上海市2022屆高三年級上冊一模暨春考模擬卷（一）數(shù)學試題

絕密★啟用前［4,6］上的解析式是

V3x+y<>4V3

上海市2022屆高三上學期一模暨春考模擬卷10.已知x,yeR,且滿足,若存在OwR使得xcose+（y-2）sine=2成立，則

（一）數(shù)學試題y>0

點PQ,y）構成的區(qū)域面積為

注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2、請將

11.正三棱錐P-48c的所有棱長均為1,L,M,N分別為棱PAP8,尸C的中點，則該正三棱錐

答案正確填寫在答題卡上的外接球被平面LMN所截的截面面積為.

一、填空題

12.設々力>0,滿足：關于x的方程屈+疝工l=b恰有三個不同的實數(shù)解與馬,與，且

1.已知集合U=Wx2-8x-9VO,xeZ},4=卜卜=J-d+8x+9,yez},則Q,A=.

x、〈x2<X3=b,則4+b的值為.

2.已知一個關于x、1的二元一次方程組的增廣矩陣是1,且/+〃+5?2”-助，

二、單選題

I。>b）

13.是的（）

則x+y=_:

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

3.i是虛數(shù)單位,若復數(shù)（1-2i）（a+i）是純虛數(shù)，z=x+ai（xeR）,則目的取值范圍為—

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2

人若代二卜，則-----------14.下面是關于復數(shù)2=一「的四個命題：

-1+1

①同=2；②z2=2i;③z的共輒復數(shù)為1+i；④z的虛部為T.

5.在報名的8名男生和5名女生中，選取6人參加志愿者活動，若男生甲和女生乙不同時參加，

則事件發(fā)生的概率為（結果用數(shù)值表示）.其中正確的命題（）

6.已知圓錐的母線長為5,側面積為20產(chǎn)，過此圓錐的頂點作一截面，則截面面積最大為A.②③B.①②C.②④D.③@

15.將函數(shù)y=sin（2x-彳）圖象上的點P（f/）向左平移$（5>0）個單位長度得到點P,若P，

34

位于函數(shù)）=犬的圖象上，則（）

7.若二項式+的展開式中式的三次項的系數(shù)是168,貝”皿（〃+/+/+…+優(yōu)）=0112

>/3n

一

A.，=彳，5的最小值為gB.t,26-

直

冗

的最小值為？，

C.r=g,sD.r2-3

8.己知橢圓*?+9=1（。>°）的焦點6、4,拋物線產(chǎn)=2px的焦點為r，若即=3房,

16.在平面直角坐標系中，定義在平血=網(wǎng){1卜一/1」%一％1}為兩點4%耳）、

若ZN/-p2恒成立，貝g的取值范圍為；

8g,%）的“切比雪夫距離”，又設點尸及/上任意一點Q,稱4P，。）的最小值為點尸到

9.設/"）是定義在R上以2為周期的奇函數(shù)，當匯引0,1］時，f（x）=log式.丫+1）,則函數(shù)/（x）在

直線/的“切比雪夫距離”，記作以尸、0,給出下列三個命題：20.己知下表為函數(shù)/(X)=混+s+d部分自變量取值及其對應函數(shù)值，為了便于研究，相關

①對任意三點A、B、C,都有d(GA)+d(C,BRd(A3)；

函數(shù)值取非整數(shù)值時，取值精確到0.0L

②已知點P(3,l)和直線/:2x-y-l=0,則d(p,/)=；；

X0.61-0.59-0.56-0.3500.260.421.573.27

③定點￡(一。，0)、瑪《,0),動點P(iy)滿足|d(P，E)-d(尸，瑪)1=2。(2c>Zz>0),

則點P的軌跡與直線N=Z(左為常數(shù))有且僅有2個公共點；

/(X)0.070.02-0.03-0.2200.210.20-10.04-101.63

其中真命題的個數(shù)是

A.0B.1C.2D.3據(jù)表中數(shù)據(jù)，研究該函數(shù)的一些性質；

三、解答題

17.在AABC中，sinA=：f.求cos8+VJcosC的取值范圍.(1)判斷函數(shù)“力的奇偶性，并證明；

18.如圖，在四棱錐尸一ABCD中，底面43co為直角梯形，BC//AD,AB±BC,ZADC=45°,

(2)判斷函數(shù)/(外在區(qū)間［0.55,0.6］上是否存在零點，并說明理由;

PA_L平面A3C￡>,AB=AP=l,AD=3.

(3)判斷〃的正負，并證明函數(shù)“力在Ho.435］上是單調遞減函數(shù).

21.對于數(shù)列A：q,%,?3(^GN,z=1,2,3),定義“丁變換”：丁將數(shù)列A變換成數(shù)列3：

片,%,其中a=同一qj(i=l,2),且-4.這種T變換“記作3=T(A).

繼續(xù)對數(shù)列8進行“7變換”，得到數(shù)列C：6,Q，依此類推，當?shù)玫降臄?shù)列各項均為0

時變換結束.

(1)求點。到平面P8c的距離；

(1)試問A：2,6,4經(jīng)過不斷的“7變換”能否結束？若能，請依次寫出經(jīng)過“丁變換”得

(2)求二面角3-PC-O的平面角的余弦值.

到的各數(shù)列；若不能，說明理由；

19.已知點冗、居依次為雙曲線C:二-4=1(。>0">0)的左、右焦點，且1開21=6,B,(0,-Z?),

6Tb-(2)設A：%,%，%，3=T(A).若B：b,2,?(?>/?),且8的各項之和為2012.求。，

B式0力).bi

(1)若。=百，以1=(3,-4)為方向向量的直線,經(jīng)過用，求今到/的距離；(3)在(2)的條件下，若數(shù)列5再經(jīng)過Z次“r變換”得到的數(shù)列各項之和最小，求女的最小

值，并說明理由.

UUUUUU

(2)若雙曲線C上存在點人使得2P=-2,求實數(shù)。的取值范圍.

參考答案

1.{-1,6,7,8,9)

通過解一元二次不等式，求解函數(shù)值域，結合xeZ,yeZ,用列舉法表示集合U,A,再結合補集

的定義，即得解

由題意，x2-8x-9=a-9)(x+l)<0.-.-l<A：<9,又xwZ

.”={-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

又y=V-X2+8X+9=7-U-4)2+25

由于04-(x-4)、25425..04J-(x-4>+2545，又yeZ

.-M={0,1,2,3,4,5}

故”={-1,6,7,8,9}

故答案為：{—1,678,9}

2.-3

根據(jù)增廣矩陣可求出x,y,再由/+從+5424-4。求出。力，即可求解.

[x-y=a

由題意可知八，

[y=b

解得x=a+b,y=b,

又因為/+〃+542a-46,

所以(a-l)2+3+2)2W0,

故a=1,6=-2,

即x+y=a+2Z?=l-4=-3,

故答案為：-3

3.[2,+00)

由(1-2i)3+i)=(a+2)+(l-2n)i為純虛數(shù)，可得a=—2,則目=6+422,即得解

由題意，(l-2i)(a+i)=(a+2)+(l-2a)i為純虛數(shù)，

(a+2=0

故《a=-2

/.z=x—2i

.\|Z|=V^2+4>2,BP|Z|G[2,+OO)

故答案為：[2,+8）

4.4點或20

根據(jù)行列式及對數(shù)的運算法則、性質求解.

噫犬-111.

因為-42尸，

所以1210g2*—4|=|21og2京X=1,

即10g2t=±g=±l°g2^，

解得x=4>/2或x=2應，

故答案為：4人或2人

5.0

26

根據(jù)組合知識計算總的取法，再由間接法求出男生甲和女生乙不同時參加的取法，根據(jù)古典概型求

解即可.

13人中任選6人參加有C2種，再除去甲乙2人同時參加的情況有-C：種，

C6-「4「4

由古典概型可知尸=q1=1-滴=5__2A

26-26

故答案為：321

26

「25

6.—

2

7T7T

圓錐軸截面頂角（兩母線夾角）小于等于彳時，軸截面面積最大，軸截面夾角大于7時，母線夾角

22

TT

為§時截面面積最大.

設圓錐的底面半徑為r,則S11s=5萬廠=2。萬，

.*.r=4,

，圓錐的高/7=疹7=3，

4

設軸截面中兩母線夾角為2。，則tan6=§>l,

.t0>一,2。>—,

42

TT

所以當兩母線夾角為5時，過此圓錐頂點的截面面積最大，

最大面積為S=；/2sin]=gx52=T.

故答案為:

7.1或T

利用二項式定理展開式公式可得("=27T/C；1-2r,令7—2r=3可得X的三次項的系數(shù)為:

2y/、婿=168,解得由等比數(shù)列前n項和公式，以及當〃一私時，°"-0,

4

1加仿+/+蘇+…+〃")=lim四一叫二，-,代入即得解

〃+o'7“一田(\-a)[-a

由二項式定理展開式公式可得展開式的通項公式為：

rr2r

Tr+I=C；(2x)=(q)=i-aC^-,

令7-2『=3可得：r=2,則x的三次項的系數(shù)為：27-2a2xC^,

據(jù)此可得：27%2*盤=168,解得：a2=l

4

故當”時，an->0

則lim(a+“2+〃3---卜/)=limf——々

7

，f'"-個\-aJ\-a

當a=—時、lim(a+a2+/+…+4)=1

2〃T8''

當a=_g時，lim^a+a2+a3H--Fa")=-g

故答案為：1或

8.[l,+oo)

由辟=3/，可得橢圓焦點在x軸上，用坐標表示群=3用可得/-p2=],即得解

由題意稈=3布，故月、6、尸三點共線，即橢圓焦點在x軸上，a>l

故橢圓的焦點為月(-7?2-1,0),6(Va2-1,0)，拋物線的焦點F(5，0)

用坐標表示肝=3%，有g+>/7^T,0)=3(>/7二T-與0)

可得〃=即“2—p2=l

i^z>a2-p2=l

即z的取值范圍為[1,+8)

故答案為：[l,+°o)

q外)=[/。處"+3)”[4,5)

一[-log2(7-x),xe[5,6]

根據(jù)函數(shù)的周期及函數(shù)為奇函數(shù)，分段求解函數(shù)的解析式即可.

因為Ax)是定義在R上以2為周期的奇函數(shù)且xeOll時，/(x)=log2(x+l),

設xw[4,5),則工一4￡[。,1),

所以/(3)=/(%-4)=叫2(工一3),

設xw[5,6],貝!]x-6e[-l,0],-(X-6)G[0,1],

故f(x)=f(x-6)=-f[-(x-6)]=-log2(6-x+1)=-log2(7-x).

綜上可得，函數(shù)"X/、)在「[4,6r]上的解析式是/小、)=]_￡式(x7-3，),x)心e[4[,5,)6]

■us士dcl\體g2(x+3),xe[4,5)

故答案為‘〃力|丁蒜7一九邛同

10.5>/3--

3

29

轉化xcos8+(y_2)sin(9=2為sin(a+，)=------,即~——<1,QPx2+(y-2)2>4,

Jx+(y-2)-Jx?+(y-2)2

則對應的區(qū)域為以C(0,2)為圓心，r=2的圓的外部，用三角形面積減去區(qū)域內(nèi)弓形的面積即可

作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：對應的區(qū)域為三角形OAB,

若存在。eR使得xcos6+(y-2)sin6=2成立,

22

則Jx+(y-2)]文^=cos「+)2sin，=2

7.1次+(-2)2々+(.2)2J

^xy-Z

企sina=.?|i|i|cosa=…]

“2+(k",二J「+(kJ?'

則方程等價為Jf+gysin(a+。)=2,

2

即sin(a+O)=

Jf+(y_2)2

"存在6eR使得xcos6+(y—2)sine=2成立,

2

<l,BP%2+(y-2)2>4,

yjx2+(y—2)2

則對應的區(qū)域為以C(0,2)為圓心，廠=2的圓的外部，即如圖所示的陰影部分

y=46二晝,即8(2,2①

由，解得

一丫=0

A(4,0),則三角形OAB的面積S=；x4x2石=46,

直線y=gx的傾斜角為

TT7T

則NAO3=—，;.NCOB=-

36

取。為直線y="r交圓所得弦的中點，則8,08

“后一瀉

.-.CD=1,00=73

10jr12元Ajr—

因此三角形OAB區(qū)域內(nèi)的弓形面積為：-X—x22--x2x2xsiny-y-^

故陰影部分面積為：4^-(y-^)=5^-y

故答案為：5G--

11.

3

結合已知條件計算出正三棱錐外接球球心的位置，得到球心到兩個面的距離相等，即可計算出截面

面積.

解：由條件知平面LMN與平面ABC平行，且點P到平面LMMA8C的距離之比為1:2.設H為正

三棱錐尸-ABC的面ABC的中心，尸”與平面LWV交于點K,則P”_L平面ABC,PK_L平面LWN,

故PK」PH.

2

正三棱錐P-ABC可視為正四面體，設0為其中心(即外接球球心)，則0在P”上，且由正四面

體的性質知=結合可知OK=OH,即點0到平面LMMABC等距.這表明

42

正三棱錐的外接球被平面LMN,ABC所截得的截面圓大小相等.從而所求截面的面積等于的

外接圓面積，即萬/半〕=：.

故答案為：—

關鍵點點睛：解答本題的關鍵是確定正三棱錐外接球的球心位置，在解答此類題目時要注意幾何體

的特征，還可以考慮一些特殊位置等.

12.144.

令f=x+g將方程根的問題轉化為函數(shù)問題，結合函數(shù)的奇偶性和單調性進行計算，即可得到結

2

果.

解：令，=x+],則關于t的方程=6恰有三個不同的實數(shù)解f,=玉+=1，2,3).

由于即出+后

為偶函數(shù)，故方程/(，)=〃的三個實數(shù)解關于數(shù)軸原點對稱分布，從而

必有6=/(0)=癡.以下求方程/")=后的實數(shù)解.

當時，/(r)=0?+J|7?=而正干4衣■，等號成立當且僅當r=0；當時?，/?)

單調增，且當f=當寸/心=而；當時，/⑺單調減，且當，=-當時

82o

從而方程/⑴=疝■恰有三個實數(shù)解G=-k山=04=。.

OO

由條件知6=工3=2，結合6=0^得a=128.

2o

于是。+6=也=144.

8

故答案為：144

關鍵點點睛：要求解方程的根，關鍵是轉化為函數(shù)問題，結合函數(shù)的奇偶性和單調性進行求解，考

查轉化能力.

13.D

由2,41Ox40,結合充分條件、必要條件的定義，即可判斷

由題意，2*410x40

故推不出“2*41”，即充分性不成立；

“2、41”也推不出，即必要性不成立

故是“2、41”的既不充分也不必要條件

故選：D

14.C

z=.=>|z|=.=^==V2,z2=(1+1)2=2z,,

—l+i—l+iJ2

22(-1-z)

2=——：=-------二一1一〃.彳=一1+、z的虛部為_1.所以選②④，選C.

-1+z2

15.A

由題意得，f=sin(2x?-g=g,

可得咋\1)；

因為P'位于函數(shù)丫=《112》的圖象上

所以s￡n|2s)=cos2s=：

可得2sM+2k7v,$=土:+卜7r

7T

s的最小值為一，故選A.

6

【名師點睛】

三角函數(shù)圖象的變換，有兩種選擇：一是先伸縮再平移，二是先平移再伸縮.特別注意：①平移變

換時，當自變量X的系數(shù)不為1時，要將系數(shù)先提出；②翻折變換要注意翻折的方向；③三角函數(shù)

名不同的圖象變換問題，應先將三角函數(shù)名統(tǒng)一，再進行變換.

16.D

設A(x””),B(XB，yll),C(xc,yc),由題意可得：

4/(CM)+^(C,B)=max(|x/l-xc|,|y/l-yc|}+max{|xfl-xc|,|yfi-yc|)

XXXxxx

^\A-C\+\B-c\^\A~B\y

同理可得：d(C,A)+d(C,B)>\yA-，則:

d[C,A)+d(C,B)>max{|x4-xB|,|yA-yfi|}=,

命題①成立；

設點Q是直線y=2x-l上一點，且Q(x,2x-1),可得"(P.Q)=max{|x-3|,|2-2鄧，

由|x-3閆2-24解得-IVxM：,即有d(P.Q)=|x-3|,當z=；時取得最小值g；

由|x-3|<|2-2乂，解得x>\或xvT,即有d(P,Q)=|2x-2|,

"(P.Q)的范圍是(3,+8)嗚,+8)=(*+8),無最小值.

4

綜上可得，P,Q兩點的“切比雪夫距離”的最小值為

說法②正確.

定點片(―G。)、鳥(c,0),動點P(x,y)滿足|d(P，K)-d(P,/Q|=2a(2c>加>0),則:

|max||x+c|,|y||-max{|x-c|,|y|}|=2a,

顯然上述方程所表示的曲線關于原點對稱，故不妨設x》0,y50.

⑴當時，有k+dTx-d卜幼，得:；

|x-c|>y11[0<y<tz-c

|x+c|<y

⑵當《「時，有0=2a,此時無解；

■

x+c>y

⑶當《時，有x+c-y=2a,avx；

x-c<y

則點P的軌跡是如圖所示的以原點為中心的兩支折線.

結合圖象可知，點p的軌跡與直線y=&(4為常數(shù))有且僅有2個公共點，命題③正確.

綜上可得命題①②③均正確，真命題的個數(shù)是3.

本題選擇D選項.

點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此

新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.

對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質，它們考查的還是基

礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.

17.(0,l]U(2訴

由已知條件得到角A的值，分類討論兩種情況，然后結合兩角和的正弦公式逆用求得取值范圍.

解：記/=cosB+-JlcosC.

由條件知4=1或4=芋.

44

當4=工時，B=--C,其中0<C<陽，此時

444

/=cos[充-c1+&cosC=sinC+cosC=sine(0,1]

當4=至時，B=--C,其中0<C<X,此時

444

f=cos(5-。)+&cosC=sinC+~~~cosC=A/5sin(C+cp),

其中夕=arctan3.

注意到函數(shù)g(x)=6sin(x+e)在上單調增，在^-夕，手上單調減，又

L，」L，4_

g(o)=^^>2=g(?),g(]-e)=6，故/c(2,逐].

綜上所述，/=cosB+ecosC的取值范圍是(0JU(2,6].

關鍵點點睛：解答本題的關鍵是熟練運用兩角和正弦公式，需要注意對角A的分類討論.

18.(1)也(2)-2夜

211

(1)建立空間直角坐標系，計算平面PBC的法向量，由點面距離的向量公式即得解；

(2)計算平面PCD的法向量，結合(1)中平面PBC的法向量，利用二面角的向量公式即得解

(1)由題意，R4,平面ABCD,BC//AD,ABLBC,

AB±AD

以A為坐標原點，48,4。,AP所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系

則P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,3,0),

設平面PBC的一個法向量為5=(x,y,z),

麗=(1,0,-1),BC=(0,2,0),CD=(-1，1，0),

n-PB=x-z=0

取x=l,得5=(1,0,1),

n-BC=2y=0

\n-CD\_V2

點D到平面PBC的距離d=Li

H一2

(2)由(1)可得平面PBC的一個法向量為元=(1,0,1),

設平面PCD的一個法向量為而=(a,b,c),

PC=(1,2,-1),CD=(-1,1,0),

in-PC=a+2b-c=0

取。二1得加=(1,1,3)，

inCD=-a+b=O

設二面角B-PC-D的平面角為a,由圖得二面角為鈍角

mn4-201

故cosa=一|

麗||初一722II

(1)由題意知，c=3,a=不，根據(jù)a,。,c的關系求出方，根據(jù)向量的共線定理設出直線方程

l-.4x+3y+m=0,再代入點與，求出直線方程，根據(jù)點到直線的距離公式計算距離；(2)設出點

P(x,y),根據(jù)數(shù)量積公式得V+y2=2,再根據(jù)點尸(x,y)在雙曲線上得y2=%-凡聯(lián)立求

解以后根據(jù)國之“代入不等式求范圍即可.

(1)依題意，6=J^=2,則雙曲線C:三-±=1,耳(0,-2),乙(3,0),

54

設直線/:4x+3y+m=0,將用(0,-2)代入解得：加=6,

此時/:4x+3y+6=0,F冽/的距離為"弋；

(2)設雙曲線上的點P(x,y)滿足西?呵=-2,即，+/=6-2,

r22f2h22

又r--=1=>y2=—rx2-b2f(1H"--)x2=2b2—2,即七/=2//-2,

ab~aaa

：22a之，且c?=9,/.2h2-2>9^>,

又因為bvc=3,.?.實數(shù)b的取值范圍是［亨,3).

解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x或丫建立一元二次方程，然后借

助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系或者不等關系求解.

20.(1)奇函數(shù)，見解析；(2)存在，理由見解析；(3)。<0,見解析

(1)通過代入(0,0)點解得d=O,再利用奇偶性的定義即可判斷出奇偶性.

(2)根據(jù)零點判斷法則，f(x)為連續(xù)函數(shù)，只需在區(qū)間內(nèi)尋找符號相反的兩個值即可.

(3)根據(jù)(1)與(2)可知，f(x)為奇函數(shù)且在［0.55,0.6］上存在零點.由此可判斷/(x)在［-0.6,-0.55］

也存在零點，即可設兩個零點為“與-m,并代入點建立包含“與"?的不等式，即可判斷〃的符號.利

用。的符號采用定義法證明"X)單調性，即證明

(1)因為/(())=(),所以"=O,f(x)=ax3+ex,由/(-x)=-/(x),

所以f(x)為奇函數(shù).

(2)由已知可得/(0.59)=-/(-0.59)<0,/(0.56)=-/(-0.56)>0,所以在［0.55,0.59］,所以

/(x)在［0.55,0.6］上存在零點.

(3)因為/3在［0.55,0.6］上存在零點，"，=+5是奇函數(shù)，所以f(x)在［-0.6,-0.55］上存

在零點一加，

所以/(X)=ax{x-m){x+m),

/(0.57)=a?1.57?(1.57—加)(1.57+ni)<0

而1.57—相>0,1.57+6>0,所以av0

因為f(X)在［0.55,0.6］上存在零點，

所以0.554^^40.6,^e［-0.36,-0.3025］.

設<x2<-0.35

/Uo)一/(x,)=a(x2一玉)(為2++Z?+上)，