高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第2講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示習(xí)題 理 新人教A版-新人教A版高三數(shù)學(xué)試題

第五章平面向量第2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示習(xí)題理新人教A版基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.已知點(diǎn)A(1，3)，B(4，－1)，則與向量eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴與eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量為eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).答案A2.在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4，3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1，5)，則eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A.(－2，7) B.(－6，21)C.(2，－7) D.(6，－21)解析eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－3，2)，∵Q是AC的中點(diǎn)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(－6，4)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，7)，∵eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－6，21).答案B3.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4).若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.1 D.2解析∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3，4)，且(a＋λb)∥c，∴eq\f(1＋λ,3)＝eq\f(2,4)，∴λ＝eq\f(1,2)，故選B.答案B4.(2016·青島質(zhì)量檢測(cè))已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件解析由題意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要條件，故選A.答案A5.(2016·河南八市質(zhì)檢)已知點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，則向量eq\o(EM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)) D.eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))解析如圖，∵eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→)).答案C二、填空題6.若三點(diǎn)A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值為_(kāi)_______.解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7.(2015·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝____________.解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)8.(2016·昌邑一中模擬)已知A(－3，0)，B(0，eq\r(3))，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C在第二象限，且∠AOC＝30°，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______________.解析由題意知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3，0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－3λ，eq\r(3))，由∠AOC＝30°知，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，OC為終邊的一個(gè)角為150°，∴tan150°＝eq\f(\r(3),－3λ)，即－eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(\r(3),3λ)，∴λ＝1.答案1三、解答題9.已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，試問(wèn)：(1)t為何值時(shí)，P在x軸上？在y軸上？在第三象限？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形，若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解(1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，3)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(1＋3t，2＋3t).若點(diǎn)P在x軸上，則2＋3t＝0，解得t＝－eq\f(2,3)；若點(diǎn)P在y軸上，則1＋3t＝0，解得t＝－eq\f(1,3)；若點(diǎn)P在第三象限，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0，,2＋3t<0.))解得t<－eq\f(2,3).(2)若四邊形OABP為平行四邊形，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t＝3，,2＋3t＝3.))∵該方程組無(wú)解，∴四邊形OABP不能成為平行四邊形.10.如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知eq\o(AM,\s\up6(→))＝c，eq\o(AN,\s\up6(→))＝d，試用c，d表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).解法一設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則a＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b))，①b＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))＝c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a)).②將②代入①，得a＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a))))，∴a＝eq\f(4,3)d－eq\f(2,3)c＝eq\f(2,3)(2d－c)，③將③代入②，得b＝c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(2,3)(2d－c)＝eq\f(2,3)(2c－d).∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2c－d).法二設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.因M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，所以eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，因而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝b＋\f(1,2)a，,d＝a＋\f(1,2)b))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)（2d－c），,b＝\f(2,3)（2c－d），))即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2c－d).能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.(2016·長(zhǎng)沙調(diào)研)如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，則()A.x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B.x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C.x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D.x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)解析由題意知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，又eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).答案A12.(2016·南昌十校聯(lián)考)已知a＝(eq\r(3)，1)，若將向量－2a繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到向量b，則b的坐標(biāo)為()A.(0，4) B.(2eq\r(3)，－2)C.(－2eq\r(3)，2) D.(2，－2eq\r(3))解析∵a＝(eq\r(3)，1)，∴－2a＝(－2eq\r(3)，－2)，易知向量－2a與x軸正半軸的夾角α＝150°(如圖).向量－2a繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到向量b，在第四象限，與x軸正半軸的夾角β＝30°，∴b＝(2eq\r(3)，－2)，故選B.答案B13.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.解析以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1)，則A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1，1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3).∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2