,e),a=l-lnZ?G(0,+oo),A對(duì);

對(duì)C,a+b=\-\nb+b,=+(/?)=--+1,由g'(b)=0=>〃=l.

故b?0,l),g?)<0,g(A)單調(diào)遞減；。?1,+8),[伍)>0,g(3單調(diào)遞增.

故g(b)Ng⑴=2,C對(duì)；

對(duì)D,二^=竽，令〃(3=零,"㈤」一：，",由〃3)=0=>6=布.

故be(0,旬,g，e)>0,g(b)單調(diào)遞增；人€(百+。)名，修)<0,g(b)單調(diào)遞減.

故g(b)4g(V^)=瓦，D對(duì).

故選：ACD.

三、填空題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

2

13.在x+——y的展開式中，97的系數(shù)為

x

【答案】-720

2

【解析】由含尸的項(xiàng)中對(duì)應(yīng)。+±)4的指數(shù)分別為3,7,

所以4=C：°(x+》(一y)7,

對(duì)于(X+4)3中含X的項(xiàng)為c*2.±=2C\x,

XX

所以含孫7的系數(shù)是-C；°x2C；=-720.

故答案為：-720.

14.已知數(shù)列｛q｝滿足2。向=4+44”且4=1,5,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則$2。23=.

【答案】2026

4=---=___-____4

【解析［由2。向=4+4。T得一，則a"22-%__、=2--,

2-q二%

_2__424

則“鵬=一2==~=a",所以數(shù)列他“｝是以3為周期的數(shù)列，

2-4,

在2a“+|=4+中,令〃=2,得2%=4+a2a得2=4+4，得出=-2,

在2a“+|=4+a“a,”］中，令〃=1,^2a2=4+a,a2,得-4=4-2q,得q=4,

所以§2023=(4+%+/)+(4+%+&)++(02020+%)21+%022)+“2023

=674(4+%+4)+q=674(4-2+l)+4=2026.

故答案為：2026

15.在三棱錐P-ABC中，PALBC,BC=2PA=2AB=4,PC=2娓,點(diǎn)、M,N分別是PB,BC的中點(diǎn)，且

AMLPC,則平面4MN截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積是.

【解析】因?yàn)樯?=他，歷是尸8的中點(diǎn)，所以AMJLP8,

又AM_LPC,PBcPC=P,PB,PCu平面PBC,

所以4W_L平面PBC,又8Cu平面PBC,

所以AM_LBC,

又PA_L3C,PAcAM=A,PAA"u平面,

所以8CL平面以8,又PB,A8u平面附8,

所以8C_LA8,BC_LP8

在△ABC中，AB=2,BC=4,BC1AB,

所以AC=JAB2+8C2=2石,

在△%(7中，AC=2x/5,PA=2,PC=2限,所以AC?+24?=尸。2,所以A。，%,

取PC的中點(diǎn)O,又BCL尸B,AC_L用，

所以04=05=OC=OP,即點(diǎn)。是三棱錐P-ABC的外接球的球心，

因?yàn)镻C=2?,故外接球半徑為/?=#，

設(shè)。到平面AMN的距離為h,平面AMN截球。所得的截面圓的半徑為/?,

因?yàn)槭恰鱌8C的中位線，所以。到平面4WN的距離等于8到平面AA1N的距離,

故％-刖=%_麗=/一砌，即；xgxgx&fxh=；x2xgx&x垃,得〃=3叵，

32323

所以產(chǎn)=R2-/j2號(hào),

14

所以截面圓的面積為S="2=-7t.

14

故答案為：了兀，

16.已知雙曲線C：x2-y2=\,圓C2：(X-4)2+/=2,在G的第四象限部分取點(diǎn)P，過(guò)P作斜率為1的

直線/,若/與G交于不同的兩點(diǎn)M,N,則|加卜|取|的最小值為

【答案】5

【解析】設(shè)PE是圓G的切線，E為切點(diǎn),

圓G：(x-4y+)2=2的圓心為。2(4,0),半徑為近，

由圓的切割線定理可知：\PEf^\PM\-\PN\,

另一方面，山圓的切線性質(zhì)可知：|PE『=|PCj-(夜y=|pG『-2,

設(shè)直線/的方程為丫=犬+加，與圓c2的方程聯(lián)立，得

y=x+m

(4『22n2%2+(2/n-8)x+/+14=0=A=(2加一8)2-8(/M2+14)>0^>-6</H<-2,

直線/的方程為y=x+〃"與雙曲線C1：V-y2=i聯(lián)立，

—in2—1

(y=x+fn2/np(~~"—l)

|x2-y2=1_m2-in12w，2m)'

y-c

2tn

112(-m2-1Y(7772-1Y1(21-Q8,|PC|2=-+8,+，］+30

IF=n...4J”+」+32+8，〃+…2

1/iLm)乙\mm)乙\rrtj

令機(jī)+'=f,,

m

設(shè)g0)=*2+8f+30),

因?yàn)楹瘮?shù)〃，")=機(jī)+，在(-°0,T)上單調(diào)遞增，

m

所以函數(shù)/(刃)=〃7+，在-6＜機(jī)＜一2」二單調(diào)遞增，

375

故＜/(一2)=/￡(

62

g(f)=*+8r+30)=*+4y+14],

當(dāng)f=-4時(shí)，函數(shù)g(。有最小值，最小值為gxl4=7,

所以|PE『的最小值為7一2=5,

故答案為：5

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

17.（10分）

在銳角一45C中，內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分別為。，b,c

2

⑴若匕。=2accosB>證明:----------1-----------

tanAtanCtanB

（2）若a=2/?sinC,求tanAtanBtanC的最小值.

【解析】（1）因?yàn)榱χ?2occosb,所以sin?3=2sinAsinCeos8.

又sinB=sin（A+C）,所以sin（A+C）sinB=2sinAsinCcosi5,

所以（cosAsinC+cosCsinA）sinB=2cos3sinAsinC,

所以cosAsinCsinB+cosCsinAsinB=2cosAsinAsinC,

兩邊同時(shí)除以sinAsinBsinC可得警+筆2cos8

sinAsinesinB

2

所以言+氤

tanB

（2）因?yàn)閍=2Z?sinC,所以siti4=2sin8sinC,

所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,所以，tanB+tanC=2tanBtanC.

tanB+tanCtanB+tanC

又4ABe為銳角三角形,所以tan4=->0,

1-tanBtanCtanBtanC-1

所以tanBtanC>1,即

tanAtanBtanC=-tan（B+C）tanBtanC

tanB+tanC___2tan2Btan2C-

=-------------------tanntanC=-----------------

1-tanBtanCtanBtanC-1

令tanBtanC-1=r>0,則tanBtanC=f+l,

.「2Q+1）22?+4r+2（

tanAtanBntanC=----------=---------------=l2/+—l+4>8.

當(dāng)，=1,即tanBtanC=2時(shí)，tanB+tanC=4,tanA=4,

tanAtanBtanC的最小值為8.

18.（12分）

黨的二十大勝利召開后，某校為調(diào)查性別因素對(duì)黨史知識(shí)的了解情況是否有影響，隨機(jī)抽查了男女教職工

各100名，得到如下數(shù)據(jù)：

不了解了解

女職工3070

男職工2080

（1）根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)黨史知識(shí)的了解情況與性別有關(guān)？

⑵為了增進(jìn)全體教職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，該校組織開展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)并以支部為單位參加比賽現(xiàn)有

兩組黨史題目放在甲、乙兩個(gè)紙箱中，甲箱有5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，乙箱中有4個(gè)選擇題和3個(gè)填空題,

比賽中要求每個(gè)支部在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個(gè)支部先抽取一題作答，答完后題目不放回

紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個(gè)題目放回原紙箱中，若第一支部從甲箱中抽取

了2個(gè)題目，答題結(jié)束后錯(cuò)將題目放入了乙箱中，接著第二支部答題，第二支部抽取第一題時(shí)，從乙箱中

抽取了題目.已知第二支部從乙箱中取出的這個(gè)題目是選擇題，求第一支部從甲箱中取出的是2個(gè)選擇題的

概率.

附：八ntad-bcT

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0100.0050.001

%6.6357.87910.828

【解析】（1）零假設(shè)為“。：對(duì)?黨史知識(shí)的了解情況與性別無(wú)關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到/=喟黑就等Z667<7.879f5

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分的理由說(shuō)明不成立，則不能認(rèn)為對(duì)黨史知識(shí)的了解情況

與性別有關(guān);

（2）設(shè)事件A為"第二支部從乙箱中抽出的第1個(gè)題是選擇題”,

事件"為"第一支部從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題",

事件與為"第一支部從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題”,

事件紇為“第一支部從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”,

則與、鳥、紜彼此互斥，且耳B,=Q,

P⑻噌⑸=詈=京⑻+胃

尸（形”M（小2）］，尸（幽）q，

P(A)=P(B1)XP(A|B,)+P(B2)XP(>I|B2)+P(B3)XP(A|B3)

56155347

=—X—H---X—4---X—=一

所求概率即是4發(fā)生的條件下用發(fā)生的概率:

56

P(周力=絆?「(耳)”闖=基二型

v"7P(A)P(A)L49

12

19.(12分)

在加(加之2)個(gè)不同數(shù)的排列利與中，^\<i<j<m^Pi>Pj(即前面某數(shù)大于后面某數(shù))，則稱2與P,

構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列(〃+1)〃(〃-1)321的逆序數(shù)為

a,,如排列21的逆序數(shù)4=1,排列43排的逆序數(shù)%=6.

⑴求包，生，并寫出。”的表達(dá)式;

(2)令+證明2〃<4+4++hn<2w+3,"=1,2,

“〃+1"n

【解析】(1)根據(jù)題意得4=1+2+3+4=10,

%=1+2+3+4+5=15,故。4=I。,%=15,%=〃+(/2-1)++2+]=〃(〃+D.

⑵?"“=2+'=—+3>2、叵n+2_1_

-------=2,〃=1,2,

a”+ian〃+2〃vn+2n

/.b{+b2++bn>2n.

nn+222

又-----------1-----------2+----------=,

〃+2nnn+2

22

=2〃+3-------------------<2〃+3.

n+\n+2

綜上，2n<b}+b2+勿<2〃+3/=1,2,.

20.(12分)

在三棱錐P—ABC中，PA=PB,ZBAC=90°,M為棱3c的中點(diǎn).

R

(1)證明：ABLPM；

(2)若平面BAB_L平面ABC,PA=PB=&，AB=AC=2,E為線段PC上一點(diǎn)，2PE=EC,求點(diǎn)E到平

面附例的距離.

【解析】(1)取A8的中點(diǎn)為0,連OP,OM,因?yàn)?則。PIAfi；

又M為棱BC的中點(diǎn)，則QW為△ABC的中位線，所以0M〃AC,

因?yàn)閆BAC=90。，則AB1AC,則工。W：

由于OPcOM=O,OPu平面尸OM,OMu平面POM,

則"二平面尸。M,因?yàn)槭琈u平面POM,所以ABLPM.

(2)由(1)得。P上4},且平面平面ABC,平面E鉆平面ABC=AB,OPu平面R4B,

則QP_L平面45C,又ABJ.OM,

則以。為原點(diǎn)，OB,OM,0P所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻A=P8=&，AB=2,則/^+尸出=川^,則0p=i,

則P(O,O,1),A(T,O,O),M(0,1,0),C(-1,2,0),

I1?1

因?yàn)?P￡=EC,Wi]PE=-PC=

則PA=(-1,0,7),AM=(1,1,0),

設(shè)"=(x,y,z)為平面PA〃的一個(gè)法向量,

PAn=-x-z=0i

則〈，令x=l,則y=-l,Z=-1,得〃=(1,-1,一1),

AM?〃=x+y=0

又設(shè)點(diǎn)E到平面PAM的距離為d,

,121|

則八年4=三耳1]=及，

|n|69

則點(diǎn)E到平面PAM的距離為乎.

21.（12分）

設(shè)拋物線C:x2=2p)，(p>())的焦點(diǎn)為尸，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線C交于A8兩點(diǎn)，拋物線在AB兩點(diǎn)切線

交于點(diǎn)尸，當(dāng)直線AB垂直N軸時(shí)，,/A8面積為4.

(1)求拋物線的方程；

(2)若=求直線AB的方程.

【解析】⑴由x?=2py,得y吟,則有y'=",直線AB"軸時(shí)，不妨設(shè)《釁漲卜若

曲線C在點(diǎn)A處切線R4的斜率為左="=1,切線方程為：y=x-4,

P2

同理切線總的方程為：y=-x-g

聯(lián)立方程得尸5,/=/=4,則。=2,得拋物線的方程V=今

(2)設(shè)直線AB方程:y^kx+l,4(占,兇),8(%,%),

與拋物線方程聯(lián)立方程組得：/一46一4=0,則有占+々=44,工也=-4,

2

由丁=4>，得y=1,則有y'=3,所以號(hào)“?即L竽=-1,

424

切線AP方程：y=罟-今，切線3尸方程：丫=管-1，聯(lián)立得尸(2怎-1),

MkpB=-l,ZAPB=90,又/PAB=3NPBA,得NPAB-NPBA=45，

-1-11

又kpF=1丁=一］勺平?心8=7，所以PFLAB，

2kk

(必一?)"2+4

(y+1)(%+1)+4標(biāo)+4

2

_k?-xjJ4k2+4_士痛々+%)2-4中2-d4k。+4_±k(Sk+8)_+^_(

2