明德概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

明德概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)匯報(bào)人：AA2024-01-20目錄CONTENTS概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)字特征與特征函數(shù)大數(shù)定律和中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念和方法01概率論基本概念不可能事件空集，不包含任何樣本點(diǎn)的事件。必然事件包含樣本空間中所有樣本點(diǎn)的事件，即S本身?；臼录话粋€(gè)樣本點(diǎn)的事件。樣本空間所有可能結(jié)果的集合，一般用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合，一般用大寫字母A、B等表示。樣本空間與事件在給定樣本空間S中，事件A發(fā)生的可能性大小，記作P(A)。概率定義非負(fù)性、規(guī)范性（必然事件的概率為1）、可加性（互斥事件的概率和等于它們并的概率）。概率性質(zhì)概率定義及性質(zhì)在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。如果事件A和B的發(fā)生互不影響，即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，則稱事件A和B是相互獨(dú)立的。條件概率與獨(dú)立性獨(dú)立性條件概率如果事件B1,B2,...,Bn是樣本空間S的一個(gè)劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，則對(duì)任意事件A，有P(A)=ΣP(Bi)P(A|Bi)。全概率公式在全概率公式的條件下，事件A發(fā)生時(shí)，Bi發(fā)生的概率是P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/P(A)。貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式02隨機(jī)變量及其分布定義隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。分類隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可列個(gè)，而連續(xù)型隨機(jī)變量的取值則充滿某個(gè)區(qū)間。隨機(jī)變量定義及分類離散型隨機(jī)變量的分布律描述了隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率。分布律定義常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量分布二項(xiàng)分布泊松分布二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。描述n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)X的分布，其中每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p。描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)X的分布，其中單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)為λ。離散型隨機(jī)變量分布律連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)描述了隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率分布情況。概率密度函數(shù)定義均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布描述隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間[a,b]內(nèi)等可能取值的分布。均勻分布描述隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔X的分布，其中時(shí)間間隔的平均值為1/λ。指數(shù)分布連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)的定義01設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，g(X)是X的函數(shù)，那么g(X)也是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布稱為隨機(jī)變量函數(shù)的分布。離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布02當(dāng)X是離散型隨機(jī)變量時(shí)，可以通過(guò)計(jì)算g(X)取各個(gè)值的概率來(lái)得到g(X)的分布律。連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布03當(dāng)X是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，可以通過(guò)求解g(X)的概率密度函數(shù)來(lái)得到g(X)的分布。在某些情況下，可以通過(guò)變換定理簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。隨機(jī)變量函數(shù)分布03多維隨機(jī)變量及其分布描述兩個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)取值的概率規(guī)律，即$P{X=x_i,Y=y_j}$。聯(lián)合分布律定義聯(lián)合密度函數(shù)定義性質(zhì)對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)$f(x,y)$描述了在任意一點(diǎn)$(x,y)$處取值的概率密度。非負(fù)性、規(guī)范性（全概率為1）、可加性。030201二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布律/密度函數(shù)

邊緣分布律/密度函數(shù)邊緣分布律定義一個(gè)隨機(jī)變量的取值與另一個(gè)隨機(jī)變量的取值無(wú)關(guān)時(shí)，該隨機(jī)變量的分布律稱為邊緣分布律，即$P{X=x_i}$或$P{Y=y_j}$。邊緣密度函數(shù)定義對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，邊緣密度函數(shù)是對(duì)聯(lián)合密度函數(shù)在某一維度上的積分，得到另一維度的概率密度函數(shù)。性質(zhì)邊緣分布律/密度函數(shù)反映了單個(gè)隨機(jī)變量的取值規(guī)律，與另一個(gè)隨機(jī)變量的取值無(wú)關(guān)。在已知一個(gè)隨機(jī)變量取值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的分布律稱為條件分布律，即$P{X=x_i|Y=y_j}$或$P{Y=y_j|X=x_i}$。條件分布律定義對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，條件密度函數(shù)是在已知一個(gè)隨機(jī)變量取值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。條件密度函數(shù)定義條件分布律/密度函數(shù)反映了在已知某些信息的情況下，隨機(jī)變量的取值規(guī)律。性質(zhì)條件分布律/密度函數(shù)性質(zhì)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之間沒(méi)有相互影響，一個(gè)隨機(jī)變量的取值不會(huì)影響另一個(gè)隨機(jī)變量的取值。定義如果兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律/密度函數(shù)等于各自邊緣分布律/密度函數(shù)的乘積，則稱這兩個(gè)隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。判定方法通過(guò)比較聯(lián)合分布律/密度函數(shù)與邊緣分布律/密度函數(shù)的乘積是否相等來(lái)判斷兩個(gè)隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立。相互獨(dú)立隨機(jī)變量04數(shù)字特征與特征函數(shù)方差的定義和性質(zhì)方差是描述隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望偏離程度的一個(gè)量，具有非負(fù)性質(zhì)、齊次性質(zhì)等。常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望和方差如二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布等，它們的數(shù)學(xué)期望和方差有特定的公式和性質(zhì)。數(shù)學(xué)期望的定義和性質(zhì)數(shù)學(xué)期望是概率論中描述隨機(jī)變量取值的“平均值”的一個(gè)量，具有線性性質(zhì)、單調(diào)性質(zhì)等。數(shù)學(xué)期望與方差123協(xié)方差用于描述兩個(gè)隨機(jī)變量的總體誤差，具有對(duì)稱性、線性性質(zhì)等。協(xié)方差的定義和性質(zhì)相關(guān)系數(shù)是描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性相關(guān)程度的一個(gè)量，具有取值范圍在[-1,1]之間、對(duì)稱性、無(wú)量綱性等性質(zhì)。相關(guān)系數(shù)的定義和性質(zhì)如多元正態(tài)分布的性質(zhì)、回歸分析中的變量選擇等。協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩是描述隨機(jī)變量分布形態(tài)的一個(gè)量，包括原點(diǎn)矩和中心矩，具有可加性、齊次性等性質(zhì)。矩的定義和性質(zhì)協(xié)方差矩陣是用于描述多個(gè)隨機(jī)變量之間相關(guān)關(guān)系的一個(gè)矩陣，具有對(duì)稱性、正定性等性質(zhì)。協(xié)方差矩陣的定義和性質(zhì)特征函數(shù)是描述隨機(jī)變量概率分布的一個(gè)函數(shù)，包括特征函數(shù)和逆特征函數(shù)，具有唯一性、可加性等性質(zhì)，可用于推導(dǎo)隨機(jī)變量的各階矩和概率分布。特征函數(shù)的定義和性質(zhì)矩、協(xié)方差矩陣和特征函數(shù)05大數(shù)定律和中心極限定理03應(yīng)用大數(shù)定律在保險(xiǎn)、金融、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如用于評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)、計(jì)算保費(fèi)和預(yù)測(cè)疾病發(fā)病率等。01含義大數(shù)定律是描述隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的定理，即在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的頻率會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定值。02種類常見(jiàn)的大數(shù)定律有伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律和切比雪夫大數(shù)定律等。大數(shù)定律中心極限定理是描述大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布近似于正態(tài)分布的定理，即當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，樣本均值的分布會(huì)趨近于正態(tài)分布。含義常見(jiàn)的中心極限定理有林德伯格-列維中心極限定理、德莫弗-拉普拉斯中心極限定理等。種類中心極限定理在統(tǒng)計(jì)學(xué)、質(zhì)量控制、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如用于假設(shè)檢驗(yàn)、置信區(qū)間估計(jì)和調(diào)查數(shù)據(jù)分析等。應(yīng)用中心極限定理06數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念和方法研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，具有共同的分布規(guī)律?？傮w從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得出的量，用于描述樣本特征或推斷總體參數(shù)。統(tǒng)計(jì)量總體、樣本和統(tǒng)計(jì)量抽樣分布樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布，描述了樣本統(tǒng)計(jì)量在多次抽樣中的分布情況。性質(zhì)抽樣分布具有無(wú)偏性、一致性和有效性等性質(zhì)，保證了基于樣本的統(tǒng)計(jì)推斷的可靠性。抽樣分布及性質(zhì)參數(shù)估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)用樣本統(tǒng)計(jì)量的某個(gè)值作為總體參數(shù)的估計(jì)值，如樣本均值、樣本方差等。區(qū)間估計(jì)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)置信區(qū)間，以一定概率包含總體參數(shù)的真值。VS先對(duì)總體參數(shù)