小學(xué)數(shù)學(xué)5年級(jí)培優(yōu)奧數(shù)講義 第18講 分解質(zhì)因數(shù)含解析

第18講分解質(zhì)因數(shù)

郡0學(xué)習(xí)目標(biāo)福

安理解質(zhì)因數(shù)的概念；

%利用我們分解質(zhì)因數(shù)來(lái)解決一些較簡(jiǎn)單的問(wèn)題；

M通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和

堅(jiān)韌不拔、勇于探索的意志品質(zhì)。

學(xué)f】知識(shí)梳理*

一、分解質(zhì)因數(shù)

一個(gè)自然數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

把一個(gè)合數(shù)，用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如：24=2X2X2X3,75=3

X5X5o

我們數(shù)學(xué)課本上介紹的分解質(zhì)因數(shù)，是為求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)服務(wù)的。其實(shí)，把一個(gè)數(shù)

分解成質(zhì)因數(shù)相乘的形式，能啟發(fā)我們尋找解答許多難題的突破口，從而順利解題。

二、解題策略

許多題目，特別是一些競(jìng)賽題，初看起來(lái)很玄妙，但它們都與乘積有關(guān)，對(duì)于這類(lèi)題目，我們

可以用分

解質(zhì)因數(shù)的方法求解。因此，掌握并靈活應(yīng)用分解質(zhì)因數(shù)的知識(shí)，能解答許多一般方法不能解

答的與積有

關(guān)的應(yīng)用題

金典例分析］,

泰一：簡(jiǎn)單的分解質(zhì)因數(shù)*

例1、把18個(gè)蘋(píng)果平均分成若干份，每份大于1個(gè)，小于18個(gè)。一共有多少種不同的分法？

例2、有168顆糖，平均分成若干份，每份不得少于10顆，也不能多于50顆。共有多少種分法?

例3、將下面八個(gè)數(shù)平均分成兩組，使這兩組數(shù)的乘積相等。

2、5、14、24、27、55、56、99

例4、王老師帶領(lǐng)一班同學(xué)去植樹(shù)，學(xué)生恰好分成4組。如果王老師和學(xué)生每人植樹(shù)一樣多，那么他們一共

植了539棵。這個(gè)班有多少個(gè)學(xué)生？每人植樹(shù)多少棵？

例5、下面的算式里，口里數(shù)字各不相同，求這四個(gè)數(shù)字的和。

□□xnn=1995

考點(diǎn)二：復(fù)雜的分解質(zhì)因數(shù)

例1、三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是80,這三個(gè)數(shù)的積最大可以是多少？

例2、長(zhǎng)方形的面積是375平方米，已知它的寬比長(zhǎng)少10米，長(zhǎng)和寬的和是多少米？

例3、某班同學(xué)在班主任老師帶領(lǐng)下去種樹(shù)，學(xué)生恰好平均分成三組，如果師生每人種樹(shù)一樣多，一共種了

1073棵，那么，平均每人種了多少棵？

例4、把155/186和221/187約分。

例5、小明用2.16元買(mǎi)了一種畫(huà)片若干張，如果每張畫(huà)片的價(jià)錢(qián)便宜1分錢(qián)，那么他還能多買(mǎi)3張。小明

買(mǎi)了多少?gòu)埉?huà)片？

實(shí)戰(zhàn)演練

>課堂狙擊

1、195個(gè)同學(xué)排成長(zhǎng)方形隊(duì)伍做早操，行數(shù)和列數(shù)都大于1，共有幾種排法?

2、把462名學(xué)生分成人數(shù)相等的若干組去參加課外活動(dòng)小組，每小組人數(shù)在10至25人之間，求每組的人

數(shù)及分成的組數(shù)。

3、下面四張小紙片各蓋住一個(gè)數(shù)字，如果這四個(gè)數(shù)字是連續(xù)的偶數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)完整的算式。

□□XDD=1288

4、3月12日是植樹(shù)節(jié)，李老師帶領(lǐng)同學(xué)們排成兩路人數(shù)相等的縱隊(duì)去植樹(shù)。已知李老師和同學(xué)們每人植樹(shù)

的棵數(shù)相等，一共植了111棵樹(shù)，求有多少個(gè)學(xué)生。

5、在下面算式的框內(nèi)，各填入一個(gè)數(shù)字，使算式成立。

□□□X0=1995

6、有三個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的乘積是1001,這三個(gè)質(zhì)數(shù)各是多少？

7、237除以一個(gè)兩位數(shù)，所得的余數(shù)是6,請(qǐng)寫(xiě)出適合于這個(gè)條件的所有兩位數(shù)。

8、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)。已知這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是9240立方厘米，那么，這個(gè)

長(zhǎng)方體的表面積是多少？

9、求2310的約數(shù)中，除它本身以外最大的約數(shù)是多少？

＞課后反擊

1、甲數(shù)比乙數(shù)大9,兩個(gè)數(shù)的積是792,求甲、乙兩數(shù)分別是多少。

2、四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是19305,這個(gè)四奇數(shù)分別是多少？

3、有三個(gè)自然數(shù)a、b^c,已知aXb=30,bXc=35,cXa=42,求aXbXc的積是多少？

4、小青去看電影，他買(mǎi)的票的排數(shù)與座位號(hào)數(shù)的積是391,而且排數(shù)比座位號(hào)數(shù)大6。小青買(mǎi)的電影票是

幾排幾座？

5、有三個(gè)自然數(shù)a,b,c,已知aXb=35,bXc=55,aXc=77,求三個(gè)數(shù)之積是多少？

6、張明是個(gè)初中生，有一次，他參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽后，所得的名次、分?jǐn)?shù)和他的歲數(shù)三者的積是2910。求張明

的成績(jī)、名次和年齡分別是多少？

7、有4個(gè)孩子，恰好一個(gè)比一個(gè)大1歲，4人的年齡積是3024,這4個(gè)孩子中最大的幾歲？

8、王老師帶同學(xué)們擦玻璃，同學(xué)們恰好平均分成3組。如果師生每人擦的塊數(shù)同樣多，一共擦111塊，那

么，平均每人擦了多少塊？

9、自然數(shù)a乘以2376,所得的積正好是自然數(shù)b的平方，求a最小是多少？

n重點(diǎn)回顧

(1)理解質(zhì)因數(shù)的概念；

(2)利用我們分解質(zhì)因數(shù)來(lái)解決一些較簡(jiǎn)單的問(wèn)題；

(3)通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和堅(jiān)韌不拔、勇于探索的意志

品質(zhì)。

二名師點(diǎn)撥,

重去和難點(diǎn)突破：

(1)對(duì)于很多題目，我們可以用分解質(zhì)因數(shù)的方法求解。掌握并靈活應(yīng)用分解質(zhì)因數(shù)的知識(shí)，能解答許

(2)掌握并靈活應(yīng)用分解質(zhì)因數(shù)的知識(shí)，能解答許一般方法不能解答的與積有關(guān)的應(yīng)用題。

警、學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)

＞本節(jié)課我學(xué)到了

我需要努力的地方是

第18講分解質(zhì)因數(shù)

.教學(xué)目標(biāo)*

?理解質(zhì)因數(shù)的概念；

?利用我們分解質(zhì)因數(shù)來(lái)解決一些較簡(jiǎn)單的問(wèn)題；

/通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和堅(jiān)韌不拔、勇

于探索的意志品質(zhì)。

覆知識(shí)梳理：

二;分解質(zhì)因數(shù)

一個(gè)自然數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

把一個(gè)合數(shù)，用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如：24=2X2X2X3,75=3

X5X5-

我們數(shù)學(xué)課本上介紹的分解質(zhì)因數(shù)，是為求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)服務(wù)的。其實(shí)，把一個(gè)數(shù)

分解成質(zhì)因數(shù)相乘的形式，能啟發(fā)我們尋找解答許多難題的突破口，從而順利解題。

二、解題策略

許多題目，特別是一些競(jìng)賽題，初看起來(lái)很玄妙，但它們都與乘積有關(guān)，對(duì)于這類(lèi)題目，我們

可以用分解質(zhì)因數(shù)的方法求解。因此，掌握并靈活應(yīng)用分解質(zhì)因數(shù)的知識(shí)，能解答許多一般方

法不能解答的與積有關(guān)的應(yīng)用題

覆典例分析

*醫(yī)一：簡(jiǎn)單的分解質(zhì)因施

例1、把18個(gè)蘋(píng)果平均分成若干份，每份大于1個(gè)，小于18個(gè)。一共有多少種不同的分法？

【解析）先把18分解質(zhì)因數(shù)：18=2X3X3,可以看出：18的約數(shù)是1、2、3,6、9、18,除去1和18,還

有4個(gè)約數(shù)，所以，一共有4種不同的分法。

例2、有168顆糖，平均分成若干份，每份不得少于10顆，也不能多于50顆。共有多少種分法？

【解析】先把168分解質(zhì)因數(shù)，168=2X2X2X3X7,由于每份不得少于10顆，也不能多于50顆，所以，

每份有2X2X3=12顆，2X7=14顆，3X7=21顆，2X2X2X3=24顆，2X3X7=42顆，共有5種分法。

例3、將下面八個(gè)數(shù)平均分成兩組，使這兩組數(shù)的乘積相等。

2、5、14、24、27>55、56、99

【解析】14=2X755=5X11

24=2X2X2X356=2X2X2X7

27=3X3X399=3X3X11

可以看出，這八個(gè)數(shù)中，共含有八個(gè)2,六個(gè)3,二個(gè)5,二個(gè)7和二個(gè)11。因?yàn)橐堰@八個(gè)數(shù)分成

兩組，且積相等，所以，每組數(shù)中應(yīng)含有四個(gè)2,三個(gè)3,一個(gè)5,一個(gè)7和一個(gè)11。經(jīng)排列為（5、99、24、

14）和（55、27、56、2）.

例4、王老師帶領(lǐng)一班同學(xué)去植樹(shù)，學(xué)生恰好分成4組。如果王老師和學(xué)生每人植樹(shù)一樣多，那么他們一共

植了539棵。這個(gè)班有多少個(gè)學(xué)生？每人植樹(shù)多少棵？

【解析】根據(jù)每人植樹(shù)棵數(shù)X人數(shù)=539棵，把539分解質(zhì)因數(shù)。539=7X7X11,如果每人植7棵，這個(gè)班

就有7X11-1=76人；如果每人植樹(shù)11棵，這個(gè)班共有7X7-1=48人。

例5、下面的算式里，口里數(shù)字各不相同，求這四個(gè)數(shù)字的和。

□□Xnn=1995

【解析】要使兩個(gè)兩位數(shù)的積等于1995,那么，這兩個(gè)數(shù)的積應(yīng)和1995有相同的質(zhì)因數(shù)。1995=3X5X7

X19,可以有35X57=1995和21X95=1995。因?yàn)橐獫M足“數(shù)字各不相同”的條件，所以取21X95=1995,

這四個(gè)數(shù)字的和是：2+1+9+5=17。

考點(diǎn)二：復(fù)雜的分解質(zhì)因數(shù)

例1、三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是80,這三個(gè)數(shù)的積最大可以是多少？

【解析】三個(gè)質(zhì)數(shù)相加的和是偶數(shù)，必有一個(gè)質(zhì)數(shù)是2。80-2=78,剩下兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是78,而且要使它

的積最大，只能是41和37。因此，這三個(gè)質(zhì)數(shù)是2、37和41。

最大積是2x37x41=3034

例2、長(zhǎng)方形的面積是375平方米，已知它的寬比長(zhǎng)少10米，長(zhǎng)和寬的和是多少米？

【解析】這道題如果用方程來(lái)解會(huì)比較麻煩，我們可以把375分解質(zhì)因數(shù)看一看。375=5x5x5x3,因?yàn)?x

5比5x3正好多10,所以，此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是5x5=25米，寬是5x3=15米，它們的和是40米。

例3、某班同學(xué)在班主任老師帶領(lǐng)下去種樹(shù)，學(xué)生恰好平均分成三組，如果師生每人種樹(shù)一樣多，一共種了

1073棵，那么，平均每人種了多少棵？

【解析】根據(jù)每人種樹(shù)棵數(shù)x參加人數(shù)=1073,把1073分解質(zhì)因數(shù)：1073=29x37,再根據(jù)學(xué)生恰好平均分

成三組可知：參加種樹(shù)的人數(shù)是3的倍數(shù)多1,由于只有37比3的倍數(shù)多1.所以有37人，平均每人種29

棵。

例4、把155/186和221/187約分。

【解析】這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母都比較大，不能一眼看出分子和分母的公約數(shù)。我們可以先求出分子與

分母的差，如果差是質(zhì)數(shù)，就直接用這個(gè)質(zhì)數(shù)去約分；如果差是合數(shù)，就把這個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后用

其中的一個(gè)質(zhì)數(shù)去約分。

(1)186-155=31,31是質(zhì)數(shù)，用31約分得：155/186=5/6；

(2)221-187=34,34=2x17,用17約分得：221/187=13/11o

例5、小明用2.16元買(mǎi)了一種畫(huà)片若干張，如果每張畫(huà)片的價(jià)錢(qián)便宜1分錢(qián)，那么他還能多買(mǎi)3張。小明

買(mǎi)了多少?gòu)埉?huà)片？

【解析】根據(jù)題意可知：畫(huà)片的單價(jià)x張數(shù)=216分，它們乘積的質(zhì)因數(shù)和216的質(zhì)因數(shù)相同。我們可以先

把216分解質(zhì)因數(shù)，再寫(xiě)成兩數(shù)相乘的形式分析：216=2八3x3八3=8x27=9x24,顯然，216分可以買(mǎi)8分的畫(huà)

片27張，也可以買(mǎi)9分的畫(huà)片24張。所以，小明買(mǎi)了24張畫(huà)片，符合題意。

旗實(shí)戰(zhàn)演練..

課堂狙擊

1、195個(gè)同學(xué)排成長(zhǎng)方形隊(duì)伍做早操，行數(shù)和列數(shù)都大于1,共有幾種排法？

【解析】根據(jù)195=3x65,195=5x39,195=13x15

可得排法如下

3行65列,5行39列，13行15列,

65行3列,39行5列，15行13列。

2、把462名學(xué)生分成人數(shù)相等的若干組去參加課外活動(dòng)小組，每小組人數(shù)在10至25人之間，求每組的人

數(shù)及分成的組數(shù)。

【解析】462=21X22=14X33

每組的人數(shù)是(21)人，共分成(22)組?；蛎拷M的人數(shù)是(22)人，共分成(21)組?；蛎拷M的人數(shù)是(14)人，

共分成(33)組。或每組的人數(shù)是(11)人，共分成(42)組。

3、下面四張小紙片各蓋住一個(gè)數(shù)字，如果這四個(gè)數(shù)字是連續(xù)的偶數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)完整的算式。

□□XDD=1288

【解析】1288=2X2X2X7X23=28X46

4、3月12日是植樹(shù)節(jié)，李老師帶領(lǐng)同學(xué)們排成兩路人數(shù)相等的縱隊(duì)去植樹(shù)。已知李老師和同學(xué)們每人植樹(shù)

的棵數(shù)相等，一共植了111棵樹(shù)，求有多少個(gè)學(xué)生。

【解析】分解質(zhì)因數(shù)111=3x37

也就是說(shuō)有三人減去老師一人就說(shuō)明只有兩名學(xué)生三人每人值37棵樹(shù)。

5、在下面算式的框內(nèi)，各填入一個(gè)數(shù)字，使算式成立。

□□□XD=1995

【解析）665x3=1995

6、有三個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的乘積是1001,這三個(gè)質(zhì)數(shù)各是多少？

【解析】因?yàn)槭?個(gè)數(shù)，乘積為1001,又知10x10x10=1000,所以三個(gè)素?cái)?shù)必有一個(gè)小于10,

小于10的素?cái)?shù)有：2,3,5,7,顯然2,3,5都不是，只剩下7,驗(yàn)證下1001/7=143,143由2個(gè)素?cái)?shù)相

乘12x12=144,所以必有個(gè)數(shù)小于12,小于12的素?cái)?shù)有2,3,5,7,II驗(yàn)證取11,最后三個(gè)數(shù)分別為7,

11,13

7、237除以一個(gè)兩位數(shù)，所得的余數(shù)是6,請(qǐng)寫(xiě)出適合于這個(gè)條件的所有兩位數(shù)。

【解析】237-6=231

231=3x77=3x11x7

所以這樣的兩位數(shù)為

11=1x11

21=3x7

33=3x11

77=11x7

8、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)。已知這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是9240立方厘米，那么，這個(gè)

長(zhǎng)方體的表面積是多少？

【解析】一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬.高是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，

有9240=20x21>22

表面積=2x(20x21+20x22+21*22)=2644平方厘米

9、求2310的約數(shù)中，除它本身以外最大的約數(shù)是多少？

【解析】2310=231x10=231x5x2,所以最大約數(shù)為231x5=1155(因?yàn)楸?小的約數(shù)只有1了，所以2對(duì)應(yīng)的

這個(gè)約數(shù)是除了2310本身外最大的)

>課后反擊

1、甲數(shù)比乙數(shù)大9,兩個(gè)數(shù)的積是792,求甲、乙兩數(shù)分別是多少。

【解析】792=2x2x2x3x3x11=33x24

甲數(shù)是33,乙數(shù)是24.

2、四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是19305,這個(gè)四奇數(shù)分別是多少？

【解析】把19305分解質(zhì)因數(shù)得：

19305=3x3x3x5x11x13

所以19305=9x11x13x15

3、有三個(gè)自然數(shù)a、b、c,已知aXb=30,bXc=35,cXa=42,求aXbXc的積是多少？

【解析】因?yàn)槿齻€(gè)自然數(shù)a、b、c,axb=30,bxc=35,

所以b可能為：1或5；

當(dāng)b=l時(shí)，a=30,c=35,cxa=30x35#42,與條件矛盾，所以b=l不成立；

當(dāng)b=5時(shí)，a=30+5=6,c=35+5=7,cxa=7x6=42,正確.

axbxc=6x5x7=210.

4、小青去看電影，他買(mǎi)的票的排數(shù)與座位號(hào)數(shù)的積是391,而且排數(shù)比座位號(hào)數(shù)大6。小青買(mǎi)的電影票是

幾排幾座？

【解析】391=23x17

所以小青買(mǎi)的電影票是23排17號(hào)。

5、有三個(gè)自然數(shù)a,b,c,已知aXb=35,bXc=55,aXc=77,求三個(gè)數(shù)之積是多少？

【解析】axb=35=5x7,

bxc=55=5x7,

cxa=77=7x11

axbxc=5x7x11=385

6、張明是個(gè)初中生，有一次，他參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽后，所得的名次、分?jǐn)?shù)和他的歲數(shù)三者的積是2910。求張明

的成績(jī)、名次和年齡分別是多少？

【解析】這樣的題目一般先將數(shù)分解為幾個(gè)數(shù)的乘積，直到不能再分解，然后根據(jù)題目給出的隱含條件