小學奧數(shù)經(jīng)典解析 有關數(shù)的法則和方法+和差積商的變化規(guī)律

有關數(shù)的法則或方法

【數(shù)的讀寫方法】（整數(shù)中多位數(shù)的讀寫方法，以及小數(shù)、分數(shù)、百

分數(shù)的讀、寫方法，見小學數(shù)學課本，此處略。）

“成數(shù)”、“折數(shù)”即“十分數(shù)”，它們常用中國數(shù)字和文字“七成”、

“二成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根據(jù)其文字去讀。它們也

常用分母為十的分數(shù)，或者用百分數(shù)去表示，這時便可按分數(shù)、百分數(shù)的

方法去讀。

“千分數(shù)”是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的千分之幾的分數(shù)，它常用“千

分號”一“％?！眮韺懬Х謹?shù)，如某地人口出生率為千分之七，寫作“7%?！?，

讀作“千分之七”。

【科學記數(shù)法】用帶一位整數(shù)的小數(shù)，去乘以10的整數(shù)次嘉來表示

一個數(shù)的方法，叫做“科學記數(shù)法”。

利用小數(shù)點移動的規(guī)律，很容易把一個數(shù)用“科學記數(shù)法”表達為“a

X10“（iWaWlO,n是整數(shù)）”的形式。例如:

25700,把小數(shù)點向左移動四位，得1<2.57<10,但2.57比25700

小了10000倍，所以

25700=2.57X1010

0.00867,把小數(shù)點向右移動三位，得1<8.67V10,但8.67比0.00867

大了1000倍，所以

o67

000867=——=8.67X10-3o

1000

【近似數(shù)截取方法】截取近似數(shù)的方法，一般有四舍五入法、去尾法

和進一法三種。

四舍五入法——省略一個數(shù)的一部分尾數(shù)，取它的近似數(shù)的時候，如

果要舍去的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4,或者是比4小的數(shù)，就把尾數(shù)舍去;

如果要舍去的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5,或者是比5大的數(shù)，把尾數(shù)舍去

以后，要向它的前一位進一。這種求近似數(shù)的方法叫做“四舍五入法”。

例如，把8,654,000四舍五入到萬位，約等于865萬；把7.6239

四舍五入保留兩位小數(shù)約等于7.62；把2,873,000,000四舍五入到億

位，約等于29億；把32.99506四舍五入精確到百分位約等于33.00。

去尾法——要省略的尾數(shù)不論是多少，一律舍去不要，這種求近似數(shù)

的方法叫做“去尾法”。

3

例如，y=0.428571428571……。若用去尾法，保留二位小數(shù)的近似值為

y?o.42,保留三位小數(shù)的近似值為，=0.428,……o

進一法——省略某一個數(shù)某一位后面的尾數(shù)時，不管這些尾數(shù)的大

小，都向它的前一位進一。這種求近似數(shù)的方法，叫做“進一法”。

3

例如，用進一法處理亍=0.428571428571……時，取一位小數(shù)的近似值

是，3=05取兩位小數(shù)的近似值是，3=0.43；取五位小數(shù)的近似值是亍3?

0.42858。

顯然，用“進一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“過剩近似

值”，而用“去尾法”和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值”。

值得注意的是：在近似數(shù)的取舍結(jié)果中，小數(shù)點后最右一位上的零必

須寫上。例如，把1.5972四舍五入，保留兩位小數(shù)得1.60,即1.5972

^1.60,最后的“0”不可去掉，否則，它只精確到十分位了。

【質(zhì)數(shù)判定方法】判定一個較大的數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，一般有兩種方法。

（1）查表法。用查質(zhì)數(shù)表的方法，可以較快地判斷一個數(shù)是否為質(zhì)

數(shù)：質(zhì)數(shù)表上有的是質(zhì)數(shù)，同一范圍內(nèi)的質(zhì)數(shù)表上沒有這個數(shù)，那它便是

個合數(shù)。

（2）試除法。如果沒有質(zhì)數(shù)表，也來不及制作一個質(zhì)數(shù)表，可以用

試除來判斷。

例如，要判定161和197是不是質(zhì)數(shù)，可以把這兩個數(shù)依次用2、3、

5、7、11、13、17、19……等質(zhì)數(shù)去試除。這是因為一個合數(shù)總能表示成

幾個質(zhì)因數(shù)的乘積，若161或197不能被這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)整除，那么也

一定不能被這個合數(shù)整除。所以，我們只要用質(zhì)數(shù)去試除就可以了。

由161+7=23,可知161的約數(shù)除了1和它本身外，至少還有7和23。

所以，161是合數(shù)，而不是質(zhì)數(shù)。

由197依次不能被2、3、5、7、11、13整除，而1974-17=11……10,

這時的除數(shù)17已大于不完全商11,于是可以肯定：197是質(zhì)數(shù)，而不是

合數(shù)。因為197除了它本身以外，不可能有比17大的約數(shù)。假定有，商

也一定比11小。這就是說，197同時還要有比11小的約數(shù)。但經(jīng)過試除,

比11小的質(zhì)數(shù)都不能整除197,這說明比11小的約數(shù)是不存在的，所以

197是質(zhì)數(shù)，不是合數(shù)。

【最大公約數(shù)求法】最大公約數(shù)的求法，一般可用下面四種方法。

(1)分解質(zhì)因數(shù)法。先把各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再把各數(shù)公有的一切質(zhì)

因數(shù)連乘起來，就是所求的最大公約數(shù)。例如，求2940、756和168的最

大公約數(shù)：

2940=22X3X5X72,

756=22X33X7,

168=23X3X7；

2

，(2940,756,168)=2X3X7=84O

注:“(2940,756,168)=84”的意思，就是“2940、756和168

的最大公約數(shù)是84”。

(2)檢驗公約數(shù)法。“檢驗公約數(shù)法”即“試除法”，也是小學數(shù)

學課本介紹的那一種一般的求法，此處略。

(3)輾轉(zhuǎn)相減法。較大的兩個數(shù)求最大公約數(shù)，可以用“輾轉(zhuǎn)相減

法”：用大數(shù)減小數(shù)，如果減得的差與較小的數(shù)不相等，便再以大減小求

差，直到出現(xiàn)兩數(shù)相等為止。這時，相等的數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。

例如，求792和594的最大公約數(shù)。

,/(792,594)=(792-594,594)

=(198,594)=(594-198,198)

=(198,396)=(198,396-198)

=(198,198)=198,

...(792,594)=198o

用輾轉(zhuǎn)相減法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，可以推廣到求n個數(shù)的最大公

約數(shù)，具體做法是：可以不拘次序地挑選最方便的，從較大的數(shù)里減去較

小的數(shù)。這樣逐次做下去，直到所得的差全部相等為止。這個相等的差，

就是這些數(shù)的最大公約數(shù)。

例如，求1260、1134、882和如08的最大公約數(shù)。

,/(1260,1134,882,1008)

(1260-1134,882,1008-882,1134-882)

(126,126,882,252)

=(126,126,882-126X6,252-126)

=(126,126,126,126)=126,

/.(1260,1134,882,1008)=126。

(4)輾轉(zhuǎn)相除法(歐幾里得算法)。

用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，步驟如下：

光用較小數(shù)去除較大的數(shù)，得到第一個余數(shù)；

再用第一個余數(shù)去除較小的數(shù)，得到第二個余數(shù)；

又用第二個余數(shù)去除第一個余數(shù)，得到第三個余數(shù)；

這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止。這時，

余數(shù)“0”前面的那個余數(shù)，便是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。

求兩個較大的數(shù)的最大公約數(shù)，用上面的第一、二種方法計算，是相

當麻煩的，而采用“輾轉(zhuǎn)相除法”去求，就簡便、快速得多了。

例如，求437和551的最大公約數(shù)。具體做法是：先將437和551

并排寫好，再用三條豎線把它們分開。然后依下述步驟去做：

(1)用較小數(shù)去除較大數(shù)把商數(shù)“1”寫在較大數(shù)的線外，并求得

余數(shù)為U4o

4375511

437

114

(2)用余數(shù)114去除437,把商數(shù)“3”寫在比114大的數(shù)(437)

的線外，并求得余數(shù)為95。

34375511

342437

95114

(3)用余數(shù)95去除114,把商數(shù)“1”寫在114右邊的直線外，并

求得余數(shù)為19o

（4）用余數(shù)19去除95,把商數(shù)“5”寫在95左邊的直線外面，并

求得余數(shù)為0。

（5）當余數(shù)為0時，就可斷定余數(shù)0前面的那一個余數(shù)19,就是437

和551的最大公約數(shù)。

又如，求67和54的最大公約數(shù)，求法可以是

由余數(shù)可知，67和54的最大公約數(shù)是1。也就是說，67和54是互

質(zhì)數(shù)。

輾轉(zhuǎn)相除法，雖又稱作“歐幾里得算法”，實際上它是我國最先創(chuàng)造

出來的。早在我國古代的《九章算術》上，就有“以少減多，更相減損”

的方法求最大公約數(shù)的記載。一般認為，“輾轉(zhuǎn)相除法”即源于此。這比

西方人歐幾里得等人的發(fā)現(xiàn)要早600年以上。

輾轉(zhuǎn)相除法是求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的方法。如果要求三個或三個以

上數(shù)的最大公約數(shù)，可以用它先求出其中兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個

最大公約數(shù)與第三個數(shù)的最大公約數(shù)。這樣依次下去，直到最后一個數(shù)為

止。最后的一個最大公約數(shù)，就是這幾個數(shù)所要求的最大公約數(shù)。

【分數(shù)最大公約數(shù)求法】自然數(shù)的最大公約數(shù)的定義，可以擴展到分

數(shù)。一組分數(shù)的最大公約數(shù)一定是分數(shù)，而這組分數(shù)分別除以它們的最大

公約數(shù)，應得整數(shù)。

求一組分數(shù)的最大公約數(shù)的方法是:

（1）先將各個分數(shù)中的帶分數(shù)化成假分數(shù);

(2)再求出各個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)a；

(3)然后求出各個分數(shù)分子的最大公約數(shù)b；

(4)a作分母，b作分子，？即為所求。

a

例如，求5W、2m和6x的最大公約數(shù)；

689

先將各分數(shù)分別化成假分數(shù)，得3、3和

ooy

再求出三個分母的最小公倍數(shù)，得72；

然后求出三個分子35、21和56的最大公約數(shù)，得7；

以72為分母，以7為分子，得《，京就是5聯(lián)2羨和6^|?三個分數(shù)的最

1272689

大公約數(shù)。即

5527

(56-28169)=72°

【最小公倍數(shù)求法】求最小公倍數(shù)可采用下面三種方法。

(1)分解質(zhì)因數(shù)法。先把各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，在所有相同的質(zhì)因數(shù)中，

每一個取出指數(shù)最大的，跟所有不同的質(zhì)因數(shù)連乘起來，就是所求的最小

公倍數(shù)。

例如，求120、330和525的最小公倍數(shù)。

V120=23X3X5,

330=2X3X5X11,

525=3X52X7；

A[120,330,525]=23X3X52X7X11=46200

注:“[120,330,525]=46200”表示“120、330和525三個數(shù)的最

小公倍數(shù)是46200”。

(2)檢驗公約數(shù)法?！皺z驗公約數(shù)法”即“試除法”或“用短除法

的求法”，也就是小學數(shù)學課本上介紹的一般方法，此處略。

(3)先求最大公約數(shù)法。由于“兩個數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的最大

公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積”，即

a,b=(a,b)?[a,b]

所以，兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，可由這兩個數(shù)的乘積除以這兩個數(shù)的最

大公約數(shù)來求得。即

例如，求[42,105]。

2421052

4284(42,105)=21

-02T

42X105

[42,105]==210

21

若要求三個或三個以上的數(shù)的最小公倍數(shù)，可以先求其中兩個數(shù)的最

小公倍數(shù)，再求這個最小公倍數(shù)與第三個數(shù)的最小公倍數(shù)，再求這個最小

公倍數(shù)與第四個數(shù)的最小公倍數(shù)，……，如此依次做下去，直到最后一個

數(shù)為止。最后求得的那個最小公倍數(shù)，就是所要求的這幾個數(shù)的最小公倍

數(shù)。

例如，求[300,540,160,720]

300X540162000

■.,[300,540]=

(300,540)60

=2700

2700X160432000

[2700,160]=

(2700,160)20

=21600

21600X720

[21600,720]=

(21600,720)

1555200

720

=21600

/.[300,540,160,7201=21600

【分數(shù)最小公倍數(shù)求法】自然數(shù)的最小公倍數(shù)的定義，可以推廣到分

數(shù)。一組分數(shù)的最小公倍數(shù)，可能是分數(shù)，也可能是整數(shù)，但它一定是這

組分數(shù)中各個分數(shù)的整數(shù)倍數(shù)。

求一組分數(shù)的最小公倍數(shù)，方法是：

(1)先將各個分數(shù)中的帶分數(shù)化成假分數(shù)；

(2)再求出各個分數(shù)分子的最小公倍數(shù)a；

(3)然后求出各個分數(shù)分母的最大公約數(shù)b；

(4)用a作分子，b作分母，得1即為所求。

bb

例如，求55=、25]和的2最小公倍數(shù)：

689

先將各帶分數(shù)都化成假分數(shù)，得年和工；

689

再求各分數(shù)分子的最小公倍數(shù)，得

[35,21,56]=840；

然后求各分數(shù)分母的最大公約數(shù)，得

(6,8,9)=1

用840作分子，用1作分母，得罕，即840,840就是這三個分數(shù)的最

小公倍數(shù)。用式子表達出來，就是

552840

[5-T>2p,6-]=—j—=840

00^71

【數(shù)的互化方法】整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)，整數(shù)、假分數(shù)和帶分數(shù)，整數(shù)、

小數(shù)、分數(shù)和百分數(shù)，成數(shù)(或折數(shù))、分數(shù)和百分數(shù)，它們之間可以互

化，互化的方法見小學數(shù)學課本，此處略。

化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)，還可以用移動循環(huán)節(jié)的方法。例如

0.19=0.191919……(1)

0.19X100=19.191919..........(2)

(2)-(1),得019X99=19。

19

.-.0,19=—?

99

又如，0.37X10=3.777……(1)

0.37XI00=37,777……(2)

(2)-(1),得0.37X90=37-3

37-33417

??0.37=---------=—=—o

909045

由這些實例，可以得循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的法則如下：

(1)純循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的法則。純循環(huán)小數(shù)可以化成這樣的分數(shù)：分子

是一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字所組成的數(shù)；分母的各位數(shù)字都是9,“9”的個數(shù)

同循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。

(2)混循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的法則。混循環(huán)小數(shù)可以化成這樣的分數(shù)：分子

是小數(shù)點后面第一個數(shù)字到第一個循環(huán)節(jié)的末位數(shù)字所組成的數(shù)，減去不

循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)所得的差；分母的頭幾個數(shù)字是9,末幾位數(shù)字是0,

“9”字的個數(shù)同循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，“0”字的個數(shù)和不循環(huán)部分的位數(shù)

相同。

【分數(shù)化有限小數(shù)判斷法】

(1)對于既約(最簡)真分數(shù);，如果它的分母只含有質(zhì)因數(shù)2、5,即

b

分母b=2m-5%那么，這樣的分數(shù)便可以化成有限小數(shù)。

若進一步研究，它又有以下的三種情況：

①在分母b=2加?5"中，當m=n時，分數(shù);的分母就成為10的嘉，即

b

aaa

b~2m*5n~10r

例如，蒜"on。

②在分母b=2R?54中，當m〉n時，可以用5mx乘分數(shù)小二的分子

2?J

和分母，即

aaa?5m-na?5ffi-na?5m-n

--=------------=---------------------=,=-----------

b2m.5n2m?手?于-n2m.5mjQm

HMn111111x52275c…

例如’而"赤石=否充克=方=°275。

a

③在分母b=2m?511中，當m〈n時,可以用2皿乘分數(shù)的分子

2m.5tt

和分母，即

一”一m

aaa*za?2a.2Am

2m.n

b2m*5n2m.5n?2n-m510n

111111X2211X4

例如,=0.044o

2502X532X53.22103

（2）對于既約（最簡）真分數(shù);，如果它的分母或者不包含質(zhì)因數(shù)2,

b

5（即與10互質(zhì)），或者除2和5以外，還包含其他的質(zhì)因數(shù)，那么，這

樣的分數(shù)就不能化成有限小數(shù)，而只能化成無限循環(huán)小數(shù)。

這里，又有以下的兩種情況：

①當既約真分數(shù);中的分母b與10互質(zhì)時，即分母b不包含質(zhì)因數(shù)2

b

和5時，這樣的分數(shù)就可以化成純循環(huán)小數(shù)。循環(huán)節(jié)內(nèi)數(shù)字的個數(shù)，跟數(shù)

列

9,99,999,9999,.......

各項中，能被分母b整除的最小的數(shù)所含“9”字的個數(shù)相同。

例如1方9，因為分母37與10互質(zhì)，所以它能化成純優(yōu)環(huán)小數(shù)；又因為用

分母37去除9,99,999,9999,……,能整除的

最小的數(shù)是999,即

99937（即“999能被37整除”，""是整除符號；亦可逆讀為“37

能整除999”）

也可以表示為37I999（即“37能整除999”，“|"也是整除符號;

亦可逆讀為“999能被37整除”。）

這里“999”，含有3個“9”，所以它化成的純循環(huán)小數(shù)循環(huán)節(jié)內(nèi)數(shù)

字的個數(shù)也是3個：

—=0.513513513'

=0.513

②當既約真分數(shù):中的分母不僅含有質(zhì)因數(shù)2,5,而且還含有2和5

以外的質(zhì)因數(shù)，那么這樣的分數(shù)就可以化成混循環(huán)小數(shù)。它的不循環(huán)部分

數(shù)字的個數(shù)，跟2和5在分母內(nèi)最高乘方的指數(shù)相同；循環(huán)節(jié)內(nèi)數(shù)字的個

數(shù)，跟數(shù)列

9,99,999,9999,....

各項中，能被分母內(nèi)2和5以外的質(zhì)因數(shù)的積所整除的最小的數(shù)，所

含“9”字的個數(shù)相同。

5353」,

例如‘高TAX"，它的分母不僅含有2和5的質(zhì)因數(shù)，而且還含

質(zhì)因數(shù)11,所以這分數(shù)可以化成混循環(huán)小數(shù)。不循環(huán)部分數(shù)字的個數(shù)是3

個（最高乘方23的指數(shù)為3）,循環(huán)部分的循環(huán)節(jié)數(shù)字是兩個（11I99,

“9”的個數(shù)為2個）：

—=0.120454545……

440

=0.12045

概括起來，把分數(shù)化成小數(shù)，判斷其得數(shù)的情況，不外乎以下三種:

（1）若分母只含質(zhì)因數(shù)2,5,則化得的小數(shù)是有限小數(shù);

（2）若分母不含質(zhì)因數(shù)2,5,則化得的小數(shù)是純循環(huán)小數(shù)；

（3）若分母既含質(zhì)因數(shù)2,5,又含2和5以外的質(zhì)因數(shù)，則化得的

小數(shù)是混循環(huán)小數(shù)。

注意：判斷的前提是分數(shù)必須是既約（最簡）分數(shù)，否則很容易出錯。

【百分比濃度求法】用溶質(zhì)質(zhì)量占全部溶液質(zhì)量的百分比來表示溶液

濃度，叫做溶液的百分比濃度。求法是

百分比濃度=溶劑罐糯質(zhì)量X100%

或者是百分比濃度=鬻|乂100%

例如，用白糖（溶質(zhì)）1千克，開水（溶劑）4千克混合以后，所得

的糖水（溶液）的百分比濃度是

]=-7=0.2=20%

1+45

和差積商的變化規(guī)律

【和的變化規(guī)律】

（1）如果一個加數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，另一個加數(shù)不變，那么

它們的和也增加（或減少）同一個數(shù)。用字母表達就是

如果a+b=c,那么（a+d）+b=c+d；

（a-d）+b=c-d?

（2）如果一個加數(shù)增加一個數(shù)，另一個加數(shù)減少同一個數(shù)，那么它

們的和不變。用字母表達就是

如果a+b=c,那么（a+d）+（b-d）=c。

【差的變化規(guī)律】

（1）如果被減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，減數(shù)不變，那么，它們的

差也增加（或減少）同