人教版初中數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)：二次函數(shù)-知識講解（基礎(chǔ)）

第十講二次函數(shù)

【考綱要求】

1.二次函數(shù)的概念常為中檔題.主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)、確定解析式、自變量的取值范圍等；

2.二次函數(shù)的解析式、開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等是中考命題的熱點(diǎn)；

3.拋物線的性質(zhì)、平移、最值等在選擇題、填空題中都出現(xiàn)過，覆蓋面較廣，而且這些內(nèi)容的綜合題

一般較難，在解答題中出現(xiàn).

【知識網(wǎng)絡(luò)】

二次函數(shù)的概念

yH工，，y

-

實(shí)

二L二次函數(shù)的圖象

際

次-yar2(a0)=ax2+c(a#0)

問

函

題

數(shù)y=a(x-A>,+A(a*0),，=ax1+ta+c(.a#0)

二次函數(shù)的對稱軸、B(點(diǎn)坐標(biāo)

用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系

一元二次方程利用二次函數(shù)的圖函求一元二次

方程的解

(-剎車距離

實(shí)際問JK與二次函數(shù)何時(shí)獲得^大利洞

最大面積是多少

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一、二次函數(shù)的定義

一般地，如果,=以2+法+。%、b、c是常數(shù)，a#0),那么y叫做x的二次函數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

二次函數(shù)y=o?+加:+c(a#0)的結(jié)構(gòu)特征是：(1)等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次

式，x的最高次數(shù)是2.(2)二次項(xiàng)系數(shù)aWO.

考點(diǎn)二、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

bAac-b1

1.二次函數(shù)y辦2+法+c(aWO)的圖象是一條拋物線，頂點(diǎn)為

2a'4a

2.當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上；當(dāng)aVO時(shí)，拋物線的開口向下.

3.①|(zhì)a|的大小決定拋物線的開口大小.Ia|越大，拋物線的開口越小，|a越小，拋物線的開口越大.

②c的大小決定拋物線與y軸的交點(diǎn)位置.c=O時(shí)，拋物線過原點(diǎn)；c>0時(shí)，拋物線與y軸交于正半

軸；c<0時(shí)，拋物線與y軸交于負(fù)半軸.

③ab的符號決定拋物線的對稱軸的位置.當(dāng)ab=O時(shí)，對稱軸為y軸；當(dāng)ab>0時(shí)，對稱軸在y軸

左側(cè)；當(dāng)ab<0時(shí)，對稱軸在y軸的右側(cè).

4.拋物線y=a(x+〃)2+上的圖象，可以由y=ax?的圖象移動而得到.

將,=如2向上移動k個(gè)單位得：y=ax2+k.

將y=ax2向左移動h個(gè)單位得：y=a{x+h)1.

將y=先向上移動k(k>0)個(gè)單位，再向右移動h(h>0)個(gè)單位，即得函數(shù)y=a(x—〃)2+A的

圖象.

要點(diǎn)詮釋:

求拋物線y=ax2+bx+c(a#O)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法,

這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用.

考點(diǎn)三、二次函數(shù)的解析式

1.?—般式：y-ax1+bx+c(a^O).

若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)，則設(shè)所求二次函數(shù)為丁=依2+法+c,將已知條件代入，求出a、

b、c的值.

2.交點(diǎn)式(雙根式)：y=。(工一%)(工一工2)(。工0).

若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi,0),(X2,0),設(shè)所求二次函數(shù)為

y=a(x-xi)(x-x2),將第三點(diǎn)(m,n)的坐標(biāo)(其中m、n為已知數(shù))或其他已知條件代入，求出待定系

數(shù)，最后將解析式化為一般形式.

3.頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a0).

若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值(或最小值)，設(shè)所求二次函數(shù)為

y^a(x-h)2+k,將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式.

4.對稱點(diǎn)式：y=a(x-xl)(x-x2)+m(a^0).

若已知二次函數(shù)圖象上兩對稱點(diǎn)(x“m),(xz,m),則可設(shè)所求二次函數(shù)為

)=。(%一用)(工一々)+加3/0)，將已知條件代入，求得待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式.

要點(diǎn)詮釋：

已知圖象上三點(diǎn)或三對X、V的值，通常選擇一般式.已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

(可以看成y=的圖象平移后所對應(yīng)的函數(shù)).已知圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)/、心，通常選用交點(diǎn)式:

bc

y=X)(aWO).(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：w+5=一一，再碼二—).

2aa

考點(diǎn)四、二次函數(shù)y=aF+/u?+c(a#O)的圖象的位置與系數(shù)a、b、c的關(guān)系

1.開口方向：a>0時(shí)，開口向上，否則開口向下.

h/?

2.對稱軸：——>0時(shí)，對稱軸在y軸的右側(cè)；當(dāng)——<0時(shí)，對稱軸在y軸的左側(cè).

2a2a

3.與x軸交點(diǎn)：。2一4。。>0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；廿―4ac=0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；/一4。。<0時(shí)，沒有交

點(diǎn).

要點(diǎn)詮釋：

當(dāng)x=l時(shí),函數(shù)y=a+b+c；

當(dāng)x=T時(shí)，函數(shù)y=a-b+c；

當(dāng)a+b+c>0時(shí)，x=l與函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸上方，否則在下方；

當(dāng)a-b+c>0時(shí)，x=-l與函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸的上方，否則在下方.

考點(diǎn)五、二次函數(shù)的最值

b4"，、一

L當(dāng)a>0時(shí)，拋物線y=以2+bx+c有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值，當(dāng)工=----時(shí);丁最小=----------

2。4。

2.當(dāng)a<0時(shí)，拋物線丁=以2+/^+。有最高點(diǎn)，函數(shù)有最大值，當(dāng)x=—2時(shí)，y最大=4或二J

2a4a

要點(diǎn)詮釋:

在求應(yīng)用問題的最值時(shí)，除求二次函數(shù)^=必2+法+。的最值，還應(yīng)考慮實(shí)際問題的自變量的取值

范圍.

【典型例題】

類型一、應(yīng)用二次函數(shù)的定義求值

1.二次函數(shù)y=x2-2(k+1)x+k+3有最小值-4,且圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，則k的值

是.

【思路點(diǎn)撥】

因?yàn)閳D象的對稱軸在y軸的右側(cè)，所以對稱軸x=k+l>0,即k>T；又因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x?-2(k+l)x+k+3

有最小值-4,所以y維小值=心+3)Yk+2)2=-%可以求出卜的值.

4

【答案與解析】

解：；圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，

...對稱軸x=k+l>0,

解得k>-l,

,二次函數(shù)y=x、2(k+1)x+k+3有最小值-4,

,4(k+3)-(2k+2)222

.\y最小值=-------------------=k+3-(k+1)=_k-k+2=_4)

4

整理得k2+k-6=0,

解得k=2或k=-3,

Vk=-3<-L不合題意舍去，

，k=2.

【總結(jié)升華】求二次函數(shù)的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，

第三種是公式法.

舉一反三：

【變式】已知y=(4+3)_/+卜4是二次函數(shù)，求k的值.

,[k2+k-4-2

【答案】?.?丁=(左+3)/+1是二次函數(shù)，則"'

"左+3。0,

由公+%—4=2得公+女—6=0,

即伏+3)/—2)=0,得勺=-3,-=2.顯然,當(dāng)k=-3時(shí)，

原函數(shù)為y=0,不是二次函數(shù).

k=2即為所求.

類型二、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用

C2.把拋物線y=-V向左平移1個(gè)單位，然后向上平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式

為().

A.y=-(x-l)2-3B.y=-(x+l)2-3

C.y—(x—1)~+3D.y~—(x+1)'+3

【思路點(diǎn)撥】

拋物線的平移問題，實(shí)質(zhì)上是頂點(diǎn)的平移，原拋物線丫=-(頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),向左平移1個(gè)單位，然

后向上平移3個(gè)單位后，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3),根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式可求平移后拋物線的解析式.

【答案】D；

【解析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律可知：y=-x2向左平移1個(gè)單位可變成y=-(x+l)2,

再向上平移3個(gè)單位后可變成y=-(％+1)?+3.

【總結(jié)升華】(Dy圖象向左或向右平移|h|個(gè)單位，可得y=a(x—〃了的圖象(hVO時(shí)向左，h>0

時(shí)向右).

(2)曠=如2的圖象向上或向下平移打個(gè)單位，可得、=62+后的圖象(k>o時(shí)向上，k<0

時(shí)向下).

舉一反三：

【變式】將二次函數(shù)y=x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度后，所得圖象的函

數(shù)表達(dá)式是()

A.y=(x-1)2+2B.y=(x+l)2+2

C.y=(x-l/-2D.y=(x+l)2-2

【答案】按照平移規(guī)律”上加下減，左加右減"得y=(x-l)2+2.故選A.

類型三、求二次函數(shù)的解析式

6^3.已知二次函數(shù),=如2+"+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(-5,0),頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為g,

求這個(gè)二次

函數(shù)的解析式.

【思路點(diǎn)撥】

zi/jp—b’9

將點(diǎn)(1,0),(-5,0)代入二次函數(shù)y=ax°+bx+c,再由-------=一,從而求得a,b,c的值,

4a2

即得這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

【答案與解析】

1

(1----------

a+b+c=Q,2'

解得權(quán)=-2,

解法一：由題意得《25a—5b+c=O,

，c，95

4a-2o+c=—,

I22

1,5

所以二次函數(shù)的解析式為y=-5x2—2x+].

解法二：由題意得y=a(x-l)(x+5).

99]

把x=_2y=_代入，得a(_2_l)x(_2+5)=_,解得a=--.

222

所以二次函數(shù)的解析式為y=—,(X—l)(x+5),

1,5

即y=—x—2xH—.

22

解法三：因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(1,0),(-5,0),由其對稱性知,

對稱軸是直線x=—2.所以，拋物線的頂點(diǎn)是

915

可設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x+2)2+~.即y=~-x2-2x+-.

【總結(jié)升華】根據(jù)題目的條件，有多種方法求二次函數(shù)的解析式.

舉一反三:

【高清課程名稱：二次函數(shù)與中考高清ID號：359069關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點(diǎn)名稱)：經(jīng)典例題1】

【變式】已知：拋物線y=x2+3—l)x+c經(jīng)過點(diǎn)P(-1,—2。).

(1)求b+c的值；

(2)若。=3,求這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)若。＞3,過點(diǎn)P作直線軸，交y軸于點(diǎn)A,交拋物線于另一點(diǎn)8,且6P=2%,求這

條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式.(提示：請畫示意圖思考)

【答案】

解：(1)依題意得：(—1)2+3-1)(-1)+。=一：1b,

:.b+c=—2.

(2)當(dāng)匕=3時(shí)，。=一5,

/.y=x2+2x-5=(x+l)2-6

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(—1,—6).

t

b-\

(3)解法1：當(dāng)人＞3時(shí)，拋物線對稱軸x=----<

2

對稱軸在點(diǎn)P的左側(cè).

因?yàn)閽佄锞€是軸對稱圖形，「(-1，-^加且成:-2PA.

8(—3,—2b)

二.上=_2.

2

.\b=5.

又b+c=-2,c=-7.

拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=X2+4X-7.

解法2：當(dāng)Z?>3時(shí)，x----------<-1,

2

二.對稱軸在點(diǎn)P的左側(cè).因?yàn)閽佄锞€是軸對稱圖形，

?.?尸(一1,一2匕)，且5尸=2PA；.B(—3,—?)

(―3)~—3(6_2)+c=—2b.

又8+c=-2,解得：b=5,c=-7

???這條拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式是y=/+4工一7.

解法3：?.?/?+c=-2,:.c=-b-2,

2

/.37=X+0-1)X-&-2

3P〃x軸，x2+(Z?-l)x-Z?-2=-2b

即：x2+(/?-1)%+/?-2=0.

解得：%=-1,x2=-(/?-2),BPxB=-{b-2)

由8P=2E4,???-l+S—2)=2xl.

1.b=5,c=—7

???這條拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-+4%-7.

類型四、二次函數(shù)圖象的位置與a、b、c的關(guān)系

Cd.如圖所示是二次函數(shù)y=ax、bx+c圖象的一部分，圖象過A點(diǎn)(3,0),對稱軸為x=l,給出四

個(gè)結(jié)論：①t/YacX)；②2a+b=0；③a+b+c=0；④當(dāng)x=T或x=3時(shí)，函數(shù)y的值都等于0.把正確結(jié)論

的序號填在橫線上.

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)函數(shù)圖象得出拋物線開口向下得到a小于0,且拋物線與x軸交于兩個(gè)點(diǎn)，得出根的判別式大于0,

即選項(xiàng)①正確；對稱軸為x=l,利用對稱軸公式列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，整理后得到2a+b=0,選項(xiàng)②

正確；由圖象得出x=l時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值大于0,將x=l代入拋物線解析式得出a+b+c大于0,故選項(xiàng)③

錯誤；由拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3,0),根據(jù)對稱軸為x=l,利用對稱性得出另一個(gè)交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為T,從而得到x=-l或x=3時(shí)，函數(shù)值y=0,選項(xiàng)④正確，即可得出正確的選項(xiàng)序號.

【答案與解析】

解：由圖象可知：拋物線開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，對稱軸為x=l,

與y軸交點(diǎn)在正半軸，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

.,.a<0>b>0,c>0,b'_4ac>0,選項(xiàng)①正確；

當(dāng)x=l時(shí)，y=a+b+c>0,選項(xiàng)③錯誤；

?圖象過A點(diǎn)(3,0),對稱軸為x=l,

.?.另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為T,即坐標(biāo)為(-1,0),

h

又——=1,.-.2a+b=0,選項(xiàng)②正確；

2a

...當(dāng)x=-l或x=3時(shí)，函數(shù)y的值都等于0,選項(xiàng)④正確，

則正確的序號有①②④.

故答案為：①②④.

【總結(jié)升華】

此題考查了拋物線圖象與系數(shù)的關(guān)系，其中a由拋物線的開口方向決定，a與b同號對稱軸在y軸

左邊；a與b異號對稱軸在y軸右邊，c的符合由拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸或負(fù)半軸有關(guān)：拋物線

與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定了根的判別式的正負(fù)，此外還要在拋物線圖象上找出特殊點(diǎn)對應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)來

進(jìn)行判斷.

舉一反三：

【變式】如圖所示是二次函數(shù)y=ax2+Zzx+c圖象的一部分，圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0),對稱軸為x=-1.給

出四個(gè)結(jié)論：①。2〉4ac；?2a+b=Q；@a-b+c=O；@5a<b.其中正確結(jié)論是().

A.(2X4)B.①④C.②③D.①③

【答案】本例是利用二次函數(shù)圖象的位置與a、b、c的和、差、積的符號問題，其中利用直線x=1,x=—1

交拋物線的位置來判斷a+b+c,a-b+c的符號問題應(yīng)注意理解和掌握.

由圖象開口向下，可知aVO,圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以△=02—4ac〉0,b2>4ac,

①確.對稱軸為％=--—=-1,所以Z?=2a,又由a<0,b=2a,可得5a<b,④正確.

2a

故選B.

類型五、求二次函數(shù)的最值

Cs.某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果每件商品的售

價(jià)每上漲1元,則每個(gè)月少賣10件(每件售價(jià)不能高于65元).設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元(x為正整數(shù))，

每個(gè)月的銷售利潤為)y元.

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍.

(2)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤?最大的月利潤是多少元？

(3)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上的結(jié)論，請你直接寫出售

價(jià)在什么范圍時(shí)，每個(gè)月的利潤不低于2200元？

【思路點(diǎn)撥】

(1)每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件，當(dāng)每件商品的售價(jià)上漲x元時(shí)，每個(gè)月可賣出

(210-lOx)件，每件商品的利潤為x+50-40=10+x；

(2)每個(gè)月的利潤為賣出的商品數(shù)和每件商品的乘積,即(21070x)(10+x),當(dāng)每個(gè)月的利潤恰為2200

元時(shí)得到方程(210-lOx)(10+x)=2200.求此方程中x的值.

【答案與解析】

(l)y=(210-lOx)(50+X-40)=-10x+110x+2100(0<x^l5且x為整數(shù)).

(2)y=-10(x-5.5y+2402.5.

a=-10<0,當(dāng)x=5.5時(shí),y有最大值2402.5.

0〈xW15,且x為整數(shù)，

二當(dāng)x=5時(shí)，50+x=55,y=2400(元)；

當(dāng)x=6時(shí)，50+x=56,y=2400(元).

二當(dāng)售價(jià)定為每件55元或56元時(shí)，每個(gè)月的利潤最大，最大的月利潤是2400元.

(3)當(dāng)y=2200時(shí),-10x2+l10x+2100=2200,

解得xi=l,x2=10.

當(dāng)x=l時(shí)，50+x=51；當(dāng)x=10時(shí)，50+x=60.

二當(dāng)售價(jià)定為每件51元或60元時(shí)，每個(gè)月的利潤為2200元.

【總結(jié)升華】

做此類應(yīng)用題時(shí)，要明確題目中所給的信息，并找到其中相等的量可以用不同的表達(dá)式表示就可

以列出方程.

舉一反三：

【變式】某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果，物價(jià)部門規(guī)定每箱售價(jià)不得高于55元，市場調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價(jià)格銷售，平均每天銷售90箱，價(jià)格每提高1元，平均每天少銷售3箱。

(1)求平均每天銷售量y(箱)與銷售價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式.

(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為多少元時(shí)，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

【答案】

解：(1)y=90-3(x—50),

化簡得y=-3x+240(50WxW55).

(2)w=(x-40)(-3x+240)

=-3f+360%-9600(50WxW55).

(3)W=-3X2+360X-9600,

；a<0,A拋物線開口向下.

當(dāng)％=2=60時(shí)，w有最大值，

2a

又x<60,w隨x的增大而增大.

當(dāng)x=55元時(shí)，w的最大值為1125元。

當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為55元時(shí)，可以獲得1125元的最大利潤.

類型六、二次函數(shù)綜合題

06.根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y=o?+法+c的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值，判斷方程

以2+bx+c=o（aWO,a,b,c常數(shù)）的一個(gè)解x的取值范圍是（）

X6.176.186.196.20

y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.04

A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18

C.6.18<x<6.19I）.6.19<x<6.20

【思路點(diǎn)撥】

利用二次函數(shù)和一元二次方程的性質(zhì)，由表格中的數(shù)據(jù)看出-0.01和0.02更接近于0,故x應(yīng)取對應(yīng)的

范圍.

【答案】C；

【解析】方程ax?+Z>x+c=0（61*0）的一個(gè)解即使y=0的一個(gè)x值.因?yàn)閥=0在-0.01~0.02之間,

所以對應(yīng)的x滿足6.18<xV6.19,故選C.

【總結(jié)升華】每個(gè)二次函數(shù)y=依2+bx+c令y=0都對應(yīng)著一個(gè)一元二次方程g?+bx+c=o.

一元二次方程依2+力；+。=0的解。二次函數(shù)^=如2+。％+。令y=0時(shí)對應(yīng)的X的值.

舉一反三：

【變式1】已知函數(shù)y=Y-2x-2的圖象如圖所示，根據(jù)其中提供的信息，可求得使y》l成立的x的

取值范圍是（）

A.TWxW3B.-3WxWlC.x，-3D.xWT或x，3

【答案】由圖象知，使y=l成立的x的值為x=-l,x=3,使y>l的圖象是在直線y=l上方的兩部分.

答案：D.

【高清課程名稱：二次函數(shù)與中考高清1D號：359069關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點(diǎn)名稱)：經(jīng)典例題3】

【變式2】已知：拋物線y=x2+(q-2)x—2a(a為常數(shù)，且。>0).

(1)求證：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B(A在8左側(cè))，與y軸的交點(diǎn)為C.

①當(dāng)AC=2逐時(shí)?，求拋物線的解析式；

②將①中的拋物線沿x軸正方向平移f個(gè)單位(D0),同時(shí)將直線/：y=3x沿y軸正方向平移

f個(gè)單位.平移后的直線為移動后A、8的對應(yīng)點(diǎn)分別為A'、8'.當(dāng)f為何值時(shí)，在直線/'

上存在點(diǎn)P,使得△A'6'P為以AB'為直角邊的等腰直角三角形？

【答案】

(1)證明：令y=0,則￡+(a-2)x-2a=0.

△=(a-2)2+8a=(a+2)2.

：a>Q,

***a+2>0.

??.A>0.

方程x2+(a-2)x-2a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

二拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

(2)①令y=0,則x?+(a-2)x-2a=0,

解方程，得玉=2,彳2=-。.

,/A在8左側(cè)，且a>0,

二拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(-a,O),B(2,0).

拋物線與y軸的交點(diǎn)為C,，C(0,-2a).

:.AO—CO—2a.

在RtaAOC中，AO2+CO2=(275)2,

/+(24=20.

可得a=±2.

*.*a>0J4=2.

拋物線的解析式為y=f-4.

②依題意，可得直線，的解析式為y=3x+f,

A'?—2,0),8p+2,0),46'=AB=4.

,/△A'3'P為以A3'為直角邊的等腰直角三角形，

當(dāng)NR4'3'=90。時(shí),點(diǎn)尸的坐標(biāo)為?—2,4)或(f—2,T).

A\3(t-2)+t\=4.

解得，=2或,='.

22

當(dāng)NPB'A'=90°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為。+2,4)或0+2,-4).

|3(Z+2)+?|-4.

解得，=一3或，=一_1(不合題意，舍去).

22

綜上所述，「=*或「=」.

22

第十講二次函數(shù)

一、選擇題

1.二次函數(shù)y=-3f-6x+5的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（-1,8）B.（1,8）C.（-1,2）D.（1,-4）

2.若A（-3,%）、B（-2,y,）、C（-l,yO,三點(diǎn)都在函數(shù)y=-，的圖象上，則撲力、%的大小關(guān)系是（）

X

A.B.%=%=%C.yt<y3<y2D.

3.函數(shù)y=or+b和>=以2+法+。在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）

4.如圖是二次函數(shù)尸a*+H+c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)1（-3,0）,

對稱軸為x=-1.給出四個(gè)結(jié)論：①人>4ac；②2a+6=0；③a—8+c=0；

④5a<\其中正確結(jié)論是（）.

A.②④B.①④C.②③D.①③

5.拋物線ray+bx+c圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=-桁-4“c+/與反比例函數(shù)y=a+b+c在同一坐

x

標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（）

6.矩形48。中，AD=8cm,A5=6cm.動點(diǎn)￡從點(diǎn)。開始沿邊C8向點(diǎn)B以2cm/s

的速度運(yùn)動至點(diǎn)B停止，動點(diǎn)尸從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)沿邊切向點(diǎn)。以lcm/s的速度運(yùn)動

至點(diǎn)〃停止.如圖可得到矩形CFHE,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x（單位：s）,此時(shí)矩形ABCD

去掉矩形的出后剩余部分的面積為y（單位：cm?）,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖

象表示大致是下圖中的（）

二、填空題

7.如圖所示的拋物線是二次函數(shù)y=0x2-3%+/-1的圖象，那么。的值是

8.二次函數(shù)丫=加+笈+。的圖象如圖所示，且P=|4-b+c|+|24+b|,Q=\a+b+c\+\2a~b\,

則P、Q的大小關(guān)系為.

9.給出下列命題：

命題1.點(diǎn)（1,1）是雙曲線y=L與拋物線y=Y的一個(gè)交點(diǎn).

X

2

命題2.點(diǎn)（1,2）是雙曲線丁=—與拋物線y=2/的一個(gè)交點(diǎn).

X

3

命題3.點(diǎn)（1,3）是雙曲線y與拋物線y=3/的一個(gè)交點(diǎn).

X

請你觀察上面的命題,猜想出命題〃（〃是正整數(shù)）:

10.拋物線y=ax2與直線x=l,x=2,y=l,y=2組成的正方形有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.

11.如圖，在第一象限內(nèi)作射線OC,與x軸的夾角為30°,在射線0C上取一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作AHLx軸

于點(diǎn)H.在拋物線y=x?(x>0)上取點(diǎn)P,在y軸上取點(diǎn)Q,使得以P,0,Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH

全等，則符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)是.

12.已知函數(shù)y=0)'),則使y=k成立的x值恰好有三個(gè)，則k的值為__________.

(x-5)-l(x>3)

三、解答題

13.已知雙曲線y=一與拋物線y二zx、bx+c交于A(2,3)、B(m,2)>c(—3,n)三點(diǎn).

x

(1)求雙曲線與拋物線的解析式；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C,并求出AABC的面積.

1-

1111_______1111

-1o1x

-1-

第13題圖

14.已知：二次函數(shù)片/+公一3的圖像經(jīng)過點(diǎn)/>(—2,5).

(1)求人的值，并寫出當(dāng)1VXW3時(shí)y的取值范圍;

(2)設(shè)點(diǎn)A(/n,yi),2(加1,姓)、R(/ff+2,%)在這個(gè)二次函數(shù)的圖像上.

①當(dāng)妹4時(shí)，匕、鹿、期能否作為同一個(gè)三角形的三邊的長？請說明理由；

②當(dāng)明取不小于5的任意實(shí)數(shù)時(shí)，與、次、外一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長，請說明理由.

15.關(guān)于x的方程以2—(1-3。)彳+2。-1=0

(1)當(dāng)a取何值時(shí)，二次函數(shù)^=0^-(1-3。?+2。-1的對稱軸是*=-2；

(2)求證：a取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程0?-(1-3“?+2。-1=0總有實(shí)數(shù)根.

2x

16.如圖，開口向上的拋物線y=ax+bx+c與x軸交于A(x1,0)和B(看，。)兩點(diǎn)，i和％2是

方程爐+2x-3=0的兩個(gè)根(項(xiàng)＜々)，而且拋物線交)軸于點(diǎn)C,NACB不小于90°..

(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；

(2)求系數(shù)a的取值范圍；

(3)在。的取值范圍內(nèi)，當(dāng)y取到最小值時(shí)，拋物線上有點(diǎn)P,使50網(wǎng)=26，求所有滿足條件

的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】A；

【解析】求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)有兩種方法：①拋物線y=法+c(aHO)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

'b4ac-b2

、,將y=—3/—6x+5中的a,b,c直接代入即可求出；②采用配方法,

2a4a,

即將y=-3/-6x+5變形為y=-3(x+l)2+8,所以y=-3f-6x+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)

為(T,8).

2.【答案】A；

【解析】主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).解答時(shí)，應(yīng)先畫出^=-'的圖象，如圖，然后把

x

A(-3,yJ、B(-2,y2),C(-l,y3)三點(diǎn)在圖中表示出來，依據(jù)數(shù)軸的特性，易知

故應(yīng)選A.

3.【答案】C；

【解析】當(dāng)。>0時(shí)，拋物線開口向上，一次函數(shù)圖象過一、三象限，所以排除A選項(xiàng)，再看B、C選

項(xiàng)，拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，a、b異號，所以一次函數(shù)應(yīng)與y軸交于負(fù)半軸，排除B選項(xiàng);

當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，而一次函數(shù)圖象過二、四象限，排除D選項(xiàng).所以答案選C.

4.【答案】B；

5.【答案】D；

b

【解析】從二次函數(shù)圖像可看出。>0，——>0,得bVO,c<0,b2-4ac>0.又可看出當(dāng)x=l時(shí)，y<0.

2a

所以a+b+c<0,由此可知D答案正確.

6.【答案】A；

【解析】分段函數(shù)yi=-2x2+48(0Wx<4)；y2=-8x+48(4Wx<6),故選A.

二、填空題

7.【答案】-1；

【解析】圖象經(jīng)過原點(diǎn)(0,0),把點(diǎn)(0,0)代入、=以2-3》+〃-1得4=±1,因?yàn)閽佄锞€開口向

下，所以。=一1.

8.【答案】P<Q；

【解析】由拋物線的圖象可以知道：

(1)開口向下，a<0；(2)拋物線過原點(diǎn)，c=0；

(3)對稱軸x=-2>1,則b>-2a,即b+2a>0；

2a

(4)當(dāng)x=-1時(shí)，y=ax?+bx+c=a—b+c<0；

(5)當(dāng)x=lB寸，y=ax'+bx+c=a+b+c>0；

(6)因?yàn)閍<0,b>-2a,所以，b>0,因此，2a—b<0；

則：P—Q=[-(a—b+c)+(2a+b)]—[(a+b+c)—(2a—b)]

=-a+b—c+2a+b—a-b—c+2a-b

=2a<0

所以，PVQ

9.【答案】點(diǎn)(1,〃)是雙曲線>=—與拋物線y=的一個(gè)交點(diǎn).

x

O【答案】A<a<2

【解析】如圖，四條直線X=l,x=2,y=l,y=2圍成正方形ABCD,

因?yàn)閽佄锞€與正方形有公共點(diǎn)，所以可得a>0,而且a值越大，拋物線開口越小,

因此當(dāng)拋物線分別過A（1,2）,C（2,1）時(shí)，

a分別取得最大值與最小值，代入計(jì)算得出：a=2,a=3；

4

由此得出a的取值范圍是太

y

u.

【解析】由題可得A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的倍，故設(shè)A的坐標(biāo)為（?t,t）；

則Q的坐標(biāo)為（0，2t）或（0,后）；

可求得P點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)，解得t的值有4個(gè)，為M，1,2,2.

33

故點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,F）、（熬，］）、（2/2）、

12.【答案】3；

【解析】函數(shù)y=.‘）'"的圖象如圖:

［（x-5）--l（x>3）

根據(jù)圖象知道當(dāng)y=3時(shí)，對應(yīng)成立的x有恰好有三個(gè)，.?.k=3.

三、解答題

13.【答案與解析】E，3)

X.I

〉B(2,3)

1

-1/01X