廣東省歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題

廣東省歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題〔1〕姓名：1．(2023年)閱讀以下材料：，，，由以上三個(gè)等式相加，可得．讀完以上材料，請(qǐng)你計(jì)算下各題：(1)〔寫出過(guò)程〕；(2)；(3)．2．(2023年9分)小明用下面的方法求出方程的解，請(qǐng)你仿照他的方法求出下面兩個(gè)方程的解，并把你的解答過(guò)程填寫在下面的表格，方程換元法得新方程解新方程檢驗(yàn)求原方程的解令那么所以3．(2023年9分)某學(xué)校組織340名師生進(jìn)行長(zhǎng)途考察活動(dòng)，帶有行禮170件，方案租用甲、乙兩種型號(hào)的汽車共有10輛．經(jīng)了解，甲車每輛最多能載40人和16件行李，乙車每輛最多能載30人和20件行李．⑴請(qǐng)你幫助學(xué)校設(shè)計(jì)所有可行的租車方案；⑵如果甲車的租金為每輛2000元，乙車的租金為每輛1800元，問(wèn)哪種可行方案使租車費(fèi)用最省？廣東省歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題〔2〕姓名：4．(2007年9分)等邊的邊長(zhǎng)為，以AB邊上的高為邊，按逆時(shí)針方向作等邊，與相交于點(diǎn)．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)假設(shè)再以為邊按逆時(shí)針方向作等邊，與相交于點(diǎn)，按此作法進(jìn)行下去，得到，，…，(如圖)。求的周長(zhǎng)．AA2AA1BB1B2B3B4B5B6B7A3A4A5A6A7O5．(2005年9分)如圖，半圓O的直徑AB=4，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)固定在圓心O上，當(dāng)三角板繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，三角板的兩條直角邊與半圓圓周分別交于C、D兩點(diǎn)，連接AD、BC交于點(diǎn)E.(1)求證：∽；(2)求證：BD=DE恒成立；(3)設(shè)，求的面積與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．CCDAOBE廣東省歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題〔3〕姓名：6．(2006年9分)如圖，在ABCD中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AB的延長(zhǎng)線上，且AE=AD，CF=CB．(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)假設(shè)去掉巳知條件的“〞，上述的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；假設(shè)不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．OOEDCABF7．(2007年9分)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，兩動(dòng)點(diǎn)E、F分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)開始以相同速度沿BC、CD運(yùn)動(dòng)，與相對(duì)應(yīng)的在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持≌，對(duì)應(yīng)邊EG=BC，B、E、C、G在一直線上.(1)假設(shè)BE=，求DH的長(zhǎng)；FHBECGAD(2)當(dāng)E點(diǎn)在BC邊上的什么位置時(shí)，的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值FHBECGAD廣東省歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題〔4〕姓名：8．(2023年9分)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直，(1)證明：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN；(2)設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCN面積最大，并求出最大面積；(3)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，求此時(shí)x的值．NNBMCAD9．(2023年)如圖〔1〕，〔2〕所示，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝6，BC＝4，點(diǎn)F在DC上，DF＝2.動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)〔點(diǎn)M可運(yùn)動(dòng)到DA的延長(zhǎng)線上〕，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連結(jié)FM、MN、FN，當(dāng)F、N、M不在同一條直線時(shí)，可得，過(guò)三邊的中點(diǎn)作PQW．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N的速度都是1個(gè)單位／秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．試解答以下問(wèn)題：(1)說(shuō)明∽QWP；(2)設(shè)0≤≤4〔即M從D到A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段〕．試問(wèn)為何值時(shí)，PQW為直角三角形？當(dāng)在何范圍時(shí)，PQW不為直角三角形？(3)問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，線段MN最短？求此時(shí)MN的值．BBNQQWPMDFCANB圖1WPMDFCA圖2廣東省歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題〔5〕姓名：10．(2023年9分)(1)如圖1，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC，求∠AEB的大??；ECBODABAODCE圖1圖2(2)如圖2，固定不動(dòng)，保持的形狀和大小不變，將繞著點(diǎn)OECBODABAODCE圖1圖211．(2006年9分)如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是等腰梯形，BC∥OA，，，，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合。連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)什么位置時(shí)，為等腰三角形，求這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；DCABP(3)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使得且，求這時(shí)點(diǎn)DCABP廣東省歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題〔6〕姓名：12．(2005年9分)如圖，等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BM、CM的中點(diǎn)，(1)求證：四邊形MENF是菱形；EFBNCAMD(2)假設(shè)四邊形MENF是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊BCEFBNCAMD13．(2007年9分)如圖①、②，圖①是一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)〞的游戲，鐵環(huán)是圓形的，鐵環(huán)向前滾動(dòng)時(shí)，鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切。將這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，如圖②。鐵環(huán)的半徑為5個(gè)單位(每個(gè)單位為5cm)，設(shè)鐵環(huán)中心為O，鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M，鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為A，∠MOA＝α，且sinα＝。(1)求點(diǎn)M離地面AC的高度BM(單位：厘米)；(2)設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC等于11個(gè)單位，求鐵環(huán)鉤MF的長(zhǎng)度(單位：厘米)．AABCMFOα圖②圖①?gòu)V東省歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題〔7〕姓名：14．(2023年9分)(1)如圖1，圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)G，求證：陰影局部四邊形OFCG的面積是△ABC面積的；(2)如圖2，假設(shè)∠DOE保持角度不變，求證：當(dāng)∠DOE繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形〔圖中陰影局部〕面積始終是△ABC面積的．AABFCBCAEEDDOOG圖2圖115、〔2023?廣東〕如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答．〔1〕表中第8行的最后一個(gè)數(shù)是，它是自然數(shù)的平方，第8行共有個(gè)數(shù)；〔2〕用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個(gè)數(shù)是，最后一個(gè)數(shù)是，第n行共有個(gè)數(shù)；〔3〕求第n行各數(shù)之和．廣東省歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題〔8〕姓名：16、〔2023?廣東〕如圖〔1〕，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止．現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE，DF〔或它們的延長(zhǎng)線〕分別交BC〔或它的延長(zhǎng)線〕于G，H點(diǎn)，如圖〔2〕〔1〕問(wèn)：始終與△AGC相似的三角形有及；〔2〕設(shè)CG=x，BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式〔只要求根據(jù)圖〔2〕的情形說(shuō)明理由〕；〔3〕問(wèn)：當(dāng)x為何值時(shí)，△AGH是等腰三角形．17、〔2023?廣東〕如圖，拋物線y=﹣54x2+17〔1〕求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長(zhǎng)度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；〔3〕設(shè)在〔2〕的條件下〔不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況〕，連接CM，BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？問(wèn)對(duì)于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由．1．(1)解：，，，……，，以上各式相加，可得；(2)；(3)2．方程換元法得新方程解新方程檢驗(yàn)求原方程的解令那么(舍去)所以令那么(舍去)所以,3．⑴設(shè)租甲型車x輛，那么租乙型車〔10-x〕輛，依題意，得，解得，因車輛數(shù)為正整數(shù)，故x=4，5，6，7．租車方案為：甲型車4輛，乙型車6輛；甲型車5輛，乙型車5輛；甲型車6輛，乙型車4輛；甲型車7輛，乙型車3輛；⑵設(shè)租車費(fèi)用y，那么，∵200>0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=4時(shí)，y的值最小，∴租甲型車4輛，乙型車6輛使租車費(fèi)用最?。?．(1)；(2)，，，以此類推，，所以的周長(zhǎng)為：．5．(1)證明：依題意，可得，即，又∵，∴∽；(2)∵AB為直徑，∴，又∵，∴在中，有，∴；(3)在中，∵，∴，∴，∴，又∵，，∴在中，有，∴的面積為：．6．(1)證明略；(2)成立．因?yàn)?．解：(1)連接，∵≌，∴BF=EH，，∴BF∥EH，∴四邊形BEHF是平行四邊形，∴FH=BE=，又∵E、F分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)開始以相同速度沿BC、CD運(yùn)動(dòng)，∴CF=BE=，∴DF=3，∴在中，；(2)設(shè)，那么有，所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最小值，最小值為．FHFHBECGAD8．(1)在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=，由AM⊥MN，得∠AMN=，∴∠CMN+∠AMB=，而在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=，∴∠CMN=∠MAB，∴Rt△ABM∽R(shí)t△MCN.．(2)∵Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，∴，即，得，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是10．(3)∵∠B=∠AMN=，∴要使Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，必須有，由(1)知，∴，∴當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，求此時(shí)x=2．9．解：(1)如圖(1)，∵P、Q、W分別是三邊的中點(diǎn)，∴，∴∽QWP；(2)由(1)知∽QWP，故只討論的情況，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥CD交CD于E，由圖(1)知，，DF=2，，，，EN=4．QQWPMDFECANB情況①：當(dāng)時(shí)，有，解得；②情況：當(dāng)時(shí)，有，化簡(jiǎn)得：，∵∴方程無(wú)解；③情況：當(dāng)時(shí)，有，解得；綜上所述，當(dāng)，時(shí)，為直角三角形，即PQW為直角三角形；當(dāng)x≠4、時(shí)，不為直角三角形，即PQW不為直角三角形．(3)當(dāng)0≤≤4時(shí)，顯然MN逐漸縮短，故只考慮4≤≤6，即圖(2)的情形，∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，即最小MN，∴，．10．(1)(略解)如圖1，由，可得，所以．(2)如圖2，∵，∴，又∵，，，∴，∵，∴4465321654312ECBODABAODCE圖1圖27811．(1)證明略；(2)．12．(1)；(2)；(3)設(shè)，可證∽，得，即，解得或，所以或13．(1)(略解)過(guò)M作AC的平行線，分別與OA、FC交于點(diǎn)H、N，那么BM=OA-OH=1個(gè)單位=5；(2)由可證，個(gè)單位，即。14．(1)連接OA、OC，因?yàn)镺是等邊△ABC的外心，所以，，又因?yàn)?，所?2)(略解法一)連接OA、OB、OC，設(shè)OD交BC于點(diǎn)F，OE交AC于點(diǎn)G，那么，再證，所以.(略解法二)設(shè)OD交BC于點(diǎn)F，OE交AC于點(diǎn)G，過(guò)O作OH⊥BC，OK⊥AC，證明，所以．15.〔1〕每行數(shù)的個(gè)數(shù)為1，3，5，…的奇數(shù)列，由題意最后一個(gè)數(shù)是該行數(shù)的平方即得64，其他也隨之解得：8，15；

〔2〕由〔1〕知第n行最后一數(shù)為n2，那么第一個(gè)數(shù)為：〔n-1〕2=n2-2n+2，每行數(shù)由題意知每行數(shù)的個(gè)數(shù)為1，3，5，…的奇數(shù)列，故個(gè)數(shù)為2n-1；〔3〕第50行各數(shù)之和：=242649．16、解：〔1〕∵△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，∵∠HAG=∠B=45°，∠H+∠HAC=45°，∠HAC+∠CAG=90°，∴∠H=∠CAG，∴△HAB∽△HGA，∴始終與△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；故答案為：△HAB和△HGA．〔2〕∵△AGC∽△HAB，∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，∴y=81/x〔0＜x＜92〕，答：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=81/x〔0＜x＜92〕．〔3〕∵∠GAH=45°，分兩種情況討論：①當(dāng)∠GAH=45°是等腰三角形的底角時(shí)，如圖〔1〕：∵AC=9，在等腰直角三角形ACG中，CG=AG，根據(jù)勾股定理得：AC2=CG2+AG2，∴CG=AG=922；當(dāng)∠GAH=45°是等腰三角形的底角時(shí)，如以下圖：此時(shí)點(diǎn)B，點(diǎn)G與點(diǎn)E重合，∵AB=AC=9，在等腰直角三角形ACG中，CG=BC，根據(jù)勾股定理得：CG2=AB2+AC2，∴CG=92；②當(dāng)∠GAH=45°是等腰三角形的頂角時(shí)如圖〔2〕：由△HGA∽△HAB，∵AG=AH，∴∠AHG=∠AGH=12〔180°-45°〕=67.5°，∴∠BAH=180°-∠B-∠AHB=67.5°=∠AHG，∴HB=AB=9，同理AC=CG，∴BG=HC，可得：CG=x=9．答：當(dāng)x為922、92或9時(shí)，△AGH是等腰三角形．17、解：〔1〕∵當(dāng)x=0時(shí)，y=1，∴A〔0，1〕，