小學(xué)奧數(shù)題庫《數(shù)論》質(zhì)數(shù)與合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)5星題（含解析）全國通用版

數(shù)論-質(zhì)數(shù)與合數(shù)-分解質(zhì)因數(shù)-5星題

課程目標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

分解質(zhì)因數(shù)C1、了解質(zhì)因數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)的定少考

義。

2、可以熟練對(duì)一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因

數(shù)。

3、能夠運(yùn)用分解質(zhì)因數(shù)來解決因倍

質(zhì)合的相關(guān)問題。

知識(shí)提要

分解質(zhì)因數(shù)

?定義分解質(zhì)因數(shù)是指把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來。如：

100=2x2x2x5x5

?分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。=「￡XPgXP如?…

?分解質(zhì)因數(shù)的方法短除法

精選例題

分解質(zhì)因數(shù)

1.三個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的分母分別是6,15和20,它們的乘積是!，那么在這三個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)中，

最大的數(shù)是.

【答案】I-

【分析】設(shè)這三個(gè)真分?jǐn)?shù)分別為募募其中。不含因數(shù)2和3：壞含因數(shù)3和5；c不含因數(shù)2和

5,且a力,c均為非。自然數(shù).

依題意：:乂舐捻=1，abc=60=22x3x5,所以a=5,b=4,c=3.

所以最大數(shù)為:I

2.四位數(shù)雙成成雙的所有因數(shù)中,有3個(gè)是質(zhì)數(shù)，其它39個(gè)不是質(zhì)數(shù).那么，四位數(shù)成雙雙成

有個(gè)因數(shù).

【答案】12

【分析】雙成成雙共有3+39=42個(gè)因數(shù),且有3個(gè)質(zhì)因數(shù)，所以它的質(zhì)因數(shù)分解形式為

雙成成雙=&xb2xc6,

而________

雙成成雙..

=雙00雙+

=雙X1001+成X110

=11、（雙X91+成乂10）

所以三個(gè)質(zhì)因數(shù)中有一個(gè)是11,所以雙成成雙=axb2xc?至少是

11x32X26=6336,

稍微大一點(diǎn)點(diǎn)就是

11X52X26=17600,

已經(jīng)是五位數(shù)了，所以雙成成雙=6336,雙=6,成=3所以

成雙雙成=3663=32X11X37,

有3X2X2=12個(gè)因數(shù).

3.對(duì)于自然數(shù)N,如果在19這九個(gè)自然數(shù)中至少有六個(gè)數(shù)可以整除N,那么稱N是一個(gè)“六合

數(shù)"，那么在大于2000的自然數(shù)中，最小的“六合數(shù)”是.

【答案】2016

【分析】六合數(shù)肯定是1的倍數(shù)，所以剩余8個(gè)數(shù)中有5個(gè)可以整除六合數(shù)，29中有4個(gè)奇數(shù)，

4個(gè)偶數(shù)，所以5個(gè)可以整除六合數(shù)的數(shù)字中至少有1個(gè)偶數(shù)，所以六合數(shù)也肯定是2的倍數(shù)。

大于2000的偶數(shù)有2002,2004,2006,2008,2010,2012,2014,2016,……

2002=2X7X11X13,只能被1,2,7整除，不是六合數(shù)；

2004=22X3>167,只能被1,2,3,4,6整除,不是六合數(shù);

2006=2X1003,只能被1,2整除，不是六合數(shù)；

2008=23X251只能被1,2,4,8整除，不是六合數(shù)；

2010=2X3X5X67,只能被1,2,3,5,6整除，不是六合數(shù)；

2012=22X503,只能被1,2,4整除，不是六合數(shù)；

2014=2X1007,只能被1,2整除，不是六合數(shù)；

2016=25X32X7,能被1,2,3,4,6,7,8,9整除，是六合數(shù).

4.9,逋都是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，并且它們的乘積是不那么x+y+z=.

【答案】21

【分析】

xyz1

_7___xz___—_

91514-61

6xyz=9x15x14,

xyz=3x3x5x7,

X與9互質(zhì)，X不含因數(shù)3；

y與15互質(zhì)，y不含因數(shù)3,5;

z與14互質(zhì)，z不含因數(shù)7；

并且x,y,z均不能為1〔否那么，必有假分?jǐn)?shù)出現(xiàn)），所以y=7,x=5,z=9,

x+y+z=7+5+9=21.

5.兩數(shù)乘積為2800,而且己知其中一數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)比另一數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)多1,那么這兩個(gè)數(shù)分

別是、.

【答案】16、175

【分析】先將2800分解質(zhì)因數(shù)：28OO=24X52X7,由于其中一數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)比另一數(shù)的因

數(shù)個(gè)數(shù)多1,所以這兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)的因數(shù)為奇數(shù)個(gè)，這個(gè)數(shù)必為完全平方數(shù).又是2800的

因數(shù)，故這個(gè)數(shù)只能為22、2\52、2?x52或24x52,另一個(gè)數(shù)相應(yīng)地為2?x5?x7、

52x7、24x7、22x7或7.經(jīng)檢驗(yàn)，只有兩數(shù)分別為24和5?x7時(shí)符合條件，所以這兩個(gè)數(shù)

分別是16和175.

6.假設(shè)2017,1029與725除以d的余數(shù)均為r,那么d-r的最大值是.

【答案】35

【分析】(1)2017-1029=988,1029-725=304,因?yàn)?017,1029與725除以d的余數(shù)均

為r,所以d|988,d|304,d是988和304的公約數(shù).

(2)988=22X13X19,304=24X19,所以d可以是2,4,19,38,76.

⑶經(jīng)檢驗(yàn)2017,1029與725除以76的余數(shù)依次為41,41,41；2017,1029與725除以38

的余數(shù)依次為3,3,3；(2017,1029與725除以2的余數(shù)均為1,2017,1029與725除以4的

余數(shù)均為1,2017,1029與725除以19的余數(shù)依次為3,3,3；)

(4)d-r的最大值是35.

7.小于200且與200互質(zhì)的所有自然數(shù)的和是.

【答案】8000

【分析】200分解質(zhì)因數(shù)得200=23x52,所以小于200且與200互質(zhì)的數(shù)不能有質(zhì)因數(shù)2或者

5.而200以內(nèi)2的倍數(shù)有2、4、6、…、198,和為

2+4+??-+198=9900;

200以內(nèi)5的倍數(shù)有5、10、15、…、195,和為

5+10+-+195=3900;

既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)有10、12、…、190,和為

10+20+-+190=1900;

所以所求數(shù)和為

1+2+3+-+199-9900-3900+1900=8000.

8.有20個(gè)約數(shù)，且被42整除最小的自然數(shù)是.

【答案】336

【分析】因?yàn)楸?2整除，所以一定含有質(zhì)因數(shù)2,3,7.

20=lx20=2x10=4x5=2x2x5,

有20個(gè)約數(shù)的自然數(shù)有：因?yàn)楸仨毢?個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，所以最小的只能是：

2x2x2x2x3x7=336;

所以有20個(gè)約數(shù)且被42整除的最小自然數(shù)是336.

9.能夠被1到11的所有自然數(shù)整除的最小自然數(shù)為.

【答案】27720

【分析】1到11這11個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后所包含的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11,因此這個(gè)自然數(shù)最少

包含質(zhì)因數(shù)2、3、5、7、11.

1=I1,2=21,3=31，4=22,5=51，6=2x3,

7=71，8=23,9=32,10=2x5,11=II1,

所以這個(gè)自然數(shù)最小為

23x32x51x71xII1=27720

10.所有70的倍數(shù)中，共有多少個(gè)數(shù)恰有70個(gè)因數(shù)？

【答案】6

【分析】設(shè)70的N倍恰有70個(gè)因數(shù).70=2X5X7,有：

(1+1)x(1+1)x(1+1)=23=8,因?yàn)?不整除70,所以N內(nèi)可能有2、5、7.假設(shè)有4個(gè)

不同質(zhì)因數(shù)，但70只能表示為2X5X7,所以N內(nèi)必含2、5、7中幾個(gè)，即

70/V=2a+1x5z,+1x7c+1,(a+1+1)X(b+1+1)X(c+1+1)=70,&力,(7分別是0,3,

5中一個(gè).N^23X53,23X73,25X23,25X73,53X75,55X73,一共6組.

11.請(qǐng)將2、5、14、24、27、55、56、99這8個(gè)數(shù)分成兩組，使得這兩組數(shù)的乘積相等.

【答案】第一組：27、55、56、2；第二組：5、14、24、99.

【分析】要使所分的2組的乘積相等，就要使得2組的乘積的質(zhì)因數(shù)完全一樣，將它們分解質(zhì)因

數(shù)有2=2；5=5；14=2X7；24=23X3；27=33；55=5X11；56=23x7；

99=32X11.

現(xiàn)在要將其分為兩組，假設(shè)為第一組與第二組.

根據(jù)題意，考慮第一組.

如假設(shè)27在第一組，那么24與99均應(yīng)在第二組；

從質(zhì)因數(shù)11可以看出，55應(yīng)在第一組.

從質(zhì)因數(shù)5可以看出，5應(yīng)在第二組；

現(xiàn)在第一組有：27、55；

第二組有：5、24與99；

從質(zhì)因數(shù)2可以看出，56應(yīng)在第一組；

從質(zhì)因數(shù)7可以看出，14應(yīng)在第二組，那么2應(yīng)在第一組.

所以第一組有數(shù)：27、55、56、2；第二組有數(shù)：5、14、24與99.

12.在等差數(shù)列1,8,15,22,29,36,43,…中，如果前n個(gè)數(shù)乘積的末尾。的個(gè)數(shù)比前幾+1個(gè)數(shù)乘積的

末尾。的個(gè)數(shù)少3個(gè)，那么n最小是多少？

【答案】107

【分析】末尾0是由因子2和因子5的乘積得到的.數(shù)列中因子2的個(gè)數(shù)足夠多，因此第n+1個(gè)

數(shù)應(yīng)為53的倍數(shù)，并且除以7余1.滿足條件的最小數(shù)為750.而(750-1)+7+1=108,因此

n最小是107.

13.把假設(shè)干個(gè)自然數(shù)1、2、3、……連乘到一起，如果這個(gè)乘積的最末53位恰好都是零，那么

最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少？最大是多少？

【答案】224

【分析】1到1。的乘積里會(huì)出現(xiàn)2X5和10兩次末尾添零的情況，估算從200開始，是

40+8+1=49個(gè)0,還要擴(kuò)大至220時(shí)再增加4個(gè)0,所以最小的數(shù)應(yīng)該是220,而最大應(yīng)該是

224.

14.老師告訴貝貝和晶晶一個(gè)小于5000的四位數(shù).這個(gè)四位數(shù)是5的倍數(shù).貝貝計(jì)算出它與5!的

最小公倍數(shù)，晶晶計(jì)算出它與10!的最大公約數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)貝貝的計(jì)算結(jié)果恰好是晶晶的5

倍.請(qǐng)問：這個(gè)四位數(shù)是多少？

【答案】3000

【分析】設(shè)所求四位數(shù)為小那么n的質(zhì)因數(shù)都小于10,不然【風(fēng)5!]中有這個(gè)質(zhì)因數(shù)，而5,10!)

中沒有這個(gè)質(zhì)因數(shù)，那么不可能是5倍關(guān)系.

設(shè)71=2。*36*5。、7",那么

[2ax36x5Cx7d,23x3x5]=5x(2。x3。x5。x7d,28x34x52x7).

比擬各個(gè)質(zhì)因數(shù)的次數(shù)，有：34a48,14匕44,c=3,04d《l.所以n最小是

23X3X53=3000,第二小是6000,因?yàn)閚小于5000,所以n是3000.

15.一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，將其千位與個(gè)位數(shù)字調(diào)換后形成新的四位數(shù)，新四位數(shù)

與原數(shù)的最大公約數(shù)是63,那么原四位數(shù)可能是多少？

【答案】1638、8631、2709、9702

【分析】設(shè)這個(gè)四位數(shù)為麗(a40,dRO),那么千位與個(gè)位數(shù)字調(diào)換后形成的新數(shù)是

礪.直接分析最大公約數(shù)不好分析，先令礪>礪，然后分折63|旃-礪，位值原

理展開化簡(jiǎn)得631999("d),所以7|a-d,可能的情況有｛馨器登

接下來先尋找的和斕中能被63整除的數(shù)，利用整除判定的方法很容易得出8631、9702和

9072這三個(gè)數(shù)符合，下面分別驗(yàn)證.8631=3?X7X137,1638=2X32X7X13,

9702=2X32X72X11,2709=32X7X43,9072=24X34X7,2079=33X7X11,只

有(8631,1638)和(9702,2709)這兩組符合.注意到這些是在礪>礪的前提下得到的，根

據(jù)對(duì)稱性，原四位數(shù)為8631、1638、9702、2709.

16.有一個(gè)自然數(shù)，它的個(gè)位是零，并且它有8個(gè)因數(shù)，這個(gè)數(shù)最小可能是多少？

【答案】30

【分析】因數(shù)個(gè)數(shù)定理：8=1X8=2X4=2X2X2,分解質(zhì)因數(shù)后：a7、ab\abc,因?yàn)?/p>

這個(gè)自然數(shù)的個(gè)位是零，因此必有質(zhì)因數(shù)2和5,因此可能是23x51或2Ix3ix51，比擬可知

最小的數(shù)是21x3]>51=30.

17.用1、2、3、4、5、6這6個(gè)數(shù)字各一次組成兩個(gè)三位數(shù)4和2請(qǐng)問：4B、630這三個(gè)數(shù)

的最大公約數(shù)最大可能是多少？最小公倍數(shù)最小可能是多少？

【答案】最大公約數(shù)最大可能是21,最小公倍數(shù)最小可能是6930.

【分析】(1)這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)也是630的約數(shù)，630=2X32X5X7.由于

1+2+3+4+5+6=21,所以不可能組成兩個(gè)都是9的倍數(shù)的三位數(shù)；由于只有1個(gè)5,所

以不可能組成兩個(gè)都是5的倍數(shù)的三位數(shù)，因此該最大公約數(shù)至多為2X3X7=42,可能為21

或6等.

假設(shè)最大公約數(shù)為3的倍數(shù)，那么由同余法知兩個(gè)三位數(shù)的三位除以3的余數(shù)分別是0、1、2；

假設(shè)還為7的倍數(shù)，嘗試可知231和546、315和462等都滿足條件；而無法再滿足為2的倍數(shù)，

所以最大公約數(shù)為21.(或者枚舉出123~654之間所有有符合題意的42的倍數(shù)也可以看出沒

有符合題意的，進(jìn)一步枚舉出123?654之間所有符合題意的21的倍數(shù)即可找出符合的情

況).

(2)解法一：枚舉最小公倍數(shù)為630、630X2、630X3、…的情況.

假設(shè)最小公倍數(shù)為630,那么4、B均為630的三位約數(shù)，630的三位約數(shù)是105、126、210、

315、630,沒有符合題意的.

假設(shè)最小公倍數(shù)為630X2,那么4、8均為630的三位約數(shù)，630X2的三位約數(shù)是105、126、

140、180、210、252、315、420、630,沒有符合題意的.

假設(shè)最小公倍數(shù)為630X11,那么4、8均為630的三位約數(shù)，630X11的三位約數(shù)是105、

110、126、154、165、198、210、231、315、330、385、462、495、630、693、770、

990,其中315和462符合題意.(當(dāng)然這組數(shù)在(1)中出現(xiàn)時(shí)分解質(zhì)因數(shù)過的話，這種情況

就可以直接寫出來了.相信絕大多數(shù)在(2)中打算按這個(gè)方式來做的人都會(huì)提前分解一下

231和546、315和462,同時(shí)一般多問的題目的前面問題的解決對(duì)后面問題會(huì)有幫助.)

所以最小公倍數(shù)最小可能為630Xll=6930.

解法二：1~6這六個(gè)數(shù)字的分組有10種情況，分別為(123,456)、(124,356)、(125,346)、

(126,345)、(134,256)、(135,246)、(136,245)、(145,236)、(146,236)、(156,234),每一種

分組中的兩個(gè)三位數(shù)又各自有六種可能性，分別枚舉這些情況，即可找到想要的答案.由于我

們已經(jīng)知道315和462這組可以讓最小公倍數(shù)小到630X11,所以枚舉其他組的時(shí)候只要看能

不能使得最小公倍數(shù)更小即可.

對(duì)于(123,456),由于123這邊的數(shù)字較小，所以考慮123的變化.123含41；

132=22x3x11,最小公倍數(shù)最小也是630X22；213含71；231=3x7x11,可能使得最

小公倍數(shù)是630X11；312含13；321含107.由于沒有1個(gè)可以使得最小公倍數(shù)比630X11更

小，所以(123,456)這種情況排除.

同理，分別驗(yàn)證其他情況，發(fā)現(xiàn)最小公倍數(shù)最小只能到達(dá)630X11.

18.我們將具有如下性質(zhì)的自然數(shù)K稱為“高思數(shù)"：如果一個(gè)整數(shù)M能被K整除，那么把M的各

位數(shù)字按相反順序重寫時(shí)所得到的數(shù)也能被K整除，請(qǐng)求出所有的“高思數(shù)”.

【答案】1、3、9、11、33、99

【分析】易知，1必為“高思數(shù)〃；因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)反序重寫數(shù)字和不變，所以3、9為“高思數(shù)”；

因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)反序重寫奇位和與偶位和之差也不變，所以11為“高思數(shù)"，由整除規(guī)律，33、99

也是“高思數(shù)”.除此之外，感覺是沒有了，下面給出證明.

引理(可以看做是先證明一個(gè)小結(jié)論)：對(duì)于任意的不含2或5的正整數(shù)凡形如1、11、111、

1111、…的數(shù)中一定有無數(shù)個(gè)是兀的倍數(shù).

1,11,111,1111,-,H-1

證明：由于”+1個(gè)1這兀+1個(gè)數(shù)中一定存在2個(gè)數(shù)關(guān)于“同余，那么這兩個(gè)數(shù)的

11-100-011--1

差一定是n的倍數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)的差是形如邱1邱。的數(shù)，說明邱1是”的倍數(shù)，同理可得

這里面有無數(shù)個(gè)數(shù)是兀的倍數(shù).

首先說明“高思數(shù)”的個(gè)位數(shù)字只能是1、3、7、9.因?yàn)?，“高思?shù)”肯定不是偶數(shù)，否那么肯

定能得到它的某個(gè)倍數(shù)的首位是1,那么這個(gè)偶數(shù)就無法整除這個(gè)倍數(shù)的反序數(shù).同理，“高思

數(shù)"的個(gè)位數(shù)字也不能是5.所以“高思數(shù)”的個(gè)位數(shù)字只能是1、3、7、9.

Kill…1KI77…7

假設(shè)K是“高思數(shù)”，根據(jù)引理得一定存在某個(gè)自然數(shù)”吏得陛1,那么評(píng)7,進(jìn)一步得

K\77-l00-0+77-1K\77-78477-7K\77-74877-7

悴7(LT)個(gè)。抨7,即分個(gè)7(/-?個(gè)7,利用“高思數(shù)”的性質(zhì)得個(gè)7a-力個(gè)7,

K\77-78477-7-77-74877-7K|9900-0

利用整除的性質(zhì)得力個(gè)7?-W(Lt)個(gè)7(L乃個(gè)7,即(b力個(gè)0.因?yàn)椤案咚紨?shù)”的個(gè)

位數(shù)字只能是1、3、7、9,所以“高思數(shù)”分解質(zhì)因數(shù)后一定不含質(zhì)因數(shù)2和5,故K|99,所以

K只可能是1、3、9、11、33、99,經(jīng)驗(yàn)證這6個(gè)都是“高思數(shù)〃，至此己求出所有的“高思

數(shù)”.

19.三個(gè)聰明的初中生聚在一起玩一個(gè)推理游戲.小強(qiáng)和小花各選了一個(gè)自然數(shù)并分別將它告

訴小安，小安告訴小強(qiáng)和小花，他將分別把兩個(gè)數(shù)的和與乘積寫在不同的紙上.小安寫好后，

將其中一張紙藏起來，把另一張紙亮出來給小強(qiáng)和小花看（這張紙上寫著2008）.小安請(qǐng)小

強(qiáng)和小花互猜對(duì)方所選的數(shù)，小強(qiáng)首先宣稱他無法確定小花所選的數(shù)，小花聽完小強(qiáng)的話后，

也說她無法確定小強(qiáng)所選的數(shù).請(qǐng)問：小花所選的數(shù)是多少？

【答案】1004

【分析】首先小強(qiáng)和小花肯定都沒有選0,否那么一看就知道2008是和，就能知道對(duì)方的

數(shù).設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為強(qiáng)和花，首先，很明顯強(qiáng)12008,否那么立刻盼斷出2008是和，

花=2008-強(qiáng)，此時(shí)小強(qiáng)是因?yàn)闊o法確定2008是和還是積導(dǎo)致無法判斷出小花的數(shù).同理，

花12008.

此時(shí)小花也知道了強(qiáng)12008,小花會(huì)這樣進(jìn)行推理：如果2008是積，那么與的情況都符合：如

果2008是和，那么由強(qiáng)12008知2008-花12008,如果2008-花不能整除2008,小花立刻就知

道2008不是和，是積，就能知道小強(qiáng)的數(shù).由于實(shí)際上小花無法確定小強(qiáng)的數(shù)，說明花12008

的同時(shí)2008-花12008.而2008=23x251,枚舉出它所有的約數(shù)：1、2008、2、1004、4、

502、8、251,經(jīng)檢驗(yàn)只有1004符合，所以小花所選的數(shù)是1004.

/20092009X11

20.計(jì)算（旃而一而匐X麗（結(jié)果表示為循環(huán)小數(shù)）.

【答案】0.00000002011009

1..1.

【分析】由于而而5=0.00001,99990=0.00001,

所以^5-^90=O.OOOOi-o.ooooi=0.00000000900991,

而900991=7X13X9901=91X9901,

所以，

（20092009111

199900—99990/X9901

11

=0.00000000900991X2009X——

9901

=0.00000000000091x11x2009

=0.00000000001001X2009

=0.00000002011009.

21.是否存在一個(gè)完全平方數(shù)，它的每一位上的數(shù)字都完全相同（至少是兩位數(shù)）？如果存

在，請(qǐng)寫出一個(gè)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】不存在.

【分析】不存在.

利用平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能是0、1、4、5、6、9,可以直接排除掉很多情況.

利用完全平方數(shù)只能是4k或4k+1,把4k+2（全6）和4k+3（全1、全5、全9）的排除，還

剩全4.

由于44…4=22x1…1,且全1不是完全平方數(shù)，所以全4也不是完全平方數(shù).

22.有3個(gè)自然數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)都不能被另外兩個(gè)數(shù)整除，而且其中任意兩個(gè)數(shù)的乘積都能被

第三個(gè)數(shù)整除.請(qǐng)問：滿足上述條件的3個(gè)自然數(shù)之和最小是多少？

【答案】31

【分析】先證明這3個(gè)數(shù)每個(gè)都至少含有2種質(zhì)因數(shù).

證法一：假設(shè)這三個(gè)數(shù)為人B、C,其中A只有一種質(zhì)因數(shù)p,那么B不可能只有質(zhì)因數(shù)p,否

那么B和4必定是倍數(shù)關(guān)系，同理，C也不可能只有質(zhì)因數(shù)p.

根據(jù)CI4B,假設(shè)C有除p以外其他質(zhì)因數(shù)q,可以得到同理，C所有除了p以外的質(zhì)因數(shù)都

是8的質(zhì)因數(shù)；再根楣B|C4同理得，B所有除了p以外的質(zhì)因數(shù)也是C的質(zhì)因數(shù)，那么B、C必

定是倍數(shù)關(guān)系，與題意矛盾.所以這3個(gè)數(shù)中不可能出現(xiàn)只含1種質(zhì)因數(shù)的數(shù)，即每個(gè)都至少含

有2種質(zhì)因數(shù).

證法二：假設(shè)這三個(gè)數(shù)為人B、C,其中4只有一種質(zhì)因數(shù)p,設(shè)4=p".因?yàn)榇˙C,所以乘積

BC中一定含有質(zhì)因數(shù)p；但4不能整除B,也不能整除C,說明B、C中都含有p,且次數(shù)都低于

a；又B不能整除4,C也不能整除4所以艮C中都含打除了P以外的質(zhì)因數(shù)，設(shè)B=?xp〃，

C=%xp",其中。b表示B分解質(zhì)因數(shù)后不包含p的局部，氣同理.

因?yàn)锽IZC,所以。疝c；同理,因?yàn)镃IAB,所以。。同，說明。c=?,那么B和C是倍數(shù)關(guān)系，與題

意矛盾.所以這3個(gè)數(shù)中不可能出現(xiàn)只含1種質(zhì)因數(shù)的數(shù)，即每個(gè)都至少含行2種質(zhì)因數(shù).

假設(shè)這三個(gè)數(shù)里一共恰有2種質(zhì)因數(shù)，最小為2和3,最小符合題意的情況是22x3?、2X33、

23X3,和為36+54+24=114；

假設(shè)這三個(gè)數(shù)里一共恰有3種質(zhì)因數(shù)，最小為2、3、5,最小符合題意的情況是2X3、2X5、

3x5,和為6+10+15=31；

假設(shè)這三個(gè)數(shù)里一共恰有4種質(zhì)因數(shù)，最小為2、3、5、7,在不考慮題意的情況下，3個(gè)不同

的各含兩種質(zhì)因數(shù)的數(shù)最小是2X3、2X5、2X7,和為30,但這組不符合題意，很明顯如果

要符合題意，和肯定大于31；

假設(shè)這三個(gè)數(shù)里一共恰有5種質(zhì)因數(shù)，最小為2、3、5、7、11,在不考慮題意的情況下，3個(gè)

不同的各含兩種質(zhì)因數(shù)的數(shù)最小是2X7、2X11、3X5,和為51,大于31；

很明顯，當(dāng)含有的質(zhì)因數(shù)種類再增多時(shí)，三個(gè)數(shù)的和肯定都大于31；

綜上，滿足上述條件的3個(gè)自然數(shù)之和最小是31.

23.一個(gè)特殊的圓形鐘表只有一根指針?，指針每秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為連續(xù)自然數(shù)數(shù)列.現(xiàn)在設(shè)定指

針第一秒轉(zhuǎn)動(dòng)角度為a度3為小于360的整數(shù)），那么其第二秒轉(zhuǎn)動(dòng)a+1度，第三秒轉(zhuǎn)動(dòng)

a+2度……如果指針在第一圈內(nèi)恰好能指回出發(fā)位置，那么a一共有幾種設(shè)定方法？最小可以

被設(shè)定成多少？

【答案】5種;15度.

【分析】設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)了兀次，由題目條件得

a+(a+1)+(a+2)+■??+(a+n-1)=na+nX(n-1)-r2=360,

進(jìn)一步整理得

2na4-nx(n-l)=nx(2a+n—1)=720=24x32x5.

當(dāng)九=1時(shí)，a=360(舍去).

當(dāng)n=3時(shí)，Q=119.

當(dāng)ri=5時(shí)，a=70.

當(dāng)n=9時(shí)，a=36.

當(dāng)n=15時(shí),a=17.

當(dāng)n=16ft寸，a=15.

因此a一共有5種設(shè)定方法.最小可以被設(shè)成15度.

24.一個(gè)正整數(shù)，它分別加上75和48以后都不是120的倍數(shù)，但這兩個(gè)和的乘積卻能被120整

除.這個(gè)正整數(shù)最小是多少？

【答案】117

【分析】先將120分解質(zhì)因數(shù)120=23x3x5,設(shè)這個(gè)數(shù)為4,依題意得后來的兩個(gè)數(shù)分別是

A+75和4+48,這兩個(gè)數(shù)相差(4+75)-(A+48)=27.

因?yàn)?7是3的倍數(shù)，所以4+75和4+48除以3的余數(shù)相同；因?yàn)?4+75)(4+48)是120的倍

數(shù)，所以4+75和4+48都是3的倍數(shù).

因?yàn)?7不是5的倍數(shù)，所以4+75和4+48中只有1個(gè)是5的倍數(shù)；因?yàn)?7和8互質(zhì)，所以

4+75和4+48中只有1個(gè)是8的倍數(shù)；又因?yàn)?+75和4+48都不是120的倍數(shù)，所以不可能

有一個(gè)數(shù)既是5的倍數(shù)也是8的倍數(shù)，說明4+75和4+48中一個(gè)是5的倍數(shù)，另一個(gè)是8的倍

數(shù).

綜上，4+75和4+48中一個(gè)是15的倍數(shù)，另一個(gè)是24的倍數(shù).

假設(shè)4+75是15的倍數(shù).4+48是24的倍數(shù)，那么很明顯4既是15的倍數(shù)又是24的倍數(shù)，最小

是120；

假設(shè)4+75是24的倍數(shù)，4+48是15的倍數(shù)，那么3所以人最小是1”.

所以這個(gè)正整數(shù)最小是117.

25.有一些正整數(shù)，它可以表示成連續(xù)20個(gè)正整數(shù)的和，而且當(dāng)把它表示成連續(xù)正整數(shù)之和

(至少2個(gè))的形式時(shí)，恰好有20種方法.請(qǐng)問：這樣的正整數(shù)最小是多少？(寫出質(zhì)因數(shù)分

解)

【答案】2X36X