小學(xué)奧數(shù) 優(yōu)等生培養(yǎng)教程 數(shù)學(xué) 9級 五年級奧賽練習(xí)題

小學(xué)奧數(shù)

優(yōu)等生培養(yǎng)教程9級

目錄

第1講分數(shù)乘除........................................................1

第2講分數(shù)加減........................................................8

第3講棋盤中的數(shù)學(xué)...................................................12

第4講枚舉法.........................................................18

第5講排列組合初步.................................................21

第6講質(zhì)數(shù)與合數(shù)進階................................................26

第7講列方程組解應(yīng)用題..............................................30

第8講牛吃草問題.....................................................35

第9講數(shù)陣圖綜合.....................................................40

第10講比和比例......................................................45

第11講比例模型......................................................51

第12講分組與配對....................................................56

第13講容斥原理......................................................60

第14講必勝策略......................................................65

第15講因數(shù)與倍數(shù)初步................................................69

第16講循環(huán)小數(shù)......................................................74

第17講鳥頭模型基礎(chǔ)。................................................80

第18講分數(shù)應(yīng)用題....................................................86

第19講電梯與發(fā)車....................................................91

第20講神奇的9.............................................................................................................96

第21講蝴蝶模型.....................................................100

第22講排列組合進階.................................................106

第23講工程問題初步.................................................111

第24講圖形計數(shù)綜合.................................................115

答案與提示............................................................120

第1講分數(shù)乘除

前鋪知識:第五種運算整數(shù)與數(shù)列

本講內(nèi)容：

1.分數(shù)的意義、分類、基本性質(zhì)及約分。

2.分數(shù)乘除基本運算，分數(shù)約分技巧。

1.1分數(shù)的意義及帶分數(shù)與假分數(shù)互化

還有9瓶水、1個大蛋糕和4個面包，我們?nèi)齻€人分，每個人可以分到多少？

■■■■■J...

知識剖析

1.分數(shù)的定義

分數(shù)的來歷:在進行測量、分東西或計算時，往往不能正好得到整數(shù)結(jié)果，這時我們就需要用分數(shù)來表

示。（錚錚過生日，要把生日蛋糕平均分給5個小朋友，那么每個人得到多少蛋糕？）

單位1:把整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數(shù)來表示。一個整體可以用自然數(shù)“1”

來表示，通常把它叫做單位“1”。

分數(shù)與分數(shù)單位:把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。分母表示把一個

物體平均分成幾份，分子是表示取了幾份的數(shù)。表示其中一份的數(shù)叫做分數(shù)單位。

2.分數(shù)與除法

1

被除數(shù)+除數(shù)

,在分數(shù)中，分子就相當于除法中的被除數(shù)，分母相當于除法中的除數(shù)，由

于除數(shù)不能為0,因此分母也不能為0。

分數(shù)既可以當作一個計算結(jié)果，一個數(shù)值，也可以當作是一個除法運算。

知識剖析

3.分數(shù)的分類:真分數(shù)、假分數(shù)和帶分數(shù)。

分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。

分子比分母大或分子與分母相等的分數(shù)叫作假分數(shù)。

可以把一個假分數(shù)化成一個整數(shù)和一個真分數(shù)加在一起，這樣的分數(shù)叫作帶分數(shù)。

例1

在括號內(nèi)填上合適的數(shù)。

（1）如圖1—1所示，用分數(shù)表示下面各陰影部分。

W1-1

（2）將單位“1”平均分為3份，取其中的1份，用分數(shù)表示為（），這個分數(shù)的分子是

（）,分母是（），它的分數(shù)單位是（）。

4

（3））表示的意義是將單位“1”平均分成（）份，取其中的（）份。

（4）五年級有男生18人，女生25人，男生人數(shù)占全班人數(shù)的（）。

（5）一根鐵絲長7米，將其平均分成10段，每段占全長的（），每段長（）米。

分析：把單位“1”平均分為若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。想想每小問的單位“1”都被

平均分成了多少份，又取了其中的幾份呢？

例2（1）將下面的分數(shù)填入合適的方框中。

2

421212182_

?I127'TTTT14

1311

(2)因為13+3=4……1,所以一=4+-=4一。仿照此形式，把下列假分數(shù)化為帶分數(shù)或整數(shù)。

433

1123152631

VTTI?17

311

(3)因為2X4+3=11,所以2—=一。仿照此形式，把下列帶分數(shù)化為假分數(shù)。

44

分析：例如：分數(shù)當b<a時，是真分數(shù)；當bea時，是假分數(shù)。而類似(其中a為不為0的

aaab

自然數(shù)，c<b)的分數(shù)稱為帶分數(shù)。帶分數(shù)與假分數(shù)的互化關(guān)系如下：

練習(xí)1

把下面的帶分數(shù)化成假分數(shù)，把假分數(shù)化成帶分數(shù)。

7.513.2261(X)

-1——2-3------

467579

1.2分數(shù)乘除

歐拉:要想把一根7米長的繩子三等分該怎么辦呢？

3

7

艾迪：想要用我們以往學(xué)習(xí)的整數(shù)和小數(shù)去表達都很難，于是他采用了一種新的方法，每段長1米，我

們把這樣的數(shù)叫作分數(shù)。

薇兒:用分數(shù)來表達份數(shù)真是方便，我們來算一算吧！

早在2000年前的秦漢時期，中國就出現(xiàn)了分數(shù)的表現(xiàn)形式，不過當時并沒有使用分數(shù)線，也沒有使用

阿拉伯數(shù)字。直到200多年前，在瑞士數(shù)學(xué)家歐拉的《通用算術(shù)》中，才出現(xiàn)了標準的分數(shù)表達方式。

知識剖析

1.分數(shù)的基本性質(zhì)

分數(shù)的分子和分母同時乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。

2.約分與最簡分數(shù)

根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，分子分母同時乘或除以一個非零數(shù)，分數(shù)大小不變。我們把分子分母同時除以一

個不是1的公因數(shù)，那么會得到一個大小不變，但分子分母都比較小的分數(shù)。這就叫約分。

無法再約分化簡的分數(shù)叫做最簡分數(shù)。

例3

（1）如圖1—2所示，為三個同樣大小的長方形被平均分成若干份，請在圖下括號內(nèi)分別寫出陰影部分

占總面積的幾分之幾，并比較三個陰影部分的面積是否相等？

（2）我們學(xué)過商不變的性質(zhì)：被除數(shù)、除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。請你類推:分數(shù)

的分子和分母同時乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小（填“變大”、“變小”或“不

變”）。這就是分數(shù)的基本性質(zhì)。

22x2488324

（3）根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，我們可以寫出如下的式子：二二丁二=二，—=

33x262020+210

仿照上面的形式,在下面的括號內(nèi)填入合適的數(shù)。

4_4x2_894_4+2_22__J

5-()x2-()4()14()+2()27()

4

(4)根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，我們把分子分母同時除以一個不是1的公因數(shù)，那么會得到一個大小不

變，但分子分母都比較小的分數(shù)。將其化成分子和分母只有公因數(shù)I的形式(最簡分數(shù))，叫做分數(shù)化簡。

44-22

例如：一=—=一，請將下列分數(shù)化成最簡分數(shù)。

1010+25

642612146

1520II142116

分析：利用分數(shù)的基本性質(zhì)：2=包巳=2二幺(其中叫n均不為0)細心地算一下吧。

aama-^n

練習(xí)2

將下面的分數(shù)化成最簡分數(shù)。

4108921

10151612

例4計算下面各題。

2124,2u3

(1)—X——X—4x—5x—

3557711

3253u7s5

(2)一X———X——5x—12x—

891210106

23351343

(3)2-x-3-x-3-xl—2-x3-

345671157

分析：利用分數(shù)的乘法法則運算。注意能約分的先約分，做乘法時如果有帶分數(shù)要先化為假分數(shù)。

例5

(1)先計算，再觀察每個式子中兩因數(shù)的分子和分母有怎樣的關(guān)系？

324333x1

—X——X-

23341121343

(2)觀察下面算式:

377737757

除以一個數(shù)等于乘它的倒數(shù)。

512-2020-5-12203-12'

5

例如:

Aa4Hb4x22

=+亍=范x3=「？=:，仿照此題，計算下列各式。

5101x33

4^15325

1二_1二91--2-5—-13

3413^265312

分析：分數(shù)除法要化成乘法再計算。除以色要化成乘人。

bb

開放試題

參照圖形填空，講出每個算式代表的意義。

2()()

—X—二一

34()

筆記整理

1.分數(shù)的概念

把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。

2.分數(shù)與除法的關(guān)系

分子就相當于除法中的被除數(shù)，分母相當于除數(shù)。由于除數(shù)不能為0,因此分母也不能為0。

3.假分數(shù)與帶分數(shù)互化

4.分數(shù)的基本性質(zhì)

分數(shù)的分子和分母同時乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。

5.分數(shù)乘法

分數(shù)乘整數(shù):分母不變，分子乘整數(shù)，分母和整數(shù)可以先約分。

分數(shù)乘分數(shù):分母乘分母，分子乘分子，能約分的先約分。

6.分數(shù)除法

倒數(shù):乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，一般情況下是分子和分母位置對調(diào)。

6

0沒有倒數(shù)（因為0不能做分母）。

分數(shù)的除法:除以一個數(shù)等于乘它的倒數(shù)。

本講鞏固

1如圖1—3所示用分數(shù)表示圖中陰影部分的面積占整體面積的幾分之幾。

圖1-3

2把下面的帶分數(shù)化成假分數(shù)，把假分數(shù)化成帶分數(shù)。

13.1.325

—j-Z——

6547

3將下面的分數(shù)化成最簡分數(shù)。

12151215

962030

3107_」9

4計算:-X......-—x18=1—X—二

821938

511393八3

5計算:—+—=一~7~------l-x2-

61()81684

7

第2講分數(shù)加減

前鋪知識:第五種運算整數(shù)與數(shù)列

本講內(nèi)容：

1.同分母分數(shù)的加減運算。

2.通分及異分母的加減運算。

2.1同分母分數(shù)加減

就讓我們來幫大寬算一算他還有多少要做吧？

讓我們一起來練一練吧，其實古人有很多的巧算都可以使用哦。

知識剖析

同分母分數(shù)加減:分母不變，分子相加減，結(jié)果要化成最簡分數(shù)。

424+26717-161

例1己知:一+_=----==一;仿照上述式子，計算下列各式。

7777121212122

12311

(1)--1—=---1-----

5588

10674

(2)—+—=——H—=

7799

J?373

(3)1——2-=3—+2

771111

12,111

(4)5---=1411

991414

分析：同分母分數(shù)相加減，分母不變，分子相加減。在計算帶分數(shù)加減法時，可以將帶分數(shù)化成整數(shù)與真分

數(shù)的和。

6448J2

例2⑴1-+3-=4--F2—=+1—=

77991717

22—3,4-2工=

4—3—=10—

(2)77991111

分析：帶分數(shù)相加減時，注意可能會出現(xiàn)“進位”以及“借位”的情況。

8

練習(xí)1

“l(fā)lc7

4——+2—

1515

2.2異分母分數(shù)加減

知識剖析

1.通分

把異分母分數(shù)分別化為和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)的方法。

2.異分母分數(shù)加減

分母不同，分數(shù)單位不同，不能直接相加減。需要先通分，化為分母相同的分數(shù)，再分子相加減。同樣，結(jié)

果要化成最簡分數(shù)。

例3(1)利用分數(shù)的基本性質(zhì)，將下面分數(shù)的分母均化成60。

22_5_

456

(2)利用分數(shù)的基本性質(zhì)，將下面的分數(shù)化成分母相同的分數(shù)。

468

分析：通分就是利用分數(shù)的基本性質(zhì)，將分子與分母擴大相同的倍數(shù)。通過通分可以將異分母的分數(shù)化成同

分母的分數(shù)。

111x21x323531_929-27

例4已知:---1---=---------1--------=----1---=o仿照上述式子，計算下列各

323x22x366646-12n

式。

52

(1)1———I—=

45------------69------------

2375

(2)=

35―46

9

、.4J,3°1

(3)3一■1-5—=6—+3——=

73510

u11c6cl

(4)5———=3——2—=

分析：異分母分數(shù)的加減法，需要先化成同分母分數(shù)再計算。

例5計算：

11112373

(1)—+-+—(2)—+—+—+—+—

23679797

⑶9±上-3》(4)3。5嗎斗自

56658<78；7

分析：在分數(shù)的加減混合運算中，可以先看看有沒有同分母的，把同分母分數(shù)湊在一起，再計算會簡單很

多。加法交換律、結(jié)合律在分數(shù)計算中同樣適用。

練習(xí)2

3J35>,,3

8<118J11

開放試題

看圖列式，講講其中的道理。

3

O

10

筆記整理

1.同分母分數(shù)加減

分母不變，分子相加減。結(jié)果要化成最簡分數(shù)。

2.異分母分數(shù)加減

分母不同，分數(shù)單位不同，不能直接相加減。需要先通分，化為分母相同的分數(shù)，再分子相加減。同

樣，結(jié)果要化成最簡分數(shù)。

3.整數(shù)中的運算律對于分數(shù)同樣適用

(1)a+b-b+a

(2)(a+b)+c=a+0+c)；(a-b)-c=a-(b+c)

(3)ax(b+c)=axb+axc

本講鞏固

45*3；

I計算:1T+11T

2215

2計算：2*+3±=_______15--3-=

33-------66

3將下面的分數(shù)化成的分母相同的分數(shù)。

62_

51015

71

4計算：9—+6—=5--4-

96124

5計算:；+|+%g

11

第3講棋盤中的數(shù)學(xué)

前鋪知識:奇數(shù)與偶數(shù)抽屜原理初步

本講內(nèi)容：

1.棋盤中圖形覆蓋問題。

2.黑白相間染色在路徑問題、操作類問題中的應(yīng)用。

3.1棋盤中圖形覆蓋問題

中國象棋歷史悠久，早在戰(zhàn)國時期就己經(jīng)流傳開了。象棋中共有將(帥)，象(相)，士，車，馬，

炮，卒(兵)七種不同的棋子。基本的規(guī)則是:馬走日，象飛田，車走直路炮翻山。所有的棋子都要走在棋盤

的交叉點上，棋盤的中間有一條長長的楚河漢界。

哼，我也知道！不僅如此，我還知道國際象棋的棋盤是黑白間隔的8X8棋盤，馬還是會走一個“日”

字！考考你，一個馬最少要幾步才能回到原來的地方？

知識剖析

1.棋盤中的數(shù)學(xué)

主要是利用染色技巧，結(jié)合數(shù)論知識(奇偶性等)，進行推理回答“能”或“不能”的問題。其中最常

見的是黑白相間染色方法。

2.黑白相間染色問題的解決方法

(1)黑白間隔染色。

(2)結(jié)合奇偶性判斷是否可行。

(3)若不行，說明原因；若可行，構(gòu)造出可能的情況。

(注意:黑白相間染色只能論證“不能”，即用來證否。若黑白相間染色的方法判斷可行，則需要找出可

行的方案才能說明“能”。)

例1(1)一種骨牌是由形如應(yīng)二的一黑一白兩個方格組成的，則下列選項中哪些棋盤不能用這種骨牌不

重復(fù)地完全覆蓋？()

A.2x2B.1x5C.2x4D.5x5E.7x3

⑵如圖3—1所示，(1),(2),(3),(4)四個圖形中，可以用若干個:匚一和口一拼成的圖形

12

是________

（3）如圖3—2所示，是由14個大小相同的方格組成的圖形。試問能不能剪裁成7個1x2的長方形！i?

圖3-2

分析：圖形能否覆蓋的前提是一定要面積相等。面積不相等，一定不能覆蓋；面枳相等，就需要用其他方

法分析它能否覆蓋。分析的時候，類似國際象棋棋盤的黑白相間染電就是最常用的一種方法。

練習(xí)1

如圖3—3所示，你能把下面的圖形分成7個1義2的長方形?一嗎？動手畫一畫。

圖3-3

例2如圖3—4所示，是把一張6X6的方格紙去掉兩個角所得的圖形。

（1）請把所有的格子涂上黑、白兩色之一，使得每個1X2小長方形（不論橫豎）的2個方格中都恰有1個

黑格和1個白格。

（2）能否用1X2的小長方形恰好拼滿這個圖形？

（3）將去掉的兩個角填滿，能否用9個形如的卡片拼成一個6X6的棋盤？

13

分析：黑白相間染色后，計算要覆蓋圖形的黑白格數(shù)目，再思考卡片能蓋起來的黑白格數(shù)目，兩者若不吻

合，則一定不能覆蓋。

3.2黑白相間染色的應(yīng)用

例3(1)如圖3—5所示，是某套房子的平面圖，共12個房間，每相鄰兩個房間都有門相通。請問:你能

從某個房間出發(fā)，不重復(fù)地走完每個房間嗎？

圖3?5

(2)有一次車展共有5X5=25個展室，如圖3—6所示，每個展室與相鄰的展室都有門相通，入口和出口

位置如圖所示。參觀者能否從入口進去，不重復(fù)地參觀完每個展室再從出口出來？

入口*

A出口

圖3-6

分析:

(D將房間的平面圖想象成國際象棋棋盤，每次一定是黑到白，再白到黑。能走成功，則黑白格數(shù)目相同

或差1o

(2)黑白相間染色后，觀察入口和出口的顏色，此時黑白格數(shù)目應(yīng)該有什么關(guān)系？符合題意嗎？

例4(1)如圖3—7所示，是國際象棋棋盤的一部分，棋盤左下角的格中放有一個馬。眾所周知，馬是走

14

“日”字的（如箭頭所示）。請問：這個馬能否不重復(fù)地走遍棋盤上的每一個格，最后停在右上角的格中？

（2）如圖3—8所示是象棋棋盤的一部分，棋盤上放有一個馬。眾所周知，馬是走“日”字的。請問：這個

馬能否不重復(fù)地走遍棋盤上的每一個點，然后再回到出發(fā)點？

圖3-8

（3）如圖3—9所示，是連接14個城市的道路圖。是否有一條路線可以經(jīng)過每一個城市恰好一次？

圖3-9

分析：（1）、（2）雖然馬不是挨著格走的，但馬走的路線卻也是黑到白，或白到黑的。它的規(guī)律與本講前

面的題沒有太多的區(qū)別。

（3）城市的遍歷不同于一筆畫問題，一筆畫是所有的路線都要走一次，而這題是每個點都要走一次。把城

市當成房間，是不是和例3中走房間的問題很類似呢？

練習(xí)2

如圖3—10所示，能否在圖中找出一條路線，使每個點都經(jīng)過，且只能經(jīng)過一次。

15

例5如圖3-11所示，把有公共邊的兩格內(nèi)的數(shù)同時加上1或同時減去1叫做一次操作。經(jīng)過有限次操作

后由左圖變?yōu)橛覉D，那么右圖中A處的數(shù)是.

圖3-11

分析

方法一:數(shù)字不是很大，實際操作一下，很容易得到答案。

方法二:將表格黑白相間染色，黑格內(nèi)所有的數(shù)之和記為M,白格內(nèi)所有的數(shù)之和記為N.每次操作后，M,N

同時加1或減1。那么，M,N的差是不變的。

開放試題

了解一下國際象棋的歷史和游戲規(guī)則，想一想和我們學(xué)習(xí)的棋盤中的數(shù)學(xué)有什么聯(lián)系？你可以在棋盤上

最多擺多少個馬，同時又不讓它們互不攻擊?

本講鞏固

1.如圖3-12所示，能否用若干個形如“n和“日”的圖形恰好不重不漏地覆蓋住下圖？如果

能，畫出拼接圖；如果不能，試說明原因。

圖3-12

2.能否用1個“田”字拼成一個8X8的正方形棋盤？

3.有一次車展共有6X6=36個展廳，如圖3—13所示，每個展室與相鄰的展室都有門相通，入口和出口位

置如圖所示。參觀者能否從入口進去，不重復(fù)地參觀完每個展室再從出口出來？

16

圖3-13

4.如圖3—14所示，能否沿此圖上的線畫出一條線，使得每個節(jié)點都恰好經(jīng)過一次？

圖3-14

5.如圖3—15所示，將數(shù)字0?9填在圓上的10個圓圈中，每次相鄰的兩個圓圈內(nèi)的數(shù)同時加1或減1叫作

一次操作。經(jīng)過若干次操作后變成右圖，則右圖中“？”處的數(shù)應(yīng)填多少？

17

第4講枚舉法

前鋪知識：幾何計算初步加乘原理進階

本講內(nèi)容：

1.分類枚舉，有序枚舉。

2.整數(shù)分拆。

三個雜技演員踩著高蹺造表演傳球，先從第一個人開始傳球，經(jīng)過5次傳遞，球又回到第一個手中。你

知道他們可以有多少種傳遞方法嗎？認真學(xué)習(xí)下面的知識，就可以解決這個問題了。

知識剖析

在數(shù)學(xué)問題中，有一些計算總數(shù)或種類的問題，很難用傳統(tǒng)的方法去解答。對此，我們可以先估計其總

數(shù)的大小，若數(shù)目不大，就可以按一定的順序一一列舉問題的可能情況；若數(shù)目過大，我們也可以以適當?shù)?/p>

標準，把問題分成有限類，在每一類中，再分別采用枚舉法，最終達到目的。

因此，枚舉時要想做到不重不漏，就需要分好類，排好序。

例1如圖4-1所示。從點A沿線段走到點F,要求只能沿箭頭的方向行走，則共有—―種不同的走

法。

分析：只有6個點和一些路線圖，用樹形圖試試吧。

例2A,B,C三個人練習(xí)傳球，開始時球在A手中，經(jīng)過3次傳球后，球不在A手中的傳法共有一

種。

分析：注意傳球不能傳自己，最后求落在B或C手中，據(jù)此換出樹形圖嘗試枚舉。

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練習(xí)1

有些四位數(shù)的各位數(shù)字均取自0,1,2,3(可重復(fù))，并且任意相鄰兩位數(shù)字(大減小)的差都是1,

如1012,1232,3210等。問這樣的四位數(shù)共有多少個？

4.2整數(shù)分拆

例3(1)10塊水果糖全部分給艾迪和薇兒，每人至少份一塊，共有種不同的分法。

(2)艾迪分到4塊糖，他想每天至少吃1塊，最多三天吃完，共有________種不同的吃法。

(3)薇兒分到6塊糖，她想每天知道吃2塊，直到吃完，共有種不同的吃法。

分析：

(1)相當于把10拆成兩個正整數(shù)相加，注意是兩個人，故10=1+9和10=9+1是不同的拆法。

(2)最多三天，表示可以一天吃完，也可以兩天吃完，還可以三天吃完。分類考慮一下吧。

(3)薇兒最多吃3天，依然要按天數(shù)分類枚舉。

三道題均為枚舉中的有順序的情況。有序時。a+b與b+a是兩種不同的分法。

例4

(1)將10個蘋果分成兩堆，共有_______種不同的分法。

(2)將10個蘋果分成三堆，共有種不同的分法。

分析：

(1)堆與堆之間不作區(qū)分，例如：10=1+9和10=9+1是相同的拆法。

(2)^1^:10=1+3+6=1+6+3=3+1+6=3+6+1=6+14-3=6+3+1,均視為一種拆法，通常只計算

10=1+3+6這一種情況，即aWbWc的情況。

練習(xí)2

將12塊水果糖分成三堆，每堆至少2塊，共有種不同的分法。

例5有長度分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9的線段各一條，從中選出若干條來組成正方形。那么有多

少種不同的選法？

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分析：所有長度之和為45,則邊長不會超過11,分別枚舉邊長為11,10,9.......的情況即可。

開放試題

生活中很多地方都在用枚舉法:如去飯店點菜，用遙控器選電視節(jié)目等。想一想，生活中還有什么例子其

實也是在用枚舉法呢？

筆記整理

枚舉法的核心:分類，有序。

枚舉常用的方法:列表法、樹形圖。

本講鞏固

l.A,B,C三個小品演員互相傳球，先從A開始發(fā)球（作為第一次傳球），這樣經(jīng)過了5次傳球后，球恰巧

又回到A手中，那么不同的傳球方式共多少種？

2.一個學(xué)生假期去A,B,C三個城市游覽（不一定全游覽到）。他今天在這個城市，明天就到另一個城市。

假如他第一天在A市，第五天又回到A市。問他的游覽路線共有幾種不同的方案？

3.從1?8中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？

4.袋中有3個紅球，4個黃球和5個白球，小明從中任意拿出6個球，他拿出球的情況共有種可能

（同種顏色的球視為相同的球）。

5.長度分別為1,2,3,4,5,6,7的小棍各一根，取出其中的若干根，有種不同的取法可以拼成

等邊三角形。

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第5講排列組合初步

前鋪知識:加乘原理初步加乘原理進階

本講內(nèi)容：

i.排列與組合的公式及區(qū)別。

2.排列組合的綜合運用。

5.1認識排列和排列數(shù)

我正在召集大臣進諫父親，讓他收回焚書坑儒的命令！每天有3位大臣進諫，要保證每天進諫的3位大臣都

不完全一樣，那一個月至少需要多少位大臣呢？

這不就是組合問題嗎？仁=35,最接近且大于30,所以7為大臣就足夠了！

知識剖析

一、排列與排列數(shù)

一般地，從n個不同元素中任意取出m(mWn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫作從n個不同元

素中取出m個元素的一個排列。特別地，n個不同元素全部取出一個排列，叫作n個元素的一個全排列。所

以排列的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m和元素的排列數(shù)，記作A：'。

二、排列數(shù)公式

1.排列數(shù)公式:4"=〃(〃一1)(〃一2)…(〃一機+1)。推導(dǎo)如下：

從n個不同的元素中任取m個元素的排列數(shù)可以分成m個步驟來計算。

第一步，從n個元素中選出一個放入第一個位置，有n種方法；

第二步，從剩下的n—l個元素中選出一個放入第二個位置，有n—1種方法；

第三步，從剩下的n—2個元素中選出一個放入第三個位置，有n—2種方法；

第m步，把剩下的n—m+1個元素選出一個放入第m個位置，有n—m+1種方法。

(注意:之所以第m步時有n—m+1個候選元素，同學(xué)們可以用以前學(xué)過的間隔問題自己計算一下。)

由乘法遠離，共有n(n—1))(n—2)(n-m+1)種方法。

2.全排列數(shù)公式:這時公式中m=n,即有A；=n(n—l)(n—2)…2Xl=n!

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就是說，n個不同元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積。正整數(shù)1到n的乘積，叫作n

的階乘，用n!表示。假如:4!=4X3X2X1=24。

特別規(guī)定:0!=1。

例1(1)從5名同學(xué)A,B,C,D,E中要選3人站成一排，可以有多少種不同的站隊方式呢？我們可以

這樣思考:第一步，第一個位置有個人可以選；當?shù)谝粋€位置站好人后，第二個位置只有個

人可以選；當前兩個位置站好人后，第三個位置就只有______個人可以選了。由乘法原理可知，共有

種可能的站法。即6=。

(2)計算:

&=6=一6+A：=5閥=一一一

3X4!=_____

分析：排列其實是由乘法原理得到的，在A,；中，n表示從哪個數(shù)開始乘，m表示共有多少個數(shù)相乘。假如：

息就表示從5開始乘，共有2個數(shù)相乘，即&=5x4。

例2(1)5個同學(xué)排成一列，共有種不同的排隊方式；如果從5個人中選出2人排成一列，共有

不同的排隊方式。

(2)6份不同的禮物分給6名同學(xué)，每個同學(xué)得一個，共有_______種不同的分法。

(3)用0,1,2,3,4可以組成個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。

分析：用排列時，至少滿足“有序”這一條件。排隊，分不同禮物及數(shù)位都是有序的。

練習(xí)1

某停車場還有6個停車位，現(xiàn)在有4輛車要停進去，共有種不同的停車方式。

5.2認識組合和組合數(shù)

知識剖析

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1.組合與組合數(shù)

一般地，從n個不同元素中任意取出m(mWn)個元素合成一組，不計較組內(nèi)各元素的順序，叫作從n

個不同元素中取出m個元素的一個組合。所有組合的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合

數(shù)，記作。

2.組合數(shù)公式:C；="(〃-1)(匕2"("二"+1)。推導(dǎo)如下：

m!

要求從n個元素中任選m個元素的排列數(shù)，可分兩步。

第一步，先從n個元素中選出m個元素。注意，此處僅僅是選出來，而不進行排隊，因此就是種方

法：

第二步，再把選出的這m個元素作一個排列，有種方法。

所以，4"=?加=>c：=緞=〃("]]"2)-.(〃一+1)

mlm!

(2)組合數(shù)的其他常用公式：

①C：=c：=i

②C：=C：:

這個可以這樣形象地理解:從n個學(xué)生中選出m個學(xué)生去參加數(shù)學(xué)競賽的方法數(shù)，與從這n個學(xué)生中選

出(n-m)個學(xué)生不去參加數(shù)學(xué)競賽的方法數(shù)是一樣多的。

當n比較大，且"2>/時-，直接計算是很麻煩的，我們可以轉(zhuǎn)而計算C："。假如，

C—()。

例3(1)C；=,=；c；=,C；=:C；=,C；=；C；=

,或=；你有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？c：C："。

(2)c：+c：=c；+c：=c,+cl=c；—G=

c：Y=Gy=

分析：組合是無序的。從n個同中選出m個同學(xué)站起來的方法數(shù)與選出(n-m)個同學(xué)坐下的方法數(shù)是一

]0x9

樣多的。因此計算時可以利用=禺”這個公式化大為小。例如：=C,o=-------=45。

2x1

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例4

(1)從10名同學(xué)中選出3人打掃衛(wèi)生，共有種選法。

(2)6支隊伍進行單循環(huán)賽，每2隊都要比賽一場，則共需要比賽場。

(3)如圖5—1所示，以圓周上的5個點為頂點能構(gòu)成個三角形。

分析：選打掃衛(wèi)生的人的選法是無序的；從6支球隊中每選2支球隊，就可以打一場比賽；5個點中，任意

不在同一直線上的3個點都可以構(gòu)成一個三角形。這三種情況均是無序的。因此可以用組合公式計算。

例5

(1)從1()個人中選5個人合唱，第一排站2人，第二排站3人，共有種不同的站法。

(2)從10個人中選2個人掃地，3個人拖地，共有種不同的選法。

分析：(1)站隊是有序的?？梢韵冗x出5個人，再把5個人按前2后3的方式站隊；當然也可以直接從10

人中選2人站第一排，再從剩下的8人中選3人站第二排。

(2)雖然也是10人選2再選3,但選出的2個人是無序的，再選出的3個人也是無序的。因此此題適合用

組合的公式。

練習(xí)2

火車票實名制之前，某鐵路線共有8站(包括起點和終點)，任意兩站之間的距離都不相等。這條鐵路

線共需要多少種不同的硬座車票？共需要制定多少種不同的硬座票價？

開放試題

從家里找出四只不同顏色的襪子，把它們擺成一排，試一試有多少種不同的排法？再從家里找出兩雙顏

色不同的襪子，試一試有多少種不同的擺法？想一想，兩種排列的數(shù)為什么不一樣？

筆記整理

1.排列數(shù)公式:4"=n(n-lX?-2)-(n-m+l)

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2.組合數(shù)公式:C；=〃(〃T)(〃—2)…(“二，〃+1)

m!

3.關(guān)于組合數(shù)的幾個重要結(jié)論：

C=c；：=ic；；-=cr

本講鞏固

1計算：

(1)國=(2)A；+4=(3)父-母=

(4)(5)#+⑷=

2某商店共有7種不同種類的飲料，5位顧客每人要買一瓶飲料，且飲料互不相同，那么共有

種不同的買法。

3計算：

⑴C；=--------⑵小+C；=--------

4某次聚會共有10人參加，每兩人握手一次，一共握手次。

5魔術(shù)師從一副撲克牌(54張)中抽出兩張牌給2名指定的觀眾。對于這2名觀眾來說，他們拿到的牌

共有種可能；對于魔術(shù)師來說，他留下的牌共有種可能。

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第6講質(zhì)數(shù)與合數(shù)進階

前鋪知識:進位制初步質(zhì)數(shù)與合數(shù)初步

本講內(nèi)容：

i.分解質(zhì)因數(shù)。

2.利用分解質(zhì)因數(shù)解決問題。

6.1分解質(zhì)因數(shù)基礎(chǔ)

我們可以一次用625的質(zhì)因數(shù)去除，這樣的方法被稱為短除法。（如右圖所示）

5|625

5|125

5725

5

于是我們可以寫成625=5x5x5x5=54,這種形式被稱為分解質(zhì)因數(shù)。

于是我們就可以發(fā)現(xiàn)，共有5隊，每隊5