中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編 三角形全等

全等三角形

1(陜西)如圖，在四邊形A3。中，對角線AB=AD,CB=CD,

若連接ACBD相交于點(diǎn)0,則圖中全等三角形共有()

A.1對B.2對C.3對D.4對

考點(diǎn)：全等三角形的判定。

解析：AB=AD,CB=CD,AC公用，因此△ABCgz\ADC(SSS),

所以NBA0=NDA0,ZBC0=ZDC0,

所以△BAO^^DAO(SAS),

△BCO絲△DCO(SAS),故選C

第7題圖

2(?雅安)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)EF分別在BCCD上，Z\AEF是等邊三角形，連接AC交

EF于G,下列結(jié)論：①BE=DF,②/DAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤SNP=2S△楙.其

中正確結(jié)論有()個.

考正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

點(diǎn)：

分通過條件可以得出△ABE04ADF而得出/BAE=/DAF,BE=DF,由正方形的性質(zhì)就可

析：以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,設(shè)EC=x,BE=y,由勾股定理就可以得出

x與y的關(guān)系，表示出BE4EF,利用三角形的面積公式分別表示出SACEF和2S&\BE再

通過比較大小就可以得出結(jié)論

解解：???四邊形ABCD是正方形，

答：/.AB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=ZD=ZBAD=90°.

VAAEF等邊三角形，

，AE=EF=AF,ZEAF=60°.

AZBAE+ZDAF=30°.

在RtZkABE和RtZXADF中，

[AE=AF,

lAB=AD*

RtAABE^RtAADF(HL),

/.BE=DF,①正確.

ZBAE=ZDAF,

/.ZDAF+ZDAF=30",

即/DAF=15°②正確，

VBC=CD,

ABC-BE=CD-DF,

及CE=CF,

VAE=AF,

...AC垂直平分EF.③正確.

設(shè)EC=x,由勾股定理，得

EF=&x,CG哼x,AG=?,

:.AC/>x+?x,

_2

...AB=/x+x,

2

.?.BE=/x+x_x=^x-x,

22

；.BE+DF=⑥-xN圾x,④錯誤,

2

?.?S"尸工

2

V3x-xV3x+x

2,2^x2

SAABIF"

24

2

/.2SAABE=——^SACEF,⑤正確.

2

故選c.

點(diǎn)本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)

評：用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答本題時運(yùn)用勾股定

理的性質(zhì)解題時關(guān)鍵.

3（?鐵嶺）如圖，在AABC和ADEB中，已知AB=DE,還需添加兩個條件才能使aABC絲△?￡（；,

不能添加的一組條件是（）

D

A.BC=EC,ZB=ZEB.BC=EC,AC=DCC.BC=DC,NA=NDD.ZB=ZE,NA=ND

考全等三角形的判定.

點(diǎn)：

分根據(jù)全等三角形的判定方法分別進(jìn)行判定即可.

析：

解解：A已知AB=DE,再加上條件BC=EC,/B=NE可利用SAS證明AABC絲故此

答：選項(xiàng)不合題意；

B已知AB=DE,再加上條件BC=EC,AC=DC可利用SSS證明aABC<△【）￡（：,故此選項(xiàng)不

合題意；

C已知AB=DE,再加上條件BC=DC,NA=ND不能證明AABC絲△1）￡（：,故此選項(xiàng)符合題

忌；

D已知AB=DE,再加上條件NB=NE,/A=/D可利用ASA證明△ABC絲△?￡（：,故此選

項(xiàng)不合題意；

故選：C.

點(diǎn)本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：

評：SSSSASASAAASHL.

注意：AAASSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參

與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

4（?湘西州）如圖，在MBCD中，E是AD邊上的中點(diǎn)，連接BE,并延長BE交CD延長線于

點(diǎn)F,則AEDF與ABCF的周長之比是（）

考平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)

點(diǎn):

分根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD=BC,AD〃BC,推出△EDFsaBCF,得出AEDF與aBCF

析：的周長之比為星，根據(jù)BC=AD=2DE代入求出即可.

BC

解解：；四邊形ABCD是平行四邊形，

答：，AD=BC,AD/7BC,

.?.△EDFS/XBCF,

/.△EDE與△BCF的周長之比為跡，

BC

,.?E是AD邊上的中點(diǎn)，

，AD=2DE,

VAD=BC,

，BC=2DE,

/.△EDF與ZkBCF的周長之比1：2,

故選A.

點(diǎn)本題考查了平行四邊形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：平行四邊形

評：的對邊平行且相等，相似三角形的周長之比等于相似比.

5(?綏化)已知：如圖在△ABC,ZXADE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,點(diǎn)C,D,E

三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD,BE.以下四個結(jié)論：

①BD=CE；②BD_LCE；?ZACE+ZDBC=45°；?BE=2(AD2+AB2),

其中結(jié)論正確的個數(shù)是()

A.1B.2C.31).4

考全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形.

點(diǎn):

專計(jì)算題.

題：

分①由AB=AC,AD=AE,利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得出三角形ABD與三角

析：形AEC全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BD=CE,本選項(xiàng)正確；

②由三角形ABD與三角形AEC全等，得到一對角相等，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)

及等量代換得到BD垂直于CE,本選項(xiàng)正確；

③由等腰直角三角形的性質(zhì)得到NABD+NDBC=45°,等量代換得到

ZACE+ZDBC=45°,本選項(xiàng)正確；

④由BD垂直于CE,在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可

作出判斷.

解解：①?.?NBAC=NDAE=90°,

答：ZBAC+ZCAI)=ZDAE+ZCA1),即/BAD=NCAE,

?.?在4BAD和4CAE中，

'AB=AC

-ZBAD=ZCAE，

AD=AE

.".△BAD^ACAE(SAS),

；.BD=CE,本選項(xiàng)正確；

②丁ABAD^ACAE,

；./ABD=NACE,

VZABD+ZDBC=45°,

/.ZACE+ZDBC=45°,

ZDBC+ZDCB=ZDBC+ZACE+ZACB=90°,

則BDLCE,本選項(xiàng)正確；

③AABC為等腰直角三角形，

/.ZABC=ZACB=45°,

/.ZABD+ZDBC=45°,

,/ZABD=ZACE

/.ZACE+ZDBC=450,本選項(xiàng)正確；

?VBD±CE,

...在RtZXBDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2,

???△ADE為等腰直角三角形，

.\DE-V2AD,即DEJ2AD:

.*.BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2,

而2AB2,本選項(xiàng)錯誤，

綜上，正確的個數(shù)為3個.

故選C

點(diǎn)此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟

評：練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

6（安順）如圖，已知AE=CF,ZAFD=ZCEB,那么添加下列一個條件后，仍無法判定

△ADF^ACBE的是（）

A.ZA=ZCB.AD=CBC.BE=DED.AD/7BC

考點(diǎn)：全等三角形的判定.

分析：求出AF=CE,再根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可.

解答：解：；AE=CF,

.*.AE+EF=CF+EF,

.\AF=CE,

A.?在△ADF和ACBE中

，ZA=ZC

<AF=CE

ZAFD=ZCEB

.-.△ADF^ACBE(ASA),正確，故本選項(xiàng)錯誤；

B.根據(jù)AD=CB,AF=CE,/AFD=/CEB不能推出△ADFgaCBE,錯誤，故本選項(xiàng)正確;

C.?.?在aADF和4CBE中

'AFXE

<ZAFD=ZCEB

DF=BE

.,.△ADF^ACBE(SAS),正確,故本選項(xiàng)錯誤;

D.VAD//BC,

.'.ZA-ZC,

:在4ADF和aCBE中

，ZA=ZC

<AF=CE

ZAFD=ZCEB

.,.△ADF^ACBE（ASA）,正確,故本選項(xiàng)錯誤;

故選B.

點(diǎn)評：本題考查了平行線性質(zhì)，全等三角形的判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有

SAS,ASA,AAS,SSS.

7（臺灣18）附圖為八個全等的正六邊形緊密排列在同一平面上的情形.根據(jù)圖中標(biāo)示的各

點(diǎn)位置，判斷△ACD與下列哪一個三角形全等？（）

A.AACFB.AADEC.AABCD.ABCF

考點(diǎn)：全等三角形的判定.

分析：根據(jù)全等三角形的判定定理（SAS,ASA,AAS,SSS）結(jié)合圖形進(jìn)行判斷即可.

解答：解：根據(jù)圖象可知4ACD和4ADE全等，

理由是：?.?根據(jù)圖形可知AD=AD,AE=AC,DE=DC,

.,.△ACD^AAED,

BIJAACD^DAADE全等，

故選B.

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的觀察圖形的能力和推理能力，

注意：全等三角形的判定定理有：SAS,ASA,AAS,SSS.

8（?婁底）如圖，AB=AC,要使aABE絲△ACD,應(yīng)添加的條件是/B=/C或AE=AI）（添加

一個條件即可）.

考全等三角形的判定.

點(diǎn)：

專開放型.

題：

分要使△ABEg/XACD,已知AB=AC,ZA=ZA,則可以添加一個邊從而利用SAS來判定

析：其全等或添加一個角從而利用AAS來判定其全等.

解解：添加/B=NC或AE=AD后可分別根據(jù)ASASAS判定AABE絲△ACD.

答：故填/B=/C或AE=AD.

點(diǎn)本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：

評：SSSSASASAAASHL.添加時注意：AAASSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)

已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵.

9（?郴州）如圖，點(diǎn)DE分別在線段AB,AC上,AE=AD,不添加新的線段和字母,要使

△ABE^AACD,需添加的一個條件是NB=/C（答案不唯一）（只寫一個條件即可）.

考全等三角形的判定.

點(diǎn)：

專開放型.

題：

分由題意得，AE=AD,ZA=ZA（公共角），可選擇利用AASSAS進(jìn)行全等的判定，答案

析：不唯一.

解解：添加ZB=NC.

答：（ZA=ZA

在aABE和4ACD中，V.ZB=ZC>

AE=AD

AAABE^AACD（AAS）.

故答案可為：ZB=ZC.

點(diǎn)本題考查了全等三角形的判定，屬于開放型題目，解答本題需要同學(xué)們熟練掌握三

評：角形全等的幾種判定定理.

10（?白銀）如圖，已知BC=EC,ZBCE=ZACD,要使aABC絲則應(yīng)添加的一個條件為

AC=CD.（答案不唯一，只需填一個）

考全等三角形的判定.

點(diǎn).

專開放型.

題：

分可以添加條件AC=CD,再由條件/BCE=/ACD,可得/ACB=/DCE,再加上條件

析：CB=EC,可根據(jù)SAS定理證明aABCg

解解：添加條件：AC=CD,

答:ZBCE-ZACD,

ZACB=ZDCE,

'BC=EC

在AABC和4DEC中，ZACB=ZDCE，

AC=DC

/.△ABC^ADEC（SAS）,

故答案為：AC=CD（答案不唯一〉.

點(diǎn)此題主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：

評：SSSSASASAAASHL.

注意：AAASSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參

與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

11（?綏化）如圖，A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上，ZA=ZC=90°,AB=CD,請?zhí)砑右粋€適當(dāng)

的條件AE=CB,使得4EAB四△BCD.

考全等三角形的判定.

點(diǎn)：

專開放型.

題：

分可以根據(jù)全等三角形的不同的判定方法添加不同的條件.

析：

解解：VZA=ZC=90°,AB=CD,

答:二若利用“SAS”，可添加AE=CB,

若利用“HL”，可添加EB=BD,

若利用“ASA”或“AAB”,可添加NEBD=90°,

若添加NE=NDBC,看利用“AAS”證明.

綜上所述，可添加的條件為AE=CB（或EB=BD或NEBD=90°或NE=NDBC等）.

故答案為：AE=CB.

點(diǎn)本題主要考查了全等三角形的判定，開放型題目，根據(jù)不同的三角形全等的判定方

評：法可以選擇添加的條件也不相同.

12（?巴中）如圖，已知點(diǎn)BCFE在同一直線上，Z1=Z2,BC=EF,要使aABC絲還需

添加一個條件，這個條件可以是CA=FD.（只需寫出一個）

B

考全等三角形的判定.

點(diǎn)：

專開放型.

題：

分可選擇添加條件后，能用SAS進(jìn)行全等的判定，也可以選擇AAS進(jìn)行添加.

析：

解解：添加CA=FD,可利用SAS判斷AABC且ZiDEF.

答：故答案可為CA=FD.

點(diǎn)本題考查了全等三角形的判定，解答本題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理，本題

評：答案不唯一.

13（?天津）如圖，已知NC=ND,ZABC=ZBAD,AC與BD相交于點(diǎn)0,請寫出圖中一組相等

的線段AC=BD（答案不唯一）.

考全等三角形的判定與性質(zhì).

點(diǎn)：

專開放型.

題：

分利用“角角邊”證明AABC和ABAD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等解答即可.

析：

解解：?.?在△ABC和ABAD中，

答：（ZC=ZD

?ZABC=ZBAD，

AB=BA

.".△ABC^ABAD（AAS）,

/.AC=BD,AD=BC.

故答案為：AC=BD（答案不唯一）.

點(diǎn)本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，關(guān)鍵在于公共邊AB的應(yīng)用，開放

評：型題目，答案不唯一.

14（?常州）如圖,C是AB的中點(diǎn),AD=BE,CD=CE.

求證：ZA=ZB.

考全等三角形的判定與性質(zhì).

點(diǎn):

專證明題.

題：

分根據(jù)中點(diǎn)定義求出AC=BC,然后利用“SSS”證明4ACD和ABCE全等，再根據(jù)全等三

析：角形對應(yīng)角相等證明即可.

解證明：是AB的中點(diǎn)，

答:/.AC=BC,

M二BC

在4ACD和ABCE中，■AD=BE，

CD=CE

/.△ACD^ABCE（SSS）,

:.ZA=ZB.

點(diǎn)本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，比較簡單，主要利用了三邊對應(yīng)相等，兩三

評：角形全等，以及全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì).

15（?昆明）已知：如圖，AD,BC相交于點(diǎn)0,0A=0D,AB〃CD.

考全等三角形的判定與性質(zhì).

點(diǎn)：

專證明題.

題：

分首先根據(jù)AB〃CD,可得/B=NC,ZA=ZD,結(jié)合0A=0D,可知證明出AAOB且△□（）（；,

析：即可得到AB=CD.

解證明：VAB/7CD,

答：/.ZB=ZC,ZA=ZD,

ViSAAOBffADOC中，

，ZB=ZC

<NA=/D，

OA=OD

/.△AOB^ADOC(SSA),

.*.AB=CD.

點(diǎn)此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定

評：定理以及平行線的性質(zhì)，此題基礎(chǔ)題，比較簡單.

16(?十堰)如圖，點(diǎn)D,E在AABC的邊BC上，AB=AC,BD=CE.求證：AD=AE.

考全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰二角形的性質(zhì).

點(diǎn)：

專證明題.

題：

分利用等腰三角形的性質(zhì)得到NB=NC,然后證明△ABD咨4ACE即可證得結(jié)論.

析：

解證明：VAB=AC,

答：ZB=ZC,

在△ABD與△ACE中，

'AB=AC

ZB=ZC-

BD=EC

/.△ABD^AACE(SAS),

；.AD=AE.

點(diǎn)本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用等邊

評：對等角得到NB=/C.

17(涼山州)如圖，Z^ABO與△CDO關(guān)于0點(diǎn)中心對稱，點(diǎn)EF在線段AC上，且AF=CE.

求證：FD=BE.

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；中心對稱.

專題：證明題.

分析：根據(jù)中心對稱得出OB=OD,OA=OC,求出OF=OE,根據(jù)SAS推出ADOF/aBOE即可.

解答：證明：:△ABO與△CDO關(guān)于0點(diǎn)中心對稱，

.?.OB=OD,OA=OC,

；AF=CE,

.?.OF=OE,

V^EADOE^ABOE中

'OB=OD

<ZDOF=ZBOE

OF=OE

.,.△DOE^ABOE(SAS),

；.FD=BE.

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，中心對稱的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.

18(13年安徽省4分14)已知矩形紙片ABCD中，AB=1,BC=2,將

該紙片疊成一個平面圖形，折痕EF不經(jīng)過A點(diǎn)(EF是該矩形邊界

上的點(diǎn))，折疊后點(diǎn)A落在A處，給出以下判斷：

(1)當(dāng)四邊形A'CDF為正方形時，EF=V2

(2)當(dāng)EF=四時，四邊形ACDF為正方形

(3)當(dāng)EF=百時，四邊形BA-CD為等腰梯形；

(4)當(dāng)四邊形BA，CD為等腰梯形時，EF=V5?

其中正確的是(把所有正確結(jié)論序號都填在橫線上)。

【答案】（D00.

【雪煮】折曲可題,折會對稱的性鹿.矩形的性質(zhì),正方形的判定和性戊.勾凝定理,等腰睇形的判定和性然,性

歷至等三角形的判定和性質(zhì).

【分析】根鬣相美知識承一作出利斷：

?VA3=l.3C=2./.SOffl.當(dāng)四立形A'3為正方形時.

A'C-CD-A'r-2.A,FXBC.

.?.A'EC....根據(jù)勾臉理得三F■后.判魅①正確.

/時，由①知，只要氏與A3或4：角即可.此時的

一與①中的EF平行耐.這時.除①的惜祝外,其它筌不構(gòu)成正韋彤.到時I鐲呈.

③由勾股定理地工）--,...此時.ET與31?仇

由折會對珠和矩彩的性質(zhì)知.CD-A5-A,3,且CD與X3不

平行.

如圖.這點(diǎn)A"悵A'CXBD干啟，過點(diǎn)C作CKLBP于點(diǎn)FH.

則

：A'3-C3.ZA'BG-ZA3D-ZC3H.NA'G3-ZCXD.

.?.△A'GBUACHD（.\AS>..".A'G-CH..".A'C"BD.

J.四邊形3A-CD為卿f情形.利麻d>正HI.

④當(dāng)四邊形BA'。為根梯形fth由A'3-CD.NA'3D-ZCD3-ZA3D.制點(diǎn)A':1點(diǎn)A關(guān)于BD

的對稱點(diǎn),BP*是點(diǎn)A沿3D折金得到，所以，EF33Os.三-33--.判HfiGi正91.

野UJfr述，判斷正確的是①?④.

19（?白銀）如圖，在AABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行

線交CE的延長線于點(diǎn)F,且AF=BD,連接BF.

（1）BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由.

考矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì).

點(diǎn)：

專證明題.

題：

分（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出NAFE=NDCE,然后利用“角角邊”證明

析：^AEF和aDEC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=CD,再利用等量代換即可

得證；

(2)先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊

形，再根據(jù)一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知NADB=90°,由等腰三角形三

線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC.

解解：(1)BD=CD.

答：理由如下：；AF〃BC,

，ZAFE=ZDCE,

???E是AD的中點(diǎn),

，AE=DE,

'/AFE=NDCE

在4AEF和ADEC中，，ZAEF=ZDEC-

AE=DE

/.△AEF^ADEC(AAS),

，AF=CD,

VAF=BD,

.*.BD=CD；

(2)當(dāng)AABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形.

理由如下：；AF〃BD,AF=BD,

二四邊形AFBD是平行四邊形，

VAB=AC,BD=CD,

ZADB=90°,

.?.□AFBD是矩形.

BDC

點(diǎn)本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是基礎(chǔ)

評：題，明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵.

20(?鄂州)如圖正方形ABCD的邊長為4,EF分別為DCBC中點(diǎn).

(1)求證：ZXADE絲ZiABF.

(2)求△AEF的面積.

D.---------q---------.c

考正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

點(diǎn):

分（1）由四邊形ABCD為正方形，得到AB=AD,ZB=ZD=90°,DC=CB,由EF分別為DCBC

析：中點(diǎn)，得出DE=BF,進(jìn)而證明出兩三角形全等；

（2）首先求出DE和CE的長度,再根據(jù)S△械產(chǎn)S正方3-SAADE-S',-S△儂得出結(jié)果.

解（1）證明：???四邊形ABCD為正方形，

答：.*.AB=AD,/=90°,DC=CB,

：EF為DCBC中點(diǎn)，

.,.DE=1［）C,BF&BC,

22

.?.DE=BF,

:在4ADE和AABF中，

'AD=AB

，NB=/D，

DE=BF

.,.△ADE^AABF（SAS）；

（2）解：由題知△ABFaADE^CEF均為直角三角形，

且AB=AD=4,DE=BF=』X4=2,CE=CF=lx4=2,

22

=

SAAEFS止方形ABCD-SAADE-SAABF-SAC印

=4X4-lx4X2-Ax4X2-lx2X2

222

=6.

點(diǎn)本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的證明，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方

評：形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理，此題難度不大.

21（?廣安）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE〃CF,求證：△ABEg^CDF.

考平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定.

點(diǎn)：

專證明題.

題：

分首先證明四邊形AECF是平行四邊形，即可得到AE=CF,AE=CE,再根據(jù)由三對邊相等

析：的兩個三角形全等即可證明：△ABEgZ\CDF.

解證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，

答：；.AE〃CF,AD=BC,AB=CD,

VAE//CF,

，四邊形AECF是平行四邊形，

.,.AE=CF,AF=CF,

，BE=DE,

在AABE和ACDF中，

'AB=CD

-BE=DF，

AE=CF

.,.△ABE^ACDF(SSS).

點(diǎn)此題主要考查學(xué)生對平行四邊形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定的理解和掌握,

評：難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

22(鞍山)如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF=BE.

(1)求證：CE=CF；

(2)若點(diǎn)G在AD上，且ZGCE=45°,則GE=BE+GD成立嗎？為什么？

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)：全等三角形的判定與性質(zhì).

專題：證明題：探究型.

分析：(1)由DF=BE,四邊形ABCD為正方形可證aCEB絲△CFI),從而證出CE=CF.

(2)由(1)得，CE=CF,ZBCE+ZECD=ZDCF+ZECDBPZECF=ZBCD=90°又NGCE=45°所

以可得NGCE=NGCF,故可證得4ECG絲4FCG,即EG=FG=GD+I)F.又因?yàn)镈F=BE,所以可證出

GE=BE+GD成立.

解答：(1)證明：在正方形ABCD中，

?.?BC=CD,ZB=ZCDF,BE=DF,

AACBE^ACDE(SAS).

.,.CE=CF,(3分)

(2)解：GE=BE+GD成立.(4分)

理由是：I?由(1)得：ACBE^ACDF,

.-.ZBCE=ZDCF,(5分)

AZBCE+ZECD=ZDCF+ZECD,即NECF=NBCD=90°,(6分)

又NGCE=45°,AZGCF=ZGCE=45°.

,/CE=CF,ZGCE=ZGCF,GC=GC,

.,.△ECG^AFCG(SAS).

；.GE=GF.(7分)

點(diǎn)評：本題主要考查證兩條線段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在

第二問中也是考查r通過全等找出和GE相等的線段，從而證出關(guān)系是不是成立.

23（?玉林）如圖，AB=AE,Z1=Z2,ZC=ZD.

考點(diǎn)：全等三角形的判定.

專題：證明題.

分析：首先根據(jù)N1=N2可得NBAC=NEAD,再加上條件AB=AE,NC=ND可證明

△ABC^AAED.

解答：證明：：/l=N2,

/.Z1+ZEAC=Z2+ZEAC,

即NBAC=/EAD,

?在AABC和4AED中，

'/D=nc

<ZBAC=ZEAD，

AB=AE

/.△ABC^AAED(AAS).

點(diǎn)評：此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：

SSSSASASAAASHL.

注意：AAASSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參

與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

24(?徐州)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE平分NADC交AB于點(diǎn)E,BF平分/ABC,

交CD于點(diǎn)F.

(1)求證：DE=BF；

(2)連接EF,寫出圖中所有的全等三角形.(不要求證明)

考平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

點(diǎn):

分(1)由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊

析：形的性質(zhì)可得到DE=BE；

(2)連接EF,則圖中所有的全等三角形有：△ADEgZXCBF,ADFE^ABEF.

解證明：(1),四邊形ABCD是平行四邊形，

答:...DC〃AB,

二ZCDE=ZAED,

-DE平分N平C,

ZADE=ZCDE,

:.ZADE=ZAED,

.?.AE=AD,

同理CF=CB,又AD=CB,AB=CD,

.\AE=CF,

；.DF=BE,

四邊形DEBF是平行四邊形，

；.DE=BF,

(2)AADE^ACBF,ADFE^ABEF.

點(diǎn)本題考查了平行四邊形的性質(zhì)角平分線的特點(diǎn)等腰三角形的判定和性質(zhì)以及全等三

評：角形的判定，題目難度不大.

25（武漢）如圖，點(diǎn)廝在a'上，BE=CF,AB=DC,NB=NC.

求證：Z.A—Z_D.

解析：證明：；BE=CF,.\BE+EE=CE+EF,即BF=CE.

在aABF和4DCE中，

AB=DC

■ZB=ZC

BF=CE

.,.△ABF^ADCE,；./A=NI).

26（廣東湛江）如圖，點(diǎn)8、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,

A3//ED,AC//fD,求證：AC=DF.

證明：ABUED,:.4B=2E;

AC//FD,：.NACB=ZEFD

FB=CE,:.BC=EF

△ABCg△DEF...AC=DF

27（13年北京5分13）如圖，已知D是AC上一點(diǎn)，AB=DA,DE〃AB,ZB=ZDAEO

求證：BC=AEo

解析：

證明：VDE//AB（第13題）

:.NCAB=ZADE

在與△）￡■中

Z.CAB=Z.4DE

■AB=DA

NB=ZDAE

：.&ADEg△84C(ASA)

:.BC=AE

28（鞍山）如圖，E,F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點(diǎn)，AF=CE,DF=BE,DF〃BE.

求證：（1）AAFD^ACEB；

（2）四邊形ABCD是平行四邊形.

考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定.

專題：證明題.

分析：（1）利用兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩三角形全等（SAS）,這一判定定理容易證明

△AFD^ACEB.

（2）由AAFD絲ACEB,容易證明AD=BC且AD〃BC,可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是

平行四邊形.

解答：證明：（1）；DF〃BE,

.\ZDFE=ZBEF.

又,；AF=CE,DF=BE,

.,.△AFD^ACEB（SAS）.

（2）由（1）知△AFD92\CEB,

.,.ZDAC=ZBCA,AD=BC,

；.AD〃BC.

四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定，判定兩個三角形全等的一般

方法有：SSSSASASAAASHL.平行四邊形的判定，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四

邊形.

29（四川宜賓）如圖：已知以分別在4胡。上，A伊AC,ZB=ZC,求證：B^CD.

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).

專題：證明題.

分析：要證明小⑦，把應(yīng)'與切分別放在兩三角形中，證明兩三角形全等即可得到，

而證明兩三角形全等需要三個條件，題中已知一對邊和一對角對應(yīng)相等，觀察圖形可得

出一對公共角，進(jìn)而利用41s可得出三角形力跖與三角形4切全等，利用全等三角形的

對應(yīng)邊相等可得證.

解答：證明：在△/監(jiān)和切中，

fZB=ZC（已知）

<ZA=ZA（公共角），

AB=AC（已知）

：./\ABE^/\ACD（44S）,

：.BE=CD（全等三角形的時應(yīng)邊相等）.

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定方法為：SSS；SAS；ASA,

AAS.（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等來解決線段或角相等的問題,

在證明三角形全等時，要注意公共角及公共邊，對頂角等隱含條件的運(yùn)用.

30（?溫州）如圖，在aABC中，ZC=90°,AD平分/CAB,交CB于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE_LAB

于點(diǎn)E.

（1）求證:AACD^AAED；

（2）若NB=30°,CD=1,求BD的長.

.4R

考全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)：含30度角的直角三角形.

點(diǎn):

分（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE,根據(jù)HL定理求出另三角形全等即可；

析：（2）求出/DEB=90°,DE=1,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可.

解（1）證明：：AD平分/CAB,DE1AB,ZC=90°,

答：；.CD=ED,NDEA=NC=90°,

?.?在RSACD和RtAAED中

[AD=AD

lCD=DE

.,.RtAACD^RtAAED（HL）；

（2）解：VDC=DE=1,DE±AB,

AZDEB=90°,

VZB=30°,

；.BD=2DE=2.

點(diǎn)本題考查了全等三角形的判定，角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)

評：用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

31（杭州）如圖,在等腰梯形ABCD中，AB〃DC,線段AG,BG分別交CD于點(diǎn)E,F,DE=CF.

求證：AGAB是等腰三角形.

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定.

專題：證明題.

分析：由在等腰梯形ABCD中，AB/7DC,DE=CF,利用SAS,易證得aADE絲△BCF,即可得

ZDAE=ZCBF,則可得NGAB=NGBA,然后由等角對等邊，證得：ZXGAB是等腰三角形.

解答：證明：???在等腰梯形中ABCD中，AD=BC,

.*.ZD=ZC,ZDAB=ZCBA,

在AADE和4BCF中，

'AD=BC

<ZD=ZC，

DE=CF

/.△ADE^ABCF（SAS）,

ZDAE=ZCBF,

/.ZGAB=ZGBA,

；.GA=GB,

即AGAB為等腰三角形.

點(diǎn)評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定.此題難

度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

32（佛山市）課本指出：公認(rèn)的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題（如推論定理

等）的正確性都需要通過推

理的方法證實(shí).

（1）敘述三角形全等的判定方法中的推論AAS；

⑵證明推論AAS.

要求：敘述推論用文字表達(dá)；用圖形中的符號表達(dá)已知

第22題圖

求證，并證明，證明對各步驟要注明依據(jù).

分析：（1）兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的判斷定理ASA來證明.

解：（1）三角形全等的判定方法中的推論AAS指的是：兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三

角形全等.

（2）已知：在AABC與aDEF中，/A=/D,NC=/F,BC=EF.

求證：△ABCgZXDEF.

證明：如圖，在AABC與ADEF中，ZA=ZD,NC=/F（已知），

.*.ZA+ZC=ZD+ZF（等量代換）.

又?../A+NB+NC=180°,ZD+ZE+ZF=180°（三角形內(nèi)角和定理），

.*.ZB=ZE.

"ZC=ZF

/.在△ABC與△DEF中，，BC=EF，

NB=NE

.,.△ABC^ADEF（ASA）.

點(diǎn)評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：

SSSSASASAAASHL.

注意：AAASSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有

兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

又「ED平分NBAD,，EG-EH.AEF-LH.

又'rE^EC,.,.RtZiBEFSaRtACEF(HL).Z3=Z4.

又,；EB=EC,.*.Z1=Z2.

J.N1+N3=N2+N4,即NA3c=NDCB.

四邊形ABCD是-準(zhǔn)等膜r.形二

當(dāng)點(diǎn)三不在四邊形A3CD內(nèi)割時，有兩嬸情況：

當(dāng)點(diǎn)E在四邊形A3s的邊3C上的，四邊形ABO仍為?準(zhǔn)等腰梯形、

當(dāng)點(diǎn)三在四邊形A3CD的〃、那時，西邊形A3CD仍為隹等腹梯形

【考點(diǎn)】新定義，開放探究題，平行的性質(zhì)，=疼三角形的相似、全等三角形的判定和性演，龜平分送的性

質(zhì)，

【分析】(I)根據(jù)平行族的性明，過點(diǎn)。作3。%平行繞斑點(diǎn)D作？5的平行送直點(diǎn)A作？C的平行線.都能送格

四邊形.ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腹三角形和一個梯形，作法不唯一.

(2)易證△ARFsADCE，可得些=3,由￡B=NC可證將A3-AE.從而需證.

CDEC

(?)過點(diǎn)E分別作EFl幅，EG1AD.AH1CD.垂足分別是F，GH,根據(jù)角平分歧上的點(diǎn)到信的兩邊距

離相等的性所，可得三”三G-EH,從而可由HL證得Rt^BEPgRtZsCEF,從而N3=N4；由EB=EC,得N1=N2,根

據(jù)寺堂加等堇和相等，得NA3UNDCB,即四邊形A3CD是?港等腰梯形.

分點(diǎn)E在四邊形A3CD的邊BC上和點(diǎn)=在四邊形A3CD的外部兩種情況研究.

33(?內(nèi)江)已知，如圖，AABC和4ECD都是等腰直角三角形，NACD=/DCE=90°,D為AB

邊上一點(diǎn).求證：BD=AE.

考全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.

點(diǎn):

專證明題.

題：

分根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=BC,CD=CE,再根據(jù)同角的余角相等求出

析：ZACE=ZBCD,然后利用“邊角邊”證明4ACE和4BCD全等，然后根據(jù)全等三角形對

應(yīng)邊相等即可證明.

解證明：?.'△ABC和4ECD都是等腰直角三角形，

答：.\AC=BC,CD=CE,

VZACD=ZDCE=90",

/.ZACE+ZACD=ZBCD+ZACD,

，/ACE=/BCD,

'AC二BC

在AACE和△BCDMJ,，ZACE=ZBCD-

CD=CE

.,.△ACE^ABCD(SAS),

/.BD=AE.

點(diǎn)本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及等角的余角相

評：等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

34(?嘉興)如圖，aABC與中，AC與BD交于點(diǎn)E,且NA=ND,AB=DC.

(1)求證：△ABEWDCE；

(2)當(dāng)NAEB=50°,求NEBC的度數(shù)？

考全等三角形的判定與性質(zhì).

點(diǎn)：

分(1)根據(jù)AAS即可推出AABE和ADCE全等；

析：(2)根據(jù)三角形全等得出EB=EC,推出NEBC=/ECB,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出

ZAEB=2ZEBC,代入求出即可.

解(1)證明：：在4ABE和4DCE中

答：(ZA=ZD

<ZAEB=ZDEC

AB=DC

.,.△ABE^ADCE(AAS)；

(2)解：VAABE^ADCE,

/.BE=EC,

二ZEBC=ZECB,

；ZEBC+ZECB=ZAEB=50°,

.,.ZEBC=25".

點(diǎn)本題考查了三角形外角性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推

評：理能力.

35(福省福州17)(1)如圖，AB平分NCAD,AC=AD,求證:BC=BD；

c

B

D

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).

分析：(1)求出NCAB=NDAB,根據(jù)SAS推出△ABC絲ZkABD即可;

解答：(1)證明：；AB平分NCAD,

NCAB=NDAB,

在AABC和aABD中

'AC=AD

<ZCAB=ZDAB

AB=AB

.,.△ABC^AABD(SAS),

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生的推理能力.

36(廣州市)已知四邊形/也是平行四邊形(如圖9),把劭沿對角線加翻折180°

得到，BD.

(1)利用尺規(guī)作出△/'薇(要求保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)設(shè)〃力’與比交于點(diǎn)反求證：△胡'昭XDCE.

分析：(1)首先作NA'BD=ZABD,然后以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交BA'于點(diǎn)A',

連接BA',DA',即可作出AA'BI).

(2)由四邊形ABCD是平行四邊形與折疊的性質(zhì)，易證得：NBA'D=ZC,AzB=CD,然后由

AAS即可判定：△BA,E^ADCE.

解：(1)如圖：①作NA'BD=ZABD,

②以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交BA'于點(diǎn)A',4---------—yD

③連接BA，,DA',/^^7

則4A'BD即為所求；/

----------r

(2)?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=CD,ZBAD=ZC,

由折疊的性質(zhì)可得：NBA'D=ZBAD,A'B=AB,

.?.NBA'D=ZC,A'B=CD,

在ZkBA'E和aDCE中,

'/BA，E=ZC

,NBEA'=ZDEC?

A'B=CD

.'.△BA'E^ADCE(AAS).

'D

—V

點(diǎn)評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)折疊的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度適

中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

37(?郴州)如圖，已知BE〃DF,ZADF=ZCBE,AF=CE,求證：四邊形DEBF是平行四邊形.

考平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì).

點(diǎn):

專證明題.

題：

分首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NBEC=NDFA,再加上條件NADF=/CBE,AF=CE,可證明

析：AADF絲aCBE,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BE=DF,根據(jù)一組對邊平行且相等的四

邊形是平行四邊形進(jìn)行判定即可.

解證明：VBE/7DF,

答：.*.ZBEC=ZDFA,

，ZADF=ZCBE

在aADF和aCBE中＜ZAFD=ZCEB，

AF=CE

/.AADF^ACBE(AAS),

；.BE=DF,

又?.?BE〃DF,

...四邊形DEBF是平行四邊形.

點(diǎn)此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平

評：行四邊形.

38(?湘西州)如圖，在矩形ABCD中,EF分別是邊ABCD的中點(diǎn),連接AF,CE.

(1)求證：ABEC絲4DFA；

(2)求證：四邊形AECF是平行四邊形.

R

考矩形的性質(zhì)：全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定

點(diǎn):

專證明題.

題：

分(1)根據(jù)EF分別是邊ABCD的中點(diǎn)，可得出BE=DF,繼而利用SAS可判斷

析：△BECgZ\DFA：

(2)由(1)的結(jié)論，可得CE=AF,繼而可判斷四邊形AECF是平行四邊形.

解證明：(1)???四邊形ABCD是矩形，

答：.*.AB=CD,AD=BC,

又,:EF分別是邊ABCD的中點(diǎn)，

；.BE=DF,

,在ABEC和4DFA中，

'BC=DA

<ZB=ZD，

BE=DF

.,.△BEC^ADFA(SAS).

(2)由(1)得，CE=AF,AD=BC,

故可得四邊形AECF是平行四邊形.

點(diǎn)本題考查了矩形的性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)及平