中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)探究性試題練習(xí)20題：圓（學(xué)生版+解析版）

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)探究性試題練習(xí)圓

一.解答題（共20小題）

1.勾股定理是世界上最偉大的定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的重要工具，也是數(shù)

形結(jié)合的紐帶，周老師在上八年級(jí)《從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展》一節(jié)拓展課時(shí),

教學(xué)環(huán)節(jié)清晰，內(nèi)容安排有序，問題設(shè)計(jì)合理（如下），作為課堂主人的你，請(qǐng)積極思考

解決下列問題：

【知識(shí)回顧】

勾股定理反映了直角三角形三條邊之間的關(guān)系：a1+b2=c2,而。2,射，d又可以看成是

以a,b,c為邊長(zhǎng)的正方形面積，因此，勾股定理也可以表述為：分別以直角三角形兩

條直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形的面積之和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積（如圖1）,

即Sl+S2=S3.

【問題探究】

（1）如果以直角三角形三條邊處b,c為直徑，向形外分別作半圓（如圖2）,那么三個(gè)

半圓的面積為Si,S2,S3之間存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論：；

（2）類似地，上述結(jié)果是否適合其他圖形？適合的，請(qǐng)你在圖3中以直角三角形的三條

邊a,6,c為邊，向形外畫出圖形（示意圖），指出你所畫的圖形名稱是：,并

寫出證明過程；不存在的，請(qǐng)說明理由.

【拓展應(yīng)用】

（1）如圖4,已知在RtZ\ABC中，NACB=90°,AB=4,分別以AC、BC為直徑作半

圓，面積分別記為S2、51,則S+S2的值等于；

（2）在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,分別以AB,AC為直徑作半圓，以8c為直徑作半

圓剛好經(jīng)過點(diǎn)A（如圖5所示），若A8=4,AC=3,則兩個(gè)月牙形（陰影部分）的面積

之和即S1+S2=

2.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，三斜即指

三角形的三條邊長(zhǎng)，可以用該方法求三角形面積.若改用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言表示，其形式為:

I222

設(shè)小AC為三角形三邊，S為面積，則5=招.262-（2+b/）2]①

V42

這是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶之一.

而在文明古國(guó)古希臘，也有一個(gè)數(shù)學(xué)家海倫給出了求三角形面積的另一個(gè)公式，若設(shè)p

=史也!邑（周長(zhǎng)的一半），則S=〃（p-a）（p-b）（p-c）②

2

（1）嘗試驗(yàn)證.這兩個(gè)公式在表面上形式很不一致，請(qǐng)你用以5,7,8為三邊構(gòu)成的三

角形，分別驗(yàn)證它們的面積值；

（2）問題探究.經(jīng)過驗(yàn)證，你發(fā)現(xiàn)公式①和②等價(jià)嗎？若等價(jià)，請(qǐng)給出一個(gè)一般性推導(dǎo)

過程（可以從①=②或者②=①）；

（3）問題引申.三角形的面積是數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)幾何度量值，很多數(shù)學(xué)家給出了

不同形式的計(jì)算公式.請(qǐng)你證明如下這個(gè)公式：如圖，aABC的內(nèi)切圓半徑為r,三角

形三邊長(zhǎng)為。，4c,仍記殳工，S為三角形面積，則5=「八

3.我們知道，三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心（即三角形內(nèi)切

圓的圓心），現(xiàn)在規(guī)定，如果四邊形的四條角平分線交于一點(diǎn)，我們把這個(gè)點(diǎn)稱為“四邊

形的內(nèi)心

問題發(fā)現(xiàn)：(1)如圖①，在△ABC中，NC=90°,點(diǎn)。為△48C的內(nèi)心，若直線OE

分別交邊AC、BC于點(diǎn)D、E,且點(diǎn)0仍然為四邊形ABEC的內(nèi)心，這樣的直線QE可以

畫多少條？請(qǐng)?jiān)趫D①中畫出一條符合條件的直線。E,并簡(jiǎn)要說明畫法；

問題探究：(2)如圖②，在AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,若滿足(1)中條

件的一條直線求此時(shí)線段力E的長(zhǎng)；

問題解決：(3)如圖③，在aABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,問滿足(1)中條

件的線段DE是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)值；如果不存在，請(qǐng)說明理

由.圖①圖O圖②

4.問題探究：

(1)已知：如圖①，△ABC中請(qǐng)你用尺規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)。，使得點(diǎn)A到點(diǎn)BC的距

離最短.

(2)托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線

的乘積.如圖②，P是正△4BC外接圓的劣弧BC上任一點(diǎn)(不與8、C重合)，請(qǐng)你根

據(jù)托勒密(Ptolemy)定理證明：PA=PB+PC.

問題解決：

(3)如圖③，某學(xué)校有一塊兩直角邊長(zhǎng)分別為30機(jī)、60〃?的直角三角形的草坪，現(xiàn)準(zhǔn)備

在草坪內(nèi)放置一對(duì)石凳及垃圾箱在點(diǎn)P處，使P到4、B、C三點(diǎn)的距離之和最小，那么

是否存在符合條件的點(diǎn)P?若存在，請(qǐng)作出點(diǎn)P的位置，并求出這個(gè)最短距離(結(jié)果保

(1)如圖①，已知線段A8和BC,AB=2,BC=5,則線段AC的最小值為

問題探究

(2)如圖②，已知扇形CO。中，ZCOD=90°,DO=CO=6,點(diǎn)A是OC的中點(diǎn)，延

長(zhǎng)OC到點(diǎn)F,使CF=OC,點(diǎn)P是令上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是。。上的一點(diǎn)，BD=1.

(。求證：XOAPSXOPF；

(?)求BP+2A尸的最小值;

問題解決：

(3)如圖③，有一個(gè)形狀為四邊形ABC。的人工湖，BC=9千米，千米，Z

BCZ)=150。，現(xiàn)計(jì)劃在湖中選取一處建造一座假山P,且BP=3千米，為方便游客觀光,

從C、力分別建小橋P￡>,PC.已知建橋每千米的造價(jià)是3萬元，建橋PC每千米的

造價(jià)是1萬元，建橋PD和PC的總造價(jià)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置并

求出總造價(jià)的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由.(橋的寬度忽略不計(jì))

6.問題提出

(1)如圖①，在△ABC中，AB=AC=\0,BC=12,點(diǎn)。是△ABC的外接圓的圓心，

則0B的長(zhǎng)為

問題探究

(2)如圖②，已知矩形ABC。，A2=4,A￡>=6,點(diǎn)E為AZ)的中點(diǎn)，以8c為直徑作半

圓。，點(diǎn)P為半圓。上一動(dòng)點(diǎn)，求E、P之間的最大距離；

問題解決

(3)某地有一塊如圖③所示的果園，果園是由四邊形ABCZ)和弦CB與其所對(duì)的劣弧場(chǎng)

地組成的，果園主人現(xiàn)要從入口。到最上的一點(diǎn)P修建一條筆直的小路DP.已知

//BC,ZADB=45°,8￡>=120\歷米，8C=160米，過弦8c的中點(diǎn)E作EELBC交底

于點(diǎn)F,又測(cè)得EF=40米.修建小路平均每米需要40元(小路寬度不計(jì))，不考慮其他

因素，請(qǐng)你根據(jù)以上信息，幫助果園主人計(jì)算修建這條小路最多要花費(fèi)多少元？

(1)如圖1.已知NACB=NAQB=90°,請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出△AB。的外接圓(保留作

圖痕跡，不寫作法)；點(diǎn)C是否在的外接圓上(填“是”或“否”).

問題探究

(2)如圖2.四邊形4。8c是的內(nèi)接四邊形，NACB=N4DB=90°,AD=BD.求

證：CA+CB=?CD；

(3)如圖3.點(diǎn)P是正方形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是平面上一點(diǎn)，EB=A8且

￡4=工84.點(diǎn)。是線段AE的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)E,并求線段P。與AB之間的數(shù)量

3

關(guān)系.

8.某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究:

【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,AD,2。為。。的兩條弦(AO<B￡>),點(diǎn)C為第的中點(diǎn)，過C作

CEVBD,垂足為E.

求證：BE=DE+AD.

【問題探究】小明同學(xué)的思路是：如圖2,在8E上截取連接C4,CB,CD,

CF.……

請(qǐng)你按照小明的思路完成上述問題的證明過程.

【結(jié)論運(yùn)用】如圖3,△ABC是。。的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，/ACC=45°,

連接BD,CD,過點(diǎn)A作AELCD,垂足為E.若AB=啦,則△88的周長(zhǎng)為.

【變式探究】如圖4,若將【問題發(fā)現(xiàn)】中“點(diǎn)C為定的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)C為優(yōu)弧前的

中點(diǎn)”，其他條件不變，上述結(jié)論“BE=DE+AD”還成立嗎？若成立，請(qǐng)說明理由；若

不成立，請(qǐng)寫出BE、AD.DE之間的新等量關(guān)系，并加以證明.

9.問題發(fā)現(xiàn)：

(1)如圖1,ZXABC內(nèi)接于半徑為4的若NC=60°,則A8=；

問題探究：

(2)如圖2,四邊形A8CD內(nèi)接于半徑為6的。0,若NB=120°,求四邊形A8CD的

面積最大值；

解決問題：

(3)如圖3,一塊空地由三條直路(線段A。、AB、BC)和一條弧形道路合圍成，點(diǎn)M

是A8道路上的一個(gè)地鐵站口，己知AD=B例=1千米，AM=BC=2千米，ZA=ZB=

60°,而的半徑為1千米，市政府準(zhǔn)備將這塊空地規(guī)劃為一個(gè)公園，主入口在點(diǎn)M處，

另外三個(gè)入口分別在點(diǎn)C、D、P處，其中點(diǎn)P在向上，并在公園中修四條慢跑道，即

圖中的線段DM、MC,CP、PD,是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長(zhǎng)度(即

四邊形QMCP的周長(zhǎng))最大？若存在，求其最大值；若不存在，說明理由.

cD

「

圖1圖2圖3

10.問題發(fā)現(xiàn)：(1)如圖①，點(diǎn)P是半圓。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB是半圓的直徑，且AB=10,

則△以B面積的最大值是,的周長(zhǎng)存在最(填大或小)值為；

問題探究：(2)如圖②，在邊長(zhǎng)為10的正方形A8CZ)中，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，E、F分

別是40和S邊上的點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出四邊形BEFG面積的最大值是,請(qǐng)研究四

邊形8EFG的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

拓展應(yīng)用：(3)如圖③是某街心花園的一角，在扇形AOB中，NAOB=90°,OA=12

米，在矮圍墻OA和02上分別有兩個(gè)入口C和。，AC=4米，。為03的中點(diǎn)，出口E

在弧A8上，沿CE、OE從入口到出口鋪設(shè)兩條景觀小路，在四邊形COOE內(nèi)種花，在

剩余區(qū)域種草，問：出口E設(shè)在距直線0B多遠(yuǎn)處可以使四邊形CODE的面積最大？最

大面積是多少？(小路寬度不計(jì))

11.問題探究：

(1)如圖1,在。。中，AB是直徑，C￡)_LAB于點(diǎn)E,AE=a,EB=b.計(jì)算CE的長(zhǎng)度

(用小6的代數(shù)式表示).

(2)如圖2,請(qǐng)你在邊長(zhǎng)分別為人b(a>b)的矩形ABC。的邊A。上找一點(diǎn)使得

線段CM=J而(保留作圖痕跡).

問題解決：

(3)請(qǐng)你在(2)中結(jié)論的基礎(chǔ)上，在圖3中對(duì)矩形ABC。進(jìn)行拆分并拼接為一個(gè)與其

面積相等的正方形.并探究你所畫出拼成的正方形的面積是否存在最大值和最小值？若

存在，求出這個(gè)最大值和最小值：若不存在，請(qǐng)說明理由.

A

VZF――

圖1圖2圖3

12.問題探究：

（一）新知學(xué)習(xí)：

圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓（即如果四

邊形EFGH的對(duì)角互補(bǔ)，那么四邊形EFG”的四個(gè)頂點(diǎn)E、F、G、”都在同個(gè)圓上）.

（二）問題解決：

己知。。的半徑為2,AB,CD是。。的直徑.P是能上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作48,

C。的垂線，垂足分別為MM.

（1）若直徑ABLCQ,對(duì)于最上任意一點(diǎn)P（不與B、C重合）（如圖一），證明四邊形

PMON內(nèi)接于圓，并求此圓直徑的長(zhǎng)；

（2）若直徑ABLCQ,在點(diǎn)P（不與8、C重合）從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中，證明MN的

長(zhǎng)為定值，并求其定值：

（3）若直徑A8與C。相交成120°角.

①當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到標(biāo)的中點(diǎn)Pi時(shí)（如圖二），求MN的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)P（不與8、C重合）從8運(yùn)動(dòng)到C的過程中（如圖三），證明的長(zhǎng)為定值.

（4）試問當(dāng)直徑AB與C。相交成多少度角時(shí)，MN的長(zhǎng)取最大值，并寫出其最大值.

圖二圖三

13.【定義】

圓心在三角形的一邊上，與另一邊相切，且經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)（非切點(diǎn)）的圓稱為這

個(gè)三角形圓心所在邊上的“伴隨圓

【概念理解】

如圖1,△ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,則RtZ\ABC的直角邊AC上的伴隨圓

的半徑為

【問題探究】

如圖2,已知點(diǎn)E在△ABC的邊AB上，ZC=90°,/BAC的平分線交BC于點(diǎn)。，且

。在以AE為直徑的OO上.

求證：0。是RtZ\ABC斜邊AB上的伴隨圓；

【拓展應(yīng)用】

如圖3,已知等腰△ABC,AB=4C=5,BC=f>,直接寫出它的所有伴隨圓的半徑.

14.【問題探究】

已知：如圖①所示，NMPN的頂點(diǎn)為尸，。。的圓心。從頂點(diǎn)P出發(fā)，沿著PN方向平

移.

圖①圖②圖③

(1)如圖②所示，當(dāng)。。分別與射線PM,PN相交于A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)，連接AC、

BD,可以證得△辦Cs^,從而可以得到：PA-PB^PC-PD.

(2)如圖③所示，當(dāng)。0與射線相切于點(diǎn)A,與射線PN相交于C、。兩個(gè)點(diǎn).求

證：PA1=PC^PD.

【簡(jiǎn)單應(yīng)用】

(3)如圖④所示，(2)中條件不變，經(jīng)過點(diǎn)尸的另一條射線與。0相交于E、尸兩點(diǎn).利

用上述(1),(2)兩問的結(jié)論，直接寫出線段以與PE、尸尸之間的數(shù)量關(guān)系；

當(dāng)孫=4代，EF=2,則PE=.

【拓展延伸】

(4)如圖⑤所示，在以。為圓心的兩個(gè)同心圓中，A、B是大。。上的任意兩點(diǎn)，經(jīng)過

4、B兩點(diǎn)作線段，分別交小。。于C、E、D.尸四個(gè)點(diǎn).求證：AGAE=BD.BF.(友

情提醒：可直接運(yùn)用本題上面所得到的相關(guān)結(jié)論)

15.問題提出

(1)如圖①，AABC是等邊三角形，AB=12,若點(diǎn)0是aABC的內(nèi)心，則0A的長(zhǎng)

為;

問題探究

(2)如圖②，在矩形A3CD中，AB=12,AZ)=18,如果點(diǎn)P是AO邊上一點(diǎn)，且AP

=3,那么8C邊上是否存在一點(diǎn)。，使得線段PQ將矩形ABCC的面積平分？若存在，

求出PQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

問題解決

(3)某城市街角有一草坪，草坪是由草地和弦A8與其所對(duì)的劣弧圍成的草地組

成，如圖③所示.管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后，他想只用噴

灌龍頭來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時(shí)，既要能確保草坪的每個(gè)角落都能

澆上水，又能節(jié)約用水，于是，他讓噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于NAMB(即每次噴灌時(shí)噴

灌龍頭由MA轉(zhuǎn)到MB,然后再轉(zhuǎn)回，這樣往復(fù)噴灌.)同時(shí)，再合理設(shè)計(jì)好噴灌龍頭噴

水的射程就可以了.

如圖③，已測(cè)出A8=24〃?，△AMB的面積為96加2；過弦AB的中點(diǎn)。作。E

LAB交褊于點(diǎn)E，又測(cè)得￡>E=8〃?.

請(qǐng)你根據(jù)以上信息，幫助王師傅計(jì)算噴灌龍頭的射程至少多少米時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)他的想法？

為什么？(結(jié)果保留根號(hào)或精確到0.01米)

16.定義：圓心在三角形的一邊上，與另一邊相切，且經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)(非切點(diǎn))的圓

稱為這個(gè)三角形圓心所在邊上的“伴隨圓”.

【概念理解】

(1)教師通過舉例幫助學(xué)生加以理解：如圖1,/XABC中，ZA=90°,AB=10,AC=

絲，六。。的圓心。在2C邊上，與AC邊相切于點(diǎn)E,并且過頂點(diǎn)3,六。。就是8c

3

邊上的一個(gè)伴隨圓.并引導(dǎo)同學(xué)求該伴隨圓半徑的思路：

請(qǐng)你根據(jù)以上的思路，求出8c邊上的伴隨圓的半徑r；

【問題探究】

(2)如圖2,在(1)的條件下，C點(diǎn)沿直線CB向左運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,使得AB=A。，求此

時(shí)△A3。所有的伴隨圓的半徑；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,在(2)的條件下，作。關(guān)于8點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)E,得到△4BE,是BE邊

上的一種伴隨圓，過圓心M作FGLED,H是。M在ED上半圓上任意一點(diǎn)，HJLFG

于J,HILED于/,連接〃，K是〃的中點(diǎn)，當(dāng)H沿著上半圓周逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)

NKE/度數(shù)取最大值時(shí)，直接寫出線段EK的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

17.問題探究:

(1)如圖1,點(diǎn)。在△ABC的邊AC上，試在邊BC上找一點(diǎn)E,使得△ABE的面積等

于△A8O的面積.

(2)如圖2,。。的半徑為5,點(diǎn)A、B、C都在00上，AB=6,求△ABC面積的最大

值.

問題解決：

(3)如圖3,在Rt^ABC中，A8=4,BC=2,ZACB=90Q，點(diǎn)。為/ABC內(nèi)部一點(diǎn),

且/ADB=60°,過點(diǎn)C作CE〃A。，交BD于點(diǎn)E,連接4E、CD.求四邊形AEC。面

積的最大值.

(1)如圖①，在△A8C中，/4=120°,AB=AC=5,則△ABC的外接圓半徑R的值

為.

問題探究

(2)如圖②，。0的半徑為13,弦AB=24,M是AB的中點(diǎn)，P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，求

的最大值.

問題解決

(3)如圖③所示，AB、AC、祕(mì)是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中AC=3h",Z

BAC=60°,前所對(duì)的圓心角為60°,新區(qū)管委會(huì)想在商路邊建物資總站點(diǎn)P,在AB,

AC路邊分別建物資分站點(diǎn)E、F,也就是，分別在商、線段AB和AC上選取點(diǎn)P、E、

F.由于總站工作人員每天都要將物資在各物資站點(diǎn)間按pm的路徑進(jìn)行運(yùn)輸，

因此，要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路尸￡、EF和FP.為了快捷、環(huán)保和節(jié)約成本.要使

得線段尸質(zhì)EF、FP之和最短，試求PE+EF+F尸的最小值.(各物資站點(diǎn)與所在道路之

間的距離、路寬均忽略不計(jì))

A

A

BCA\~M

圖①

19.(1)問題提出:

如圖①，在RtABAC中，/8AC=90°,點(diǎn)D,E分別是CB,AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BD

的中點(diǎn)，若A8=8,AC=6,則EF=；

如圖②，已知：M是弓形AB上的中點(diǎn)，AB=24,弓形AB的高是8,則對(duì)應(yīng)。。的面積

為多少？(結(jié)果保留根號(hào)或皿)

(3)問題解決:

如圖③，在半徑為5的中，弦8C=8,點(diǎn)4為優(yōu)弧8c上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AO_LBC

于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE1AC于點(diǎn)E.AD和BE交于點(diǎn)P,連接PC,試求aPBC面積的

最大值.

20.問題提出

(1)如圖1,在aABC中，ZA=75°,ZC=60°,AC=6五,求△ABC的外接圓半

徑R的值；

問題探究

(2)如圖2,在△ABC中，NB4C=60°,ZC=45°,4c=8泥，點(diǎn)。為邊8c上的

動(dòng)點(diǎn)，連接A。以A。為直徑作。。交邊48、AC分別于點(diǎn)E、F,連接EF,求EF的最

小值；

問題解決

(3)如圖3,在四邊形ABCO中，NBAD=90°,ZBCD=30a,AB=AD,BC+CD=

12V3.連接AC,線段AC的長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，請(qǐng)說

明理由.

圖1

郢圖3

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)探究性試題匯編之圓

參考答案與試題解析

一.解答題（共20小題）

1.勾股定理是世界上最偉大的定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的重要工具，也是數(shù)

形結(jié)合的紐帶，周老師在上八年級(jí)《從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展》一節(jié)拓展課時(shí)，

教學(xué)環(huán)節(jié)清晰，內(nèi)容安排有序，問題設(shè)計(jì)合理（如下），作為課堂主人的你，請(qǐng)積極思考

解決下列問題：

【知識(shí)回顧】

勾股定理反映了直角三角形三條邊之間的關(guān)系：。2+y=/,而次，層,J又可以看成是

以mb,c為邊長(zhǎng)的正方形面積，因此，勾股定理也可以表述為：分別以直角三角形兩

條直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形的面積之和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積（如圖1）,

即51+52=53.

【問題探究】

（1）如果以直角三角形三條邊a,b,c為直徑，向形外分別作半圓（如圖2）,那么三個(gè)

半圓的面積為Si,S2,S3之間存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論：51+52

=53;

（2）類似地，上述結(jié)果是否適合其他圖形？適合的，請(qǐng)你在圖3中以直角三角形的三條

邊a,b,c為邊，向形外畫出圖形（示意圖），指出你所畫的圖形名稱是：等邊三角形

或等腰直角三角形，并寫出證明過程；不存在的，請(qǐng)說明理由.

【拓展應(yīng)用】

（1）如圖4,已知在RtZ\ABC中，ZACB=90°,A8=4,分別以4C、BC為直徑作半

圓，面積分別記為S2、51,則S1+S2的值等于2n；

（2）在RtZXABC中，ZBAC=90°,分別以AB,AC為直徑作半圓，以BC為直徑作半

圓剛好經(jīng)過點(diǎn)4（如圖5所示），若AB=4,AC=3,則兩個(gè)月牙形（陰影部分）的面積

之和即Si+S2=6.

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【分析】問題探究：(1)結(jié)論：Sl+S2=S3,利用圓面積公式以及勾股定理即可證明.

(2)等邊三角形.利用等邊三角形的面積以及勾股定理即可證明.

拓展應(yīng)用：(1)利用問題探究中的結(jié)論即可解決問題.

(2)根據(jù)SI+S2=LTT(JLAB)2+-l.Tt(AAC)2-An(AfiC)2+5AABC=—K(BC2+AC2

2222228

-AB2)+SAABC=SAABCi十算即可.

【解答】解：?jiǎn)栴}探究：(1)結(jié)論：Si+52=S3.理由如下：

VS3=-^-c2,SI=-ZLa2,a2+b2=c1,

888

；.Sl+S2=S3.

故答案為S1+S2=S3.

(2)等邊三角形或等腰直角三角形.

如圖3中，以直角三角形的三條邊a,b,c為邊，向外作等邊三角形，如圖所示,

444

；.Sl+S2=S3.

等腰三角形時(shí)證明方法類似.

故答案為等邊三角形或等腰直角三角形.

拓展應(yīng)用：（1）如圖2中，：Si+S2=S3,53=三2=三*]6=2m

88

故答案為27T.

2）解：如圖5中,

△ABC中，,：AB1+AC2=BC2

?*.SI+52=—TC（工48）2+—n（工AC）2-ATE（工BC）2+5A/IBC=—TT（,BC2+AC2-AB~）

2222228

+5AABC=SAABC=—X3X4=6.

2

故答案為6.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要涉及的知識(shí)點(diǎn)：三角形、正方形、圓的面積計(jì)算以及勾股定理的應(yīng)用，

解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的公式，學(xué)會(huì)用割補(bǔ)法求陰影部分面積，屬于中考?？碱}

型.

2.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，三斜即指

三角形的三條邊長(zhǎng)，可以用該方法求三角形面積.若改用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言表示，其形式為：

I222

設(shè)”，b,。為三角形三邊，S為面積，則5=||[a2b2-（a+,一。）2]①

這是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶之一.

而在文明古國(guó)古希臘，也有一個(gè)數(shù)學(xué)家海倫給出了求三角形面積的另一個(gè)公式，若設(shè)p

=”業(yè)（周長(zhǎng)的一半），則5=5口（.2）（p-b）（p-c）②

2

（1）嘗試驗(yàn)證.這兩個(gè)公式在表面上形式很不一致，請(qǐng)你用以5,7,8為三邊構(gòu)成的三

角形，分別驗(yàn)證它們的面積值；

（2）問題探究.經(jīng)過驗(yàn)證，你發(fā)現(xiàn)公式①和②等價(jià)嗎？若等價(jià)，請(qǐng)給出一個(gè)一般性推導(dǎo)

過程（可以從①二②或者②=①）；

（3）問題引申.三角形的面積是數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)幾何度量值，很多數(shù)學(xué)家給出了

不同形式的計(jì)算公式.請(qǐng)你證明如下這個(gè)公式：如圖，的內(nèi)切圓半徑為r,三角

形三邊長(zhǎng)為a,h,c,仍記°=史也12，S為三角形面積，則5=〃八

2

【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；數(shù)學(xué)常識(shí).

【專題】三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

222一

l[52X72-(5+^-8)2]=1073-由②得：P

=5+7+8=10,S=V10X(10-5)X(10-7)X(10-8)=10?；

2

222

(2)求出2p=a+b+c,把①中根號(hào)內(nèi)的式子可化為：A("+a+b-c)(汕-

42

2,i2_2i1

ap-c)=^L(a+ft+c)(a+h-c}(c+a-h)(c-a+h)=,X2/7X(2p-2c)(2p

21616

-2b)(2p-2a)—pCp-a)Cp-b)(p-c),即可得出結(jié)論：

(3)連接04、OB、OC,S=S^AOB+SMOC+S^BOC,由三角形面積公式即可得出結(jié)論.

222—

l[52x72,(,5+7-8)2]^IO73,

42

由②得：莖=10,

2

5=V10X(10-5)X(10-7)x(10-8)-10V3；

(2)公式①和②等價(jià)：推導(dǎo)過程如下：

?a+b+c

：.2p=a+Hc,

①中根號(hào)內(nèi)的式子可化為：

12八222,,22

1(小3也上)(ab-a+b-c)

422

-(lab+ai+b1-c2)(2ab-a2-/?2+c2)

16

=-^[(a+b)2-c^tc2-(a-b)2]

=—i-(a+b+c)Ca+b-c)(c+a-b~)(c-a+b)

16

=J_X2/?X(2p-2c)(2p-2/?)(2p-2a)

16

=p(p-a)(p-b)(p-c~),

l~222

[a2b2-('+:~~—產(chǎn)]=VP(p-a)(p-b)(p-c)；

(3)連接。4、OB、OC,如圖所示：

S=SiAOB+S^AOC+S&BOC=—rc+—rh+—ra=(-+^+-)r=pr.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓、數(shù)學(xué)常識(shí)以及三角形面積公式；熟練掌握三角形

面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

3.我們知道，三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心（即三角形內(nèi)切

圓的圓心），現(xiàn)在規(guī)定，如果四邊形的四條角平分線交于一點(diǎn)，我們把這個(gè)點(diǎn)稱為“四邊

形的內(nèi)心

問題發(fā)現(xiàn)：（D如圖①，在△ABC中，/C=90°,點(diǎn)0為△ABC的內(nèi)心，若直線OE

分別交邊4C、BC于點(diǎn)、D、E,且點(diǎn)。仍然為四邊形ABE。的內(nèi)心，這樣的直線DE可以

畫多少條？請(qǐng)?jiān)趫D①中畫出一條符合條件的直線并簡(jiǎn)要說明畫法；

問題探究：（2）如圖②，在△A8C中，ZC=90°,AC=3,BC=4,若滿足（1）中條

件的一條直線DE//AB,求此時(shí)線段DE的長(zhǎng)；

問題解決：（3）如圖③，在aABC中，ZC=90°,AC=3,8C=4,問滿足（1）中條

件的線段DE是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)值；如果不存在，請(qǐng)說明理

由.圖①圖0圖母

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】綜合題；壓軸題.

【分析】(1)由切線的定義可知，重直于圓心與劣弧上的任意一點(diǎn)所連半徑的直線

有無數(shù)條，所以這樣的直線。E有無數(shù)條；

(2)根據(jù)切線長(zhǎng)定理，分別設(shè)=。尸=x,EN=EF=y,再根據(jù)OE〃AB,證明△CDE

和△CAB相似，即可利用對(duì)應(yīng)線段的比相等求出x,y的值，進(jìn)一步求得QE的長(zhǎng)；

(3)連接C。，交00于F,OE切。。于點(diǎn)F,此時(shí)OE的值最小，利用正方形的性質(zhì)

及切線的性質(zhì)定理等條件證明△CF。與△CFE全等，再證出△COE是等腰直角三角形，

即可求出C尸的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出OE的最小值.

【解答】解：(1)如圖1,作△A8C的內(nèi)切圓。0,切AC、BC于M、N,在劣弧MN上

取一點(diǎn)F,連接OF,過點(diǎn)F作。F的垂線交AC,BC于D,E.

(2)如圖2,直線OE切OO于點(diǎn)RDE//AB,

'：AC,分別切。。于M,N,

：.N0MC=N0NC=/C=90°,

.??四邊形0NCM為矩形,

?：0M=0N=r,

二矩形0NCM為正方形,

設(shè)O。的半徑為r,

在Rt^ABC中，AB=JAC2+AB2=5,

貝I」5A4BC=A(AB+AC+BC>r=lAC-BC,

2

AA(3+4+5"r=」X3X4,

：.CM=CN=\,

設(shè)EF=x,DF=y,

則DM=DF=x,EN=EF=y,

：.CD=\-y,CE=l-x,

\'DE//AB,

.,.△CDEs^CAB,

?CDDECE

""CA"AB"OB'

即by=x9_l-x,

354

解得，x——,y——>

32

'.DE—x+y——,

二當(dāng)直線OE〃AB時(shí)，線段OE的長(zhǎng)為互;

6

(3)如圖3,連接CO,交。0于尸，OE切。。于點(diǎn)尸，此時(shí)OE的值最小,

由(2)知，四邊形ONCM是正方形，

:.NDCF=NCEF=45°,

切。。于點(diǎn)八

OC±DE,

：.ZCFD=ZCFE=90°,

在△CFQ和△€1「￡：中，

rZCFD=ZCFE

<CF=CF>

ZDCF=ZECF

：./\CFD^/\CFECASA),

：.CD=CE,CF=』DE,

2

由（2）知，OM=OF=\,

:.CO=?OM=近,

：.CF=42-1.

：.DE=2CF=2-/2-2,

二線段OE存在最小值，其最小值是2加-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)定理，三角形相似的性質(zhì)，三角形內(nèi)心的定義等，解題

關(guān)鍵是要熟練掌握切線的性質(zhì)定理.

4.問題探究：

(1)己知：如圖①，△ABC中請(qǐng)你用尺規(guī)在8c邊上找一點(diǎn)。，使得點(diǎn)A到點(diǎn)BC的距

離最短.

(2)托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線

的乘積.如圖②，P是正△ABC外接圓的劣弧BC上任一點(diǎn)(不與8、C重合)，請(qǐng)你根

據(jù)托勒密(Ptolemy)定理證明：PA=PB+PC.

問題解決：

(3)如圖③，某學(xué)校有一塊兩直角邊長(zhǎng)分別為30機(jī)、60〃?的直角三角形的草坪，現(xiàn)準(zhǔn)備

在草坪內(nèi)放置一對(duì)石凳及垃圾箱在點(diǎn)P處，使P到4、B、C三點(diǎn)的距離之和最小，那么

是否存在符合條件的點(diǎn)P?若存在，請(qǐng)作出點(diǎn)P的位置，并求出這個(gè)最短距離(結(jié)果保

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】幾何綜合題.

【分析】(1)根據(jù)垂線段最短、利用尺規(guī)作圖作出點(diǎn)尸；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=8C=AC,根據(jù)托勒密定理計(jì)算，即可證明；

(3)以8c為邊作正△BCO,使點(diǎn)。與點(diǎn)A在BC兩側(cè)，作△BC。的外接圓，連接AO

交圓于P,連接尸8,作DELAC交AC的延長(zhǎng)線于E,根據(jù)勾股定理、直角三角形的性

質(zhì)計(jì)算，得到答案.

【解答】解：(1)利用尺規(guī)作圖，過點(diǎn)A作2C的垂線，交BC于D,

則點(diǎn)。即為所求；

(2)由托勒密定理得，PA'BC=PB'AC+PC'AB,

,/△ABC為正三角形，

：.AB=BC=AC,

：.PA-BC=PB-BC+PC*BC,

：.R\=PB+PC；

(3)以BC為邊作正△BCQ,使點(diǎn)。與點(diǎn)A在BC兩側(cè)，

作△BCD的外接圓，連接交圓于P,連接尸3,作￡>E_LAC交AC的延長(zhǎng)線于E,

則點(diǎn)P即為所求，

由(2)得，PD=PB+PC,

...P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和=ZM,且距離之和最小，

'：CD=BC^30,NDCE=NBCE-NBCD=30°,

/.DE=ACD=15,

2

由勾股定理得，CE=A/CD2.DE2=]5V3>

則以。=加2+D￡2=3045+2日，

答：P到4、B、C三點(diǎn)的距離之和最小值為30,5+2愿機(jī).

圖③

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段的性質(zhì)，掌握直角三角形的

性質(zhì)、正確理解托勒密定理是解題的關(guān)鍵.

5.問題提出：

(1)如圖①，已知線段AB和BC,AB=2,BC=5,則線段AC的最小值為3；

問題探究

(2)如圖②，已知扇形CO。中，/CO￡)=90°,￡>O=CO=6,點(diǎn)A是。C的中點(diǎn)，延

長(zhǎng)OC到點(diǎn)尸，使CF=OC,點(diǎn)P是應(yīng)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8是0。上的一點(diǎn)，BD=\.

(i)求證：XOAPSXOPF：

(z7)求BP+2Ap的最小值；

問題解決：

(3)如圖③，有一個(gè)形狀為四邊形ABCD的人工湖，BC=9千米，C￡)=4代千米，Z

BCO=150°,現(xiàn)計(jì)劃在湖中選取一處建造一座假山P,且BP=3千米，為方便游客觀光,

從C、。分別建小橋PD,PC.已知建橋PD每千米的造價(jià)是3萬元，建橋PC每千米的

造價(jià)是1萬元，建橋PO和PC的總造價(jià)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)尸的位置并

求出總造價(jià)的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由.(橋的寬度忽略不計(jì))

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似.

【分析】問題提出：

(1)當(dāng)點(diǎn)A在線段BC上時(shí)，線段AC有最小值，可求解;

問題探究

(2)(?)由題意可得處理=工，由相似三角形的判定可得△OAPsaopp；

OPOF2

(ii)由相似三角形的性質(zhì)可得PF=2AP,r>T#BP+2AP=BP+PF,即當(dāng)點(diǎn)F,點(diǎn)P,點(diǎn)

B三點(diǎn)共線時(shí)，BP+2Ap有最小值，最小值為8凡由勾股定理可求8尸+2Ap有最小值；

問題解決：

(3)以點(diǎn)8為圓心，3為半徑作圓交AB于點(diǎn)￡,交8c于點(diǎn)F,點(diǎn)尸為而上一點(diǎn)，連

接BP,PC,PD,在BC上截取8M=1,連接MD,過點(diǎn)。作。G_LCB,可證△BPMs

△BCP,可得PC=3PM,當(dāng)點(diǎn)P在線段MQ上時(shí)，建橋PQ和尸C的總造價(jià)有最小值，

由勾股定理可求DM的值，即可求建橋PD和PC的總造價(jià)是否存在最小值.

【解答】解：?jiǎn)栴}提出：(1)???當(dāng)點(diǎn)A在線段8c上時(shí)，線段AC有最小值，

線段AC的最小值=5-2=3

故答案為：3

問題探究

(2)(z)I?點(diǎn)A是OC的中點(diǎn)，DO=CO=6=OP,

???0-A=--1

0P2

,:CF=OC,

???OF=2OC=2OP,

??---O-P=--1

OF2

...烈且NAOP=NPO尸

OPOF

：./\OAP^/\OPF-,

(ii)'：^XOAP^/XOPF

?APOP1

"FP"OF

PF=2AP

'：BP+2AP=BP+PF

當(dāng)點(diǎn)尸，點(diǎn)尸，點(diǎn)3三點(diǎn)共線時(shí)，2尸+2Ap有最小值，最小值為

:.DO=CO=6,BD=\

：.BO=5,OF=\2

問題解決：

(3)如圖，以點(diǎn)B為圓心，3為半徑作圓交A8于點(diǎn)E,交8c于點(diǎn)八點(diǎn)P為踴上一

點(diǎn)，連接8P，PC,PD,

在8c上截取3M=1,連接MD,過點(diǎn)。作。G_LCB,

，叢BPMs4BCP

?PMBM1

"PC"BP

PC=3PM

建橋PD和PC的總造價(jià)=3XPD+1XPC=3PD+3PM=3(PD+PM)

當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，建橋PD和PC的總造價(jià)有最小值.

VZBCD=150°

AZDCG=30°,5.DG±BC

：.DG=^DC=2-/3,CG=?DG=6

2

：.MG=BC+CG-8M=9+6-1=14

???MD=4DG2+MG2

建橋PD和PC的總造價(jià)最小值=3X4百§=12任萬元

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助

線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵.

6.問題提出

(1)如圖①，在△ABC中，A8=AC=10,8c=12,點(diǎn)。是△ABC的外接圓的圓心，

則OB的長(zhǎng)為空

一4一

問題探究

(2)如圖②，已知矩形ABC。，AB=4,4。=6,點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，以BC為直徑作半

圓。，點(diǎn)P為半圓。上一動(dòng)點(diǎn)，求E、P之間的最大距離；

問題解決

(3)某地有一塊如圖③所示的果園，果園是由四邊形ABC。和弦CB與其所對(duì)的劣弧場(chǎng)

地組成的，果園主人現(xiàn)要從入口。到最上的一點(diǎn)P修建一條筆直的小路。P.已知

//BC,NAQB=45°,8O=12(h、歷米，BC=160米，過弦8c的中點(diǎn)E作EF_LBC交標(biāo)

于點(diǎn)兒又測(cè)得EF=40米.修建小路平均每米需要40元(小路寬度不計(jì))，不考慮其他

因素，請(qǐng)你根據(jù)以上信息，幫助果園主人計(jì)算修建這條小路最多要花費(fèi)多少元？

ED

圖①圖②

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】綜合題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】(1)若A。交BC于K,則AK=8,在Rt/XBOK中，設(shè)。B=x,可得/=6?+

(8-x)2,解方程可得0B的長(zhǎng)；

(2)延長(zhǎng)E0交半圓于點(diǎn)P,可求出此時(shí)E、P之間的最大距離為OE+OP的長(zhǎng)即可；

(3)先求出前所在圓的半徑，過點(diǎn)。作。GLBC,垂足為G,連接并延長(zhǎng)交標(biāo)于

點(diǎn)P,則DP為入口D到前上一點(diǎn)P的最大距離，求出OP長(zhǎng)即可求出修建這條小路花

費(fèi)的最多費(fèi)用.

【解答】解：(1)如圖，若40交BC于K,

?.?點(diǎn)。是△A8C的外接圓的圓心，A2=AC,

'AK=VAB2-BK2=V102-62=8，

在RtZ^BOK中，OBZMB曰+OK2,設(shè)0B=X,

解得X=生，

4

4

故答案為：25.

4

(2)如圖，連接E0,延長(zhǎng)E0交半圓于點(diǎn)P,可求出此時(shí)從尸之間的距離最大,

；在箴是任意取一點(diǎn)異于點(diǎn)P的P,連接OP',P'E,

:.EP=EO+OP=EO+OP'>EP',BPEP>EP',

；AB=4,AD=6,

：.E0=4,0P=0C=/BC=3，

：.EP=OE+OP=1,

：.E,P之間的最大距離為7.

(3)作射線FE交2。于點(diǎn)M,

,:BE=CE,EFLBC,竟是劣弧，

，前所在圓的圓心在射線尸E上，

假設(shè)圓心為。，半徑為r,連接0C,則。C=r,OE=r-40,BE=CE=/BC=80，

在RtZXOEC中,？=802+（r-40）2,

解得：r=100,

：.OE=OF-（米），

過點(diǎn)。作。G_LBC,垂足為G,

'：AD//BC,NAOB=45°,

：.ZDBC^45Q,

在RtZXBQG中，DG=B