小學(xué)數(shù)競賽試題集錦 圓柱與圓錐

圓柱、圓錐常用的表面積、體積公式

立體圖形表面積體積

S網(wǎng)柱=側(cè)面積+2個(gè)底面積=2nrh+2nr2%柱=兀,〃

S圓錐=側(cè)面積+底面積=兀/2+nr2%錐體=§兀廠力

A注：/是母線，即從頂點(diǎn)到底面圓上的線段長

圓錐

板塊一圓柱與圓錐

【例1】如圖，用高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的3個(gè)圓柱組成一個(gè)物體.問這個(gè)物體

的表面積是多少平方米？（冗取3.14）

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】從上面看到圖形是右上圖,所以上下底面積和為2x3.14xl.52=14.13（立方米），側(cè)面積為

2x3.14<（0.-6411.^）=11（立方米），所以該物體的表面積是14.13+18.84=32.97（立方米）.

【答案】32.97

【例2】有一個(gè)圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個(gè)圓柱形的圓孔，圓孔的

直徑是4厘米，孔深5厘米（見右圖）.如果將這個(gè)零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，那么一共要涂

多少平方厘米？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】涂漆的面積等于大圓柱表面積與小圓柱側(cè)面積之和，為

6兀xl0+7ix（5）2x2+4兀X5=60TT+18兀+20兀=98兀=307.72（平方厘米）.

【答案】307.72

【例3】（希望杯2試試題）圓柱體的側(cè)面展開,放平，是邊長分別為10厘米和12厘米的長方形，那么這

個(gè)圓柱體的體積是________立方厘米.（結(jié)果用71表示）

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

1O

【解析】當(dāng)圓柱的高是12厘米時(shí)體積為兀x（Txl2=—（立方厘米）

27T7C

12

當(dāng)圓柱的鬲是12厘米時(shí)體積為7TX啜xl0=—（立方厘米）.所以圓柱體的體積為三朋立方厘米

7171

或圖立方厘米.

71

【答案】22立方厘米或二？立方厘米

717t

【例4】如右圖，是一個(gè)長方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個(gè)油桶（接頭處忽略不計(jì)），求

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】圓的直徑為：16.56+（1+3.14）=4（米），而油桶的高為2個(gè)直徑長，即為：4x2=8（m）,故體積為100.48

立方米.

【答案】100.48立方米

【鞏固】如圖，有一張長方形鐵皮，剪下圖中兩個(gè)圓及一塊長方形，正好可以做成1個(gè)圓柱體，這個(gè)圓柱體

的底面半徑為10厘米，那么原來長方形鐵皮的面積是多少平方厘米？（兀=3.14）

【解析】做成的圓柱體的側(cè)面是由中間的長方形卷成的，可見這個(gè)長方形的長與旁邊的圓的周長相等，則剪

下的長方形的長，即圓柱體底面圓的周長為：2x71x10=62.8（厘米），

原來的長方形的面積為：aoX4+62.8）X（10x2）=2056（平方厘米）.

【答案】2056

【例5】把一個(gè)高是8厘米的圓柱體，沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體

表面積減少12.56平方厘米.原來的圓柱體的體積是多少立方厘米？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體表面積減少的部分為減掉的2厘

米圓柱體的側(cè)面積，所以原來圓柱體的底面周長為12.56+2=6.28厘米，底面半徑為6.28+3.14+2=1

厘米，所以原來的圓柱體的體積是兀X12X8=8TT=25.12（立方厘米）.

【答案】25.12

【鞏固】一個(gè)圓柱體底面周長和高相等.如果高縮短4厘米，表面積就減少50.24平方厘米.求這個(gè)圓柱體的

表面積是多少？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】圓柱體底面周長和高相等，說明圓柱體側(cè)面展開是一個(gè)正方形.高縮短4厘米，表面積就減少50.24

平方厘米.陰影部分的面積為圓柱體表面積減少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周長是

50.24+4=12.56（厘米），側(cè)面積是：12.56x12.56=157.7536（平方厘米），兩個(gè)底面積是：

3.14*（12.56+3.14+2），2=25.12（平方厘米）.所以表面積為：157.7536+25.12=182.8736（平方厘

米）.

【答案】182.8736

【例6】（兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請賽）一個(gè)圓柱體形狀的木棒，沿著底面直徑豎直切成

兩部分.已知這兩部分的表面積之和比圓柱體的表面積大2008cm2,則這個(gè)圓柱體木棒的側(cè)面積是

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)題意可知，切開后表面積增加的就是兩個(gè)長方形縱切面.

設(shè)圓柱體底面半徑為r,高為人，那么切成的兩部分比原來的圓柱題表面積大:

2x2rx/?=2008（cm2）,所以rx〃=SOZQm。），所以，圓柱體側(cè)面積為：

2XTTXrx/j=2x3.14x502=3152.56（cm2）.

【答案】3152.56

【鞏固】已知圓柱體的高是10厘米，由底面圓心垂直切開，把圓柱分成相等的兩半，表面積增加了40平方厘

米，求圓柱體的體積.（兀=3）

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】圓柱切開后表面積增加的是兩個(gè)長方形的縱切面，長方形的長等于圓柱體的高為10厘米，寬為圓柱

底面的直徑，設(shè)為2r,則2rxl0x2=40,r=l（厘米）.圓柱體積為：兀xf乂10=30（立方厘米）.

【答案】30

【例7】一個(gè)圓柱體的體積是50.24立方厘米，底面半徑是2厘米.將它的底面平均分成若干個(gè)扇形后，再

截開拼成一個(gè)和它等底等高的長方體，表面積增加了多少平方厘米？（71=3.14）

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】從圖中可以看出，拼成的長方體的底面積與原來圓柱體的底面積相同，長方體的前后兩個(gè)側(cè)面面積

與原來圓柱體的側(cè)面面積相等，所以增加的表面積就是長方體左右兩個(gè)側(cè)面的面積.

（法1）這兩個(gè)側(cè)面都是長方形，且長等于原來圓柱體的高，寬等于圓柱體底面半徑.

可知，圓柱體的高為50.24;（3.14x22）=4（厘米），所以增加的表面積為2x4x2=16（平方厘米）；

（法2）根據(jù)長方體的體積公式推導(dǎo).增加的兩個(gè)面是長方體的側(cè)面，側(cè)面面積與長方體的長的乘積就

是長方體的體積.由于長方體的體積與圓柱體的體積相等，為50.24立方厘米，而拼成的長方體的長

等于圓柱體底面周長的一半，為3.14x2=6.28厘米，所以側(cè)面長方形的面積為50.24+6.28=8平方

厘米，所以增加的表面積為8*2=16平方厘米.

【答案】16

［例8］右圖是一個(gè)零件的直觀圖.下部是一個(gè)棱長為40cm的正方體，上部是圓柱體的一半.求這個(gè)零件

的表面積和體積.

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】這是一個(gè)半圓柱體與長方體的組合圖形，通過分割平移法可求得表面積和體積分別為：11768平方

厘米，89120立方厘米.

【答案】89120

【例9】輸液100毫升，每分鐘輸2.5毫升.如圖，請你觀察第12分鐘時(shí)圖中的數(shù)據(jù)，問：整個(gè)吊瓶的容

積是多少毫升？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】100毫升的吊瓶在正放時(shí)，液體在100毫升線下方，上方是空的，容積是多少不好算.但倒過來后，

變成圓柱體，根據(jù)標(biāo)示的格子就可以算出來.

由于每分鐘輸2.5毫升，12分鐘已輸液2.5x12=30（毫升），因此開始輸液時(shí)液面應(yīng)與50毫升的格線

平齊，上面空的部分是50毫升的容積.所以整個(gè)吊瓶的容積是100+50=150（毫升）.

【答案】150

【例10］（“希望杯”五年級(jí)第2試）一個(gè)擰緊瓶蓋的瓶子里面裝著一些水（如圖），由圖中的數(shù)據(jù)可推知瓶

子的容積是..立方厘米.（兀取3.14）

厘米）

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】由于瓶子倒立過來后其中水的體積不變，所以空氣部分的體積也不變，從圖中可以看出，瓶中的水

構(gòu)成高為6厘米的圓柱，空氣部分構(gòu)成高為10-8=2厘米的圓柱，瓶子的容積為這兩部分之和，所

以瓶子的容積為：兀*（$2x（6+2）=3.14*32=100.48（立方厘米）.

【答案】100.48

【鞏固】一個(gè)酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如圖.已知它的容積為26.4兀立方厘米.當(dāng)瓶子正

放時(shí)，瓶內(nèi)的酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時(shí)，空余部分的高為2厘米.問：瓶內(nèi)酒精的體積

是多少立方厘米？合多少升？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】由題意，液體的體積是不變的，瓶內(nèi)空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空余部分體

積的6+2=3倍.所以酒精的體積為26.4TCX/一=62.172立方厘米，而62.172立方厘米=62.172毫

3+1

升=0.062172升.

【答案】0.062172

【鞏固】一個(gè)酒瓶里面深30cm,底面內(nèi)直徑是10cm,瓶里酒深15cm.把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立這時(shí)

酒深25cm.酒瓶的容積是多少？（兀取3）

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】觀察前后，酒瓶中酒的總量沒變，即瓶中液體體積不變.

當(dāng)酒瓶倒過來時(shí)酒深25cm,因?yàn)榫破可?0cm,這樣所?？臻g為高5cm的圓柱，再加上原來15cm高

的酒即為酒瓶的容積.

酒的體積：15兀xWx竺=375兀

22

瓶中剩余空間的體積(30-25)"3'3=125兀

22

酒瓶容積：375兀+125兀=500n=1500(ml)

【答案】1500

【鞏固】一個(gè)蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水，瓶底面積為10平方厘米，(如下圖所示)，請你根據(jù)圖中標(biāo)明

的數(shù)據(jù)，計(jì)算瓶子的容積是____.

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】由已知條件知，第二個(gè)圖上部空白部分的高為7-5=2cm,從而水與空著的部分的比為4:2=2:1,

由圖1知水的體積為10x4,所以總的容積為40+2x(2+l)=60立方厘米.

【答案】60

【鞏固】一個(gè)透明的封閉盛水容器，由一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐體組成，圓柱體的底面直徑和高都是12厘米.其

內(nèi)有一些水，正放時(shí)水面離容器頂11厘米，倒放時(shí)水面離頂部5厘米，那么這個(gè)容器的容積是多少

立方厘米？(n=3)

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)圓錐的高為x厘米.由于兩次放置瓶中空氣部分的體積不變，有：

5x7tx62=(ll-x)x7tx62+-^x7tx62xx,解得x=9,

所以容器的容積為：V=7tx62xl2+-x7ix62x9=5407t=1620(立方厘米).

3

【答案】1620

【例11](希望杯2試試題)如圖，底面積為50平方厘米的圓柱形容器中裝有水，水面上漂浮著一塊棱長為

5厘米的正方體木塊，木塊浮出水面的高度是2厘米.若將木塊從容器中取出，水面將下降

厘米.

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】在水中的木塊體積為5x5x3=75(立方厘米)，拿出后水面下降的高度為75+50=1.5(厘米)

【答案】1.5

【例12】有兩個(gè)棱長為8厘米的正方體盒子，A盒中放入直徑為8厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊一個(gè)，B

盒中放入直徑為4厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊4個(gè)，現(xiàn)在A盒注滿水，把A盒的水倒入8盒,

使3盒也注滿水，問A盒余下的水是多少立方厘米？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】將圓柱體分別放入A盒、8盒后，兩個(gè)盒子的底面被圓柱體占據(jù)的部分面積相等，所以兩個(gè)盒子的

底面剩余部分面積也相等，那么兩個(gè)盒子的剩余空間的體積是相等的，也就是說A盒中裝的水恰好

可以注滿3盒而無剩余，所以A盒余下的水是0立方厘米.

【答案】A盒余下的水是0立方厘米

【例13】蘭州來的馬師傅擅長做拉面，拉出的面條很細(xì)很細(xì)，他每次做拉面的步驟是這樣的：將一個(gè)面團(tuán)

先搓成圓柱形面棍，長1.6米.然后對折，拉長到1.6米；再對折，拉長到1.6米……照此繼續(xù)進(jìn)行

下去，最后拉出的面條粗細(xì)（直徑）僅有原先面棍的,.問：最后馬師傅拉出的這些細(xì)面條的總長

64

有多少米？（假設(shè)馬師傅拉面的過程中.面條始終保持為粗細(xì)均勻的圓柱形，而且沒有任何浪費(fèi)）

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】最后拉出的面條直徑是原先面棍的」-,則截面積是原先面棍的」■v,細(xì)面條的總長為：

64642

1.6x642=6553.6（米）.注意運(yùn)用比例思想.

【答案】6553.6

[例14]一個(gè)圓柱形容器內(nèi)放有一個(gè)長方形鐵塊.現(xiàn)打開水龍頭往容器中灌水.3分鐘時(shí)水面恰好沒過長方

體的頂面.再過18分鐘水灌滿容器.已知容器的高為50厘米，長方體的高為20厘米，求長方體

底面面積與容器底面面積之比.

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】因?yàn)?8分鐘水面升高：50—20=30（厘米）.所以圓柱中沒有鐵塊的情形下水面升高20厘米需要

20

的時(shí)間是：18x—=12（分鐘），實(shí)際上只用了3分鐘，說明容器底面沒被長方體底面蓋住的部分

30

只占容器底面積的3:12=」，所以長方體底面面積與容器底面面積之比為3:4.

4

【答案】3:4

【例15】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米.現(xiàn)將一個(gè)底面積

是16平方厘米，高為12厘米的長方體鐵塊豎放在水中后.現(xiàn)在水深多少厘米？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)等積變化原理：用水的體積除以水的底面積就是水的高度.

（法1）:80*8+（80-16）=640+64=10（厘米）；

（法2）:設(shè)水面上升了x厘米.根據(jù)上升部分的體積=浸入水中鐵塊的體積列方程為：80x=16（8+x）,

解得：x=2,8+2=10（厘米）.

（提問”圓柱高是15厘米“，和”高為12厘米的長方體鐵塊”這兩個(gè)條件給的是否多余？）

【答案】10

【鞏固】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米.現(xiàn)將一個(gè)底面積

是16平方厘米，高為12厘米的長方體鐵塊豎放在水中后.現(xiàn)在水深多少厘米？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】80x10+（80-16）=12.5,因?yàn)?2.5>12,所以此時(shí)水已淹沒過鐵塊，80x10-（80-16）x12=32,

32+80=0.4,所以現(xiàn)在水深為12+0.4=12.4厘米

【答案】12.4

【鞏固】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米.現(xiàn)將一個(gè)底面積

是16平方厘米，高為12厘米的長方體鐵塊豎放在水中后.現(xiàn)在水深多少厘米？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】玻璃杯剩余部分的體積為80x（15-13）=160立方厘米，鐵塊體積為16x12=192立方厘米，因?yàn)?/p>

160<192,所以水會(huì)溢出玻璃杯，所以現(xiàn)在水深就為玻璃杯的高度15厘米

【總結(jié)】鐵塊放入玻埔杯會(huì)出現(xiàn)三種情況：①放入鐵塊后，水深不及鐵塊高；②放入鐵塊后，水深比鐵塊高

但未溢出玻璃杯；③水有溢出玻璃杯.

【說明】教師可以在此穿插一個(gè)關(guān)于阿基米德測量黃金頭冠的體積的故事.

一天國王讓工匠做了一頂黃金的頭冠，不知道工匠有沒有摻假，必須知道黃金頭兔的體積是多少，

可是又沒有辦法來測量.（如果知道體積，就可以稱一下純黃金相應(yīng)體積的重量，再稱一下黃金頭冠

的重量，就能知道是否摻假的結(jié)果了）于是，國王就把測量頭冠體積的任務(wù)交給他的大臣阿基米

德.（小朋友們，你們能幫阿基米德解決難題嗎？）

阿基米德苦思冥想不得其解，就連晚上沐浴時(shí)還在思考這個(gè)問題.

當(dāng)他坐進(jìn)水桶里，看到水在往外滿溢時(shí)，突然靈感迸發(fā)，大叫一聲：”我找到方法了……”，就急忙

跑出去告訴別人，大家看到了一個(gè)還光著身子的阿基米德.

他的方法是：把水桶裝滿水，當(dāng)把黃金頭冠放進(jìn)水桶，浸沒在水中時(shí)，所收集的溢出來的水的體積

正是頭冠的體積.

【答案】15

【例16】一個(gè)圓柱形玻璃杯內(nèi)盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是72平方厘米.在這個(gè)杯中放

進(jìn)棱長6厘米的正方體鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊.這時(shí)水面高多少厘米？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】把放入鐵塊后的玻璃杯看作一個(gè)底面如右圖的新容器，底面積是72—6X6=36（平方厘米）.

水的體積是72x2.5=180（立方厘米）.

后來水面的高為180+36=5（厘米）.

【答案】5

【例17】一個(gè)盛有水的圓柱形容器，底面內(nèi)半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米.今將一個(gè)底面半徑為

2厘米，高為17厘米的鐵圓柱垂直放入容器中.求這時(shí)容器的水深是多少厘米？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】若圓柱體能完全浸入水中，則水深與容器底面面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體積

之和，因而水深為：U舞"①=17.72（厘米）.

它比圓柱體的高度要大，可見圓柱體可以完全浸入水中.

于是所求的水深便是17.72厘米.

【答案】17.72

【例18］有甲、乙兩只圓柱形玻璃杯，其內(nèi)直徑依次是10厘米、20厘米，杯中盛有適量的水.甲杯中沉沒

著一鐵塊，當(dāng)取出此鐵塊后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后將鐵塊沉沒于乙杯，且乙杯中的水

未外溢.問：這時(shí)乙杯中的水位上升了多少厘米？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】兩個(gè)圓柱直徑的比是1:2,所以底面面積的比是1:4.鐵塊在兩個(gè)杯中排開的水的體積相同，所以乙

杯中水升高的高度應(yīng)當(dāng)是甲杯中下降的高度的工，即2x」=0.5（厘米）.

44

【答案】0.5

【鞏固】有一只底面半徑是20厘米的圓柱形水桶，里面有一段半徑是5厘米的圓柱體鋼材浸在水中.鋼材從

水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米.這段鋼材有多長？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)題意可知，圓柱形鋼材的體積等于桶里下降部分水的體積，因?yàn)殇摬牡酌姘霃绞撬暗酌姘霃?/p>

的9,即鋼材底面積就是水桶底面積的根據(jù)體積一定，圓柱體的底面積與高成反比例可

20416

知，鋼材的長是水面下降高度的16倍.

6+（2）2=96（厘米），（法2）:3.14X202X64-（3.14X5?）=96（厘米）.

20

【答案】96

【例19】一個(gè)盛有水的圓柱形容器底面內(nèi)半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米.今將一個(gè)底面半徑為2

厘米，高為18厘米的鐵圓柱垂直放人容器中.求這時(shí)容器的水深是多少厘米？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】若鐵圓柱體能完全浸入水中，則水深與容積底面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體積

、,小52X4X15+22X7TX18-

之和，因而水沫為：--------z-----------------=17.7s2（厘米）；

它比鐵圓柱體的高度要小，那么鐵圓柱體沒有完全浸入水中.此時(shí)容器與鐵圓柱組成一個(gè)類似于下

圖的立體圖形.底面積為5?乃一2?4=21%,水的體積保持不變?yōu)??乃乂15=315%.所以有水深為

莖王=179（厘米），小于容器的高度20厘米，顯然水沒有溢出于是17g厘米即為所求的水深.

21萬77

【答案】17-

7

【例20］如圖11-7,有一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，它們的高和底面直徑都標(biāo)在圖上，單位是厘米.那么，圓錐

體積與圓柱體積的比是多少？

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，3題

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】圓錐的體積是，x22x4x7=3肛，圓柱的體積是4?x8x%=128萬.所以，圓錐體積與圓柱體積

33

的比是3乃：128%=1:24.

3

【答案】1:24

【例21】一個(gè)圓錐形容器高24厘米，其中裝滿水，如果把這些水倒入和圓錐底面直徑相等的圓柱形容器中,

水面高多少厘米？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)圓錐■形容器底面積為S,圓柱體內(nèi)水面的高為〃，根據(jù)題意有：-xSx24=Sh,可得〃=8厘米.

3

【答案】8

【例22］（“希望杯"一試六年級(jí)）如圖，圓錐形容器中裝有水50升，水面高度是圓錐高度的一半，這個(gè)容

器最多能裝水升.

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】圓錐容器的底面積是現(xiàn)在裝水時(shí)底面積的4倍，圓錐容器的高是現(xiàn)在裝水時(shí)圓錐高的2倍，所以容

器容積是水的體積的8倍，即50x8=400升.

【答案】400

【例23】如圖，甲、乙兩容器相同，甲容器中水的高度是錐高叫，乙容器中水的高度是錐高的|,比較

甲、乙兩容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的幾倍？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

71

【解析】設(shè)圓錐容器的底面半徑為廣，高為/2,則甲、乙容器中水面半徑均為女人則有七、.器=-兀/〃，

3仔耕3

“1/2、22/82/〃12,1,2、22,19

V=-7t（一廠）x—h=—Ttrh,Virjvk=-itrh——n（—r）x-h=一九廣2,〃，

乙7水/k33381,水333381

-%

必=孚——=—,即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的電倍.

%j88

81

io

【答案】上倍

8

【例24】張大爺去年用長2米、寬1米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形糧囤.今年改用長3米寬2米

的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形的糧囤.問：今年糧囤的容積是去年糧囤容積的多少倍？

【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，口試，23題

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

333232

【解析】底面周長是3,半徑是一，萬x(—)2=——所以今年糧囤底面積是一，高是2.同理，去年糧囤

2萬2萬4萬47

223222

底面積是一，高是1.(—x2)+(—xl)=4.5.因此，今年糧囤容積是去年糧囤容積的4.5倍.

4乃4萬47

【答案】4.5

【例25](仁華考題)如圖，有一卷緊緊纏繞在一起的塑料薄膜，薄膜的直徑為20厘米，中間有一直徑為8厘

米的卷軸，已知薄膜的厚度為0.04厘米，則薄膜展開后的面積是平方米.

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】纏繞在一起時(shí)塑料薄膜的體積為：兀'(TJ一兀x1|]x100=8400兀(立方厘米)，薄膜展開后為一

個(gè)長方體，體積保持不變，而厚度為0.04厘米，所以薄膜展開后的面積為

840(次+O.(M=659400平方厘米=65.94平方米.

另解：也可以先求出展開后薄膜的長度，再求其面積.

由于展開前后薄膜的側(cè)面的面積不變，展開前為兀x(T)-nxW=84兀(平方厘米)，展開后為一

個(gè)長方形，寬為0.0,厘米，所以長為84兀+0.04=6594厘米，所以展開后薄膜的面積為

659410O659平方厘米=65.94平方米.

【答案】65.94

【鞏固】圖為一卷緊繞成的牛皮紙,紙卷直徑為20厘米，中間有一直徑為6厘米的卷軸.已知紙的厚度為0.4

毫米，問：這卷紙展開后大約有多長？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】將這卷紙展開后，它的側(cè)面可以近似的看成一個(gè)長方形，它的長度就等于面積除以寬.這里的寬就

是紙的厚度，而面積就是一個(gè)圓環(huán)的面積.

因此，紙的長度：

紙卷側(cè)面積-3.14>1。2—3.14x32_3.14x(100—9)

紙的厚度。0X)4—004=7143.5(厘米)

所以，這卷紙展開后大約71.4米.

【答案】71.4

【鞏固】如圖，厚度為0.25毫米的銅版紙被卷成一個(gè)空心圓柱（紙卷得很緊，沒有空隙），它的外直徑是180

厘米，內(nèi)直徑是50厘米.這卷銅版紙的總長是多少米？

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】卷在一起時(shí)銅版紙的橫截面的面積為兀x（岑）-兀*（三）=7475兀（平方厘米），如果將其展開，展

開后橫截面的面積不變，形狀為一個(gè)長方形，寬為0.25毫米（即0.025厘米），所以長為

74757r+0.025=938860厘米=9388.6米.所以這卷銅版紙的總長是9388.6米.

本題也可設(shè)空心圓柱的高為力，根據(jù)展開前后銅版紙的總體積不變進(jìn)行求解，其中〃在計(jì)算過程將會(huì)

消掉.

【答案】9388.6米

【例26］（人大附中分班考試題目）如圖，在一個(gè)正方體的兩對側(cè)面的中心各打通一個(gè)長方體的洞，在上下

底面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞.已知正方體邊長為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長為4厘米的正

方形，上下底面的洞口是直徑為4厘米的圓，求此立體圖形的表面積和體積.

【考點(diǎn)】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】⑴先求表面積.表面積可分為外側(cè)表面積和內(nèi)側(cè)表面積.

外側(cè)為6個(gè)邊長10厘米的正方形挖去4個(gè)邊長4厘米的正方形及2個(gè)直徑4厘米的圓，所以，外側(cè)

表面不只為：10xl0x6-4x4x4-7tx22x2=536-8?t（平方厘米）；

內(nèi)側(cè)表面積則為右上圖所示的立體圖形的表面積，需要注意的是這個(gè)圖形的上下兩個(gè)圓形底面和前

后左右4個(gè)正方形面不能計(jì)算在內(nèi)，所以內(nèi)側(cè)表面積為：

4x3xl6+2x（4x4-jrx22）+2jrx2x3x2=l92+32-8兀+24兀=224+16兀（平方厘米）,

所以，總表面積為：224+1例+536-8兀=760+8兀=785.12（平方厘米）.

⑵再求體積.計(jì)算體積時(shí)將挖空部分的立體圖形取出，如右上圖，只要求出這個(gè)幾何體的體積，用

原立方體的體積減去這個(gè)體積即可.

交出的幾何體體積為:4x4x3x4+4x4x4+71x22x3x2=192+64+24兀=256+24兀（立方厘米）：

所求幾何體體積為：10x10x10-（256+24兀）=668.64（立方厘米）.

【答案】668.64

板塊二旋轉(zhuǎn)問題

【例27］如圖，ABC是直角三角形，AB、AC的長分別是3和4.將AABC繞AC旋轉(zhuǎn)一周，求AABC掃

出的立體圖形的體積.（花=3.14）

c

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答

【解析】如右上圖所示，AABC掃出的立體圖形是一個(gè)圓錐，這個(gè)圓錐的底面半徑為3,高為4,

體積為：一x兀x3?x4=12兀=37.68.

3

【答案】37.68

【例28】已知直角三角形的三條邊長分別為3cm,4cm,5cm,分別以這三邊軸，旋轉(zhuǎn)一周，所形成的立

體圖形中，體積最小的是多少立方厘米？(兀取3.14)

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答

［解析］以3cm的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的是底面半徑是4cm,高是3cm的圓錐體，體積為

1&

-x3.14x4*9x3=50.24(cm)

以4cm的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的是底面半徑是3cm,高是4cm的圓錐體，體積為

1X3.14X32X4=37.68(cm3)

以5cm的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的是底面半徑是斜邊上的高3x4+5=24cm的兩個(gè)圓錐，高之和是

5cm的兩個(gè)圓的組合體，體積為gx3.14x2.4?x5=30.144(cm3)

【答案】30.144

【鞏固】如圖，直角三角形如果以3c邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的體積為1血，以AC邊為軸旋轉(zhuǎn)

一周，那么所形成的圓錐的體積為12兀，那么如果以4?為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的幾何體的體積

是多少？

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)8c=a,AC=b,那么以BC邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的圓錐的體積為攻，以AC邊為軸旋轉(zhuǎn)

3

一周，那么所形成的圓錐的體積為《如，由此可得到兩條等式：

3

一”=48,兩條等式相除得到2=3,將這條比例式再代入原來的方程中就能得到("=3,根據(jù)勾

股定理，直角三角形的斜邊Afi的長度為5,那么斜邊上的高為2.4.

如果以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的幾何體相當(dāng)于兩個(gè)底面相等的圓錐疊在一起，底面半徑為

9427rx5

2.4,高的和為5,所以體積是乙今兀'=9.6兀.

3

【答案】9.6n

【例29］如圖，A8CD是矩形，BC=6cm,A8=10cm,對角線AC、8。相交O.E、E分別是4）與BC

的中點(diǎn)，圖中的陰影部分以EF為軸旋轉(zhuǎn)一周，則白色部分掃出的立體圖形的體積是多少立方厘

米？（兀取3）

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答

【解析】掃出的圖形如右上圖所示，白色部分實(shí)際上是一個(gè)圓柱減去兩個(gè)圓錐后所形成的圖形.

兩個(gè)圓錐的體積之和為2*1x71*32x5=30兀=90（立方厘米）；

3

圓柱的體積為7rx32xl0=270（立方厘米），

所以白色部分掃出的體積為270-90=180（立方厘米）.

【答案】180

【鞏固】（華杯賽決賽試題）如圖，是矩形，8c=6cm,AB-10cm,對角線AC、9相交O.圖中

的陰影部分以8為軸旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃出的立體的體積是多少立方厘米？

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)三角形3co以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體圖形的體積是V,則丫等于高為10厘米，底面半徑

是6厘米的圓錐，減去2個(gè)高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積后得到.

所以,V,=-x7tx62xlO-2x-x7ix32x5=90兀（立方厘米）,

33

那么陰影部分掃出的立體的體積是2V=180n=540（立方厘米）.

【答案】540

【例30］（希望杯六年級(jí)一試第15題，5分）如圖，從正方形ABCD上截去長方形DEFG,其中AB=1

厘米，DE=1厘米，DG=1厘米。將ABCGFE以GC邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面

23

積是平方厘米，體積是立方厘米。（結(jié)果用n表示）

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)問題【難度】3星【題型】解答

【解析】經(jīng)過旋轉(zhuǎn)之后我們可以得到一個(gè)挖去一個(gè)半徑為」小圓柱體的柱體，其表面積為1X2Xn+2XnX

2

12+1xn=4-n,其體積為1義nXr-!xnX(1)2=—n?

333212

圓柱與圓錐

圓柱、圓錐常用的表面積、體積公式

立體圖形表面積體積

S網(wǎng)柱=側(cè)面積+2個(gè)底面積=2nrh+2兀/%柱=兀廠〃

/\S圓惟=側(cè)面積+底面積=就兀尸+nr2%稚體二§兀心

圓錐注：/是母線，即從頂點(diǎn)到底面圓上的線段長

板塊一圓柱與圓錐

【例31］如圖，用高都是1米，底面半徑分別為L5米、1米和0.5米的3個(gè)圓柱組成一個(gè)物體.問這個(gè)物體

的表面積是多少平方米？（71取3.14）

【例32】有一個(gè)圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個(gè)圓柱形的圓孔，圓孔的

直徑是4厘米，孔深5厘米（見右圖）.如果將這個(gè)零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，那么一共要涂

多少平方厘米？

【例33］（希望杯2試試題）圓柱體的側(cè)面展開，放平，是邊長分別為10厘米和12厘米的長方形，那么這

個(gè)圓柱體的體積是..立方厘米.（結(jié)果用兀表示）

【例34】如右圖，是一個(gè)長方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個(gè)油桶（接頭處忽略不計(jì)），求

這個(gè)油桶的容積.（兀=3.14）

【鞏固】如圖，有一張長方形鐵皮，剪下圖中兩個(gè)圓及一塊長方形，正好可以做成I個(gè)圓柱體，這個(gè)圓柱體

的底面半徑為10厘米，那么原來長方形鐵皮的面積是多少平方厘米？（兀=3.14）

【例35】把一個(gè)高是8厘米的圓柱體，沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體

表面積減少12.56平方厘米.原來的圓柱體的體積是多少立方厘米？

【鞏固】一個(gè)圓柱體底面周長和高相等.如果高縮短4厘米，表面積就減少50.24平方厘米.求這個(gè)圓柱體的

表面積是多少？

【例36】一個(gè)圓柱體形狀的木棒，沿著底面直徑豎直切成兩部分.已知這兩部分的表面積之和比圓柱體的

表面積大2008cm2,則這個(gè)圓柱體木棒的側(cè)面積是cm2.（兀取3.14）

【鞏固】已知圓柱體的高是10厘米，由底面圓心垂直切開，把圓柱分成相等的兩半，表面積增加了40平方厘

米，求圓柱體的體積.（兀=3）

【例37】一個(gè)圓柱體的體積是50.24立方厘米，底面半徑是2厘米.將它的底面平均分成若干個(gè)扇形后，再

截開拼成一個(gè)和它等底等高的長方體，表面積增加了多少平方厘米？（兀=3.14）

【例38】右圖是一個(gè)零件的直觀圖.下部是一個(gè)棱長為40cm的正方體，上部是圓柱體的一半.求這個(gè)零件

的表面積和體積.

【例39]輸液100毫升，每分鐘輸2.5毫升.如圖，請你觀察第12分鐘時(shí)圖中的數(shù)據(jù)，問:整個(gè)吊瓶的容

積是多少毫升？

【例40]一個(gè)擰緊瓶蓋的瓶子里面裝著一些水（如圖），由圖中的數(shù)據(jù)可推知瓶子的容積是.立方厘

米.（兀取3.14）

（單位：厘米）

【鞏固】一個(gè)酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如圖.已知它的容積為26.4兀立方厘米.當(dāng)瓶子正

放時(shí)，瓶內(nèi)的酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時(shí)，空余部分的高為2厘米.問：瓶內(nèi)酒精的體積

是多少立方厘米？合多少升？

【鞏固】一個(gè)酒瓶里面深30cm,底面內(nèi)直徑是10cm,瓶里酒深15cm.把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立這時(shí)

酒深25cm.酒瓶的容積是多少？（兀取3）

【鞏固】一個(gè)蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水，瓶底面積為10平方厘米，（如下圖所示），請你根據(jù)圖中標(biāo)明

的數(shù)據(jù)，計(jì)算瓶子的容積是____.

【鞏固】一個(gè)透明的封閉盛水容器，由一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐體組成，圓柱體的底面直徑和高都是12厘米.其

內(nèi)有一些水，正放時(shí)水面離容器頂11厘米，倒放時(shí)水面離頂部5厘米，那么這個(gè)容器的容積是多少

立方厘米？（兀=3）

【例41]（希望杯2試試題）如圖，底面積為50平方厘米的圓柱形容器中裝有水，水面上漂浮著一塊棱長為

5厘米的正方體木塊,木塊浮出水面的高度是2厘米.若將木塊從容器中取出，水面將下降

厘米.

【例42】有兩個(gè)棱長為8厘米的正方體盒子，A盒中放入直徑為8厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊一個(gè)，B

盒中放入直徑為4厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊4個(gè)，現(xiàn)在A盒注滿水，把4盒的水倒入8盒,

使3盒也注滿水，問A盒余下的水是多少立方厘米？

【例43】蘭州來的馬師傅擅長做拉面，拉出的面條很細(xì)很細(xì)，他每次做拉面的步驟是這樣的：將一個(gè)面團(tuán)

先搓成圓柱形面棍，長1.6米.然后對折，拉長到1.6米；再對折，拉長到1.6米……照此繼續(xù)進(jìn)行

下去，最后拉出的面條粗細(xì)（直徑）僅有原先面棍的’.問：最后馬師傅拉出的這些細(xì)面條的總長

64

有多少米？（假設(shè)馬師傅拉面的過程中.面條始終保持為粗細(xì)均勻的圓柱形，而且沒有任何浪費(fèi)）

【例44]一個(gè)圓柱形容器內(nèi)放有一個(gè)長方形鐵塊.現(xiàn)打開水龍頭往容器中灌水.3分鐘時(shí)水面恰好沒過長方

體的頂面.再過18分鐘水灌滿容器.已知容器的高為50厘米，長方體的高為20厘米，求長方體

底面面積與容器底面面積之比.

【例45】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米.現(xiàn)將一個(gè)底面積

是16平方厘米，高為12厘米的長方體鐵塊豎放在水中后.現(xiàn)在水深多少厘米？

【鞏固】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米.現(xiàn)將一個(gè)底面積

是