排列組合題以及公式

PAGE2PAGE5排列與組合的共同點是從n個不同的元素中，任取m（m≤n）個元素，而不同點是排列是按照一定的順序排成一列，組合是無論怎樣的順序并成一組，因此“有序”與“無序”是區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志．下面通過實例來體會排列與組合的區(qū)別．

【例題】判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計算出種數(shù)．

（1）高二年級學(xué)生會有11人：①每兩人互通一封信，共通了多少封信？②每兩人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二數(shù)學(xué)課外活動小組共10人：①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數(shù)學(xué)競賽，有多少種不同的選法？

（3）有2、3、5、7、11、13、17、19八個質(zhì)數(shù)：①從中任取兩個數(shù)求它們的商，可以有多少個不同的商？②從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積？

（4）有8盆花：①從中選出2盆分別給甲、乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？

【思考與分析】（1）①由于每兩人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)，是排列；②由于每兩人互握一次手，甲與乙握手、乙與甲握手是同一次握手，與順序無關(guān)，所以是組合問題．其他類似分析．

解：（1）①是排列問題，共通了=110（封）；②是組合問題，共需握手==55（次）

（2）①是排列問題，共有=10×9=90（種）不同的選法；②是組合問題，共=45（種）不同的選法；

（3）①是排列問題，共有=8×7=56（個）不同的商；②是組合問題，共有=28（個）不同的積；

（4）①是排列問題，共有=56（種）不同的選法；②是組合問題，共有=28（種）不同的選法．

【反思】區(qū)分排列與組合的關(guān)鍵是“有序”與“無序”.排列與組合的概念與計算公式

1．排列及計算公式

從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號p(n,m)表示.

p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1).

2．組合及計算公式

從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號

c(n,m)表示.

c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);

３．其他排列與組合公式

從n個元素中取出r個元素的循環(huán)排列數(shù)＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

n個元素被分成k類，每類的個數(shù)分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數(shù)為

n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k類元素,每類的個數(shù)無限,從中取出m個元素的組合數(shù)為c(m+k-1,m).

排列的計算公式:

第一位的可能性×第二位的可能性××第N位的可能性

例如

5個人排隊,第三個人的位置不變,那么第一位置的可能性是4,第二位置的可能性是3,第三位置的可能性是1,第四位置的可能性是2,第五位置的可能性是1,那么共有5×4×1×2×1=40種

組合的公式:

我舉例來說吧

第一規(guī)則:從五個事物里取三種事物組合與從五個事物里取二種事物組合是相同的

第二種規(guī)則:從五個事物里取三種事物組合的組合數(shù)

(5×4×3)÷(3×2×1)

從五個事物里取二種事物組合的組合數(shù)

(5×4)÷(2×1)

從十里取八與從十里取二相同

(10×9×8×7...取幾個數(shù)就依次乘幾個數(shù))÷(8的階乘)

備注:8階乘就是從８依次乘到1

數(shù)學(xué)補差（4）———計數(shù)原理1．將個不同的小球放入個盒子中，則不同放法種數(shù)有A．B．C．D．2．個人排成一排,其中甲、乙兩人至少有一人在兩端的排法種數(shù)有A．B．C．D．20、2321、1522、10523、48024、0.95625．解：（1）甲固定不動，其余有，即共有種；（2）甲有中間個位置供選擇，有，其余有，即共有種；（3）先排甲、乙、丙三人，有，再把該三人當(dāng)成一個整體，再加上另四人，相當(dāng)于人的全排列，即，則共有種；（4）從甲、乙之外的人中選個人排甲、乙之間，有，甲、乙可以交換有，把該四人當(dāng)成一個整體，再加上另三人，相當(dāng)于人的全排列，則共有種；（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五個空位，甲、乙、丙三人排這五個空位，有，則共有種；（6）不考慮限制條件有，甲在乙的左邊（不一定相鄰），占總數(shù)的一半，即種；（7）先在個位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三個空位，甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序自動入列，不能亂排的，即（8）不考慮限制條件有，而甲排頭有，乙排當(dāng)中有，這樣重復(fù)了甲排頭，乙排當(dāng)中一次，即6．解：設(shè)，令，得令，得4．已知展開式中的二項式系數(shù)的和比展開式的二項式系數(shù)的和大,求展開式中的系數(shù)最大的項和系數(shù)量小的項.5．（2）的展開式奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，則求展開式中二項式系數(shù)最大項。(數(shù)學(xué)選修2--3)第一章計數(shù)原理[綜合訓(xùn)練B組]一、選擇題二、填空題[提高訓(xùn)練C組]一、選擇題4．設(shè)含有個元素的集合的全部子集數(shù)為，其中由個元素組成的子集數(shù)為，則的值為A.B．C．D．5．若，則的值為A.B．C．D．二、填空題2．在△的邊上有個點，邊上有個點，加上點共個點，以這個點為頂點的三角形有個.5．若則自然數(shù)_____.三、解答題1．個人坐在一排個座位上,問(1)空位不相鄰的坐法有多少種?(2)個空位只有個相鄰的坐法有多少種?(3)個空位至多有個相鄰的坐法有多少種?2．有個球,其中個黑球,紅、白、藍(lán)球各個，現(xiàn)從中取出個球排成一列，共有多少種不同的排法？數(shù)學(xué)選修2-3第一章計數(shù)原理[基礎(chǔ)訓(xùn)練A組]一、選擇題1．B每個小球都有種可能的放法，即2．C分兩類：（1）甲型臺，乙型臺：；（2）甲型臺，乙型臺：3．C不考慮限制條件有，若甲，乙兩人都站中間有，為所求4．B不考慮限制條件有，若偏偏要當(dāng)副組長有，為所求5．B設(shè)男學(xué)生有人，則女學(xué)生有人，則即6．A令7．B8．A只有第六項二項式系數(shù)最大，則，，令二、填空題1．（1）；（2）；（3）2．先排女生有，再排男生有，共有3．既不能排首位，也不能排在末尾，即有，其余的有，共有4．，令5．6．先排首末，從五個奇數(shù)中任取兩個來排列有，其余的，共有7．當(dāng)時，有個四位數(shù)，每個四位數(shù)的數(shù)字之和為；當(dāng)時，不能被整除，即無解8．不考慮的特殊情況，有若在首位，則三、解答題1．解：（1）=1\*GB3①是排列問題，共通了封信；=2\*GB3②是組合問題，共握手次。（2）=1\*GB3①是排列問題，共有種選法；=2\*GB3②是組合問題，共有種選法。（3）=1\*GB3①是排列問題，共有個商；=2\*GB3②是組合問題，共有個積。2．解：（1）甲固定不動，其余有，即共有種；（2）甲有中間個位置供選擇，有，其余有，即共有種；（3）先排甲、乙、丙三人，有，再把該三人當(dāng)成一個整體，再加上另四人，相當(dāng)于人的全排列，即，則共有種；（4）從甲、乙之外的人中選個人排甲、乙之間，有，甲、乙可以交換有，把該四人當(dāng)成一個整體，再加上另三人，相當(dāng)于人的全排列，則共有種；（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五個空位，甲、乙、丙三人排這五個空位，有，則共有種；（6）不考慮限制條件有，甲在乙的左邊（不一定相鄰），占總數(shù)的一半，即種；（7）先在個位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三個空位，甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序自動入列，不能亂排的，即（8）不考慮限制條件有，而甲排頭有，乙排當(dāng)中有，這樣重復(fù)了甲排頭，乙排當(dāng)中一次，即3．解：得4．解：，的通項當(dāng)時，展開式中的系數(shù)最大，即為展開式中的系數(shù)最大的項；當(dāng)時，展開式中的系數(shù)最小，即為展開式中的系數(shù)最小的項。5．解：（1）由已知得（2）由已知得，而展開式中二項式系數(shù)最大項是。6．解：設(shè)，令，得令，得數(shù)學(xué)選修2-3第一章計數(shù)原理[綜合訓(xùn)練B組]一、選擇題1．C個位，萬位，其余，共計2．D相當(dāng)于個元素排個位置，3．B從到共計有個正整數(shù)，即4．A從中選個，有，把看成一個整體，則個元素全排列，共計5．A先從雙鞋中任取雙，有，再從只鞋中任取只，即，但需要排除種成雙的情況，即，則共計6．D，系數(shù)為7．A，令則，再令8．D二、填空題1．每個人都有通過或不通過種可能，共計有2．四個整數(shù)和為奇數(shù)分兩類：一奇三偶或三奇一偶，即3．，其中重復(fù)了一次4．5．的通項為其中的通項為，所以通項為，令得，當(dāng)時，，得常數(shù)為；當(dāng)時，，得常數(shù)為；當(dāng)時，，得常數(shù)為；6．件次品，或件次品，7．原式，中含有的項是，所以展開式中的的系數(shù)是8．直接法：分三類，在個偶數(shù)中分別選個，個，個偶數(shù)，其余選奇數(shù)，；間接法：三、解答題1．解：中有元素。2．解：（1）原式。（2）原式。另一方法：（3）原式3．證明：左邊右邊所以等式成立。4．解：，在中，的系數(shù)就是展開式中的常數(shù)項。另一方法：，5．解：拋物線經(jīng)過原點，得，當(dāng)頂點在第一象限時，，則有種；當(dāng)頂點在第三象限時，，則有種；共計有種。6．解：把個人先排，有，且形成了個縫隙位置，再把連續(xù)的個空位和個空位當(dāng)成兩個不同的元素去排個縫隙位置，有，所以共計有種。數(shù)學(xué)選修2-3第一章計數(shù)原理[提高訓(xùn)練C組]一、選擇題1．B2．D男生人，女生人，有；男生人，女生人，有共計3．A甲得本有，乙從余下的本中取本有，余下的，共計4．B含有個元素的集合的全部子集數(shù)為，由個元素組成的子集數(shù)為，5．A6．D分三種情況：（1）若僅系數(shù)最大，則共有項，；（2）若與系數(shù)相等且最大，則共有項，；（3）若與系數(shù)相等且最大，則共有項，，所以的值可能等于7．D四個點分兩類：（1）三個與一個，有；（2）平均分二個與二個，有共計有8．D復(fù)數(shù)為虛數(shù)，則有種可能，有種可能，共計種可能二、填空題1．分三類：第一格填，則第二格有，第三、四格自動對號入座，不能自由排列；第一格填，則第三格有，第一、四格自動對號入座，不能自由排列；第一格填，則第撕格有，第二、三格自動對號入座，不能自由排列；共計有2．3．，；4．，令5．6．而，得7．8．設(shè)，令，得令，得，三、解答題1．解：個人排有種,人排好后包括兩端共有個“間隔”可以插入空位.(1)空位不相鄰相當(dāng)于將個空位安插在上述個“間隔”中,有種插法，故空位不相鄰的坐法有種。(2)將相鄰的個空位當(dāng)作一個元素,另一空位當(dāng)作另一個元素,往個“間隔”里插有種插法,故個空位中只有個相鄰的坐法有種。(3)個空位至少有個相鄰的情況有三類