一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根

匯報(bào)人：AA2024-01-27一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根目錄方程基本概念與性質(zhì)求解方法：配方法求解方法：公式法求解方法：因式分解法根的性質(zhì)與判定應(yīng)用舉例與拓展延伸01方程基本概念與性質(zhì)Part一元二次方程定義只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（次）的整式方程叫做一元二次方程。一般形式為ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）。系數(shù)a、b、c意義a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。a，b，c可在有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值。判別式Δ=b2-4ac作用判別式Δ=b2-4ac是判斷一元二次方程根的情況的重要公式。當(dāng)Δ<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，但有兩個(gè)共軛的復(fù)數(shù)根。當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（重根）。實(shí)數(shù)根當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，包括兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（重根）兩種情況。復(fù)數(shù)根當(dāng)Δ<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，但有兩個(gè)共軛的復(fù)數(shù)根。復(fù)數(shù)根可以表示為a+bi和a-bi的形式，其中a和b是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位。方程根的分類02求解方法：配方法Part配方法原理及步驟原理：通過配方，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，從而求解得到方程的根。步驟2.將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，即方程兩邊同時(shí)除以a；1.將原方程化為一般形式：ax2+bx+c=0；配方法原理及步驟1423配方法原理及步驟3.移項(xiàng)，使等式右邊為常數(shù)項(xiàng)，左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)；4.配方，即在等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；5.將左邊化為完全平方形式，右邊合并同類項(xiàng)；6.開方，求得方程的解。求解一元二次方程2x2?4x?6=0的根。示例2x2?4x=6；1.將原方程化為一般形式實(shí)例演示配方法求解過程02030401實(shí)例演示配方法求解過程3.移項(xiàng)，得x2?2x+1=4；4.配方，得(x?1)2=4；5.開方，得x?1=±2；6.解得x1=3,x2=?1。配方法優(yōu)缺點(diǎn)分析優(yōu)點(diǎn)配方法是一種通用的求解一元二次方程的方法，適用于所有形式的一元二次方程；配方法通過配方將方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，使得求解過程更加直觀和易于理解。在配方過程中需要進(jìn)行多次運(yùn)算，包括移項(xiàng)、配方、開方等步驟，計(jì)算過程相對繁瑣；當(dāng)一元二次方程的系數(shù)較大或較小時(shí)，使用配方法求解可能會導(dǎo)致計(jì)算精度降低。缺點(diǎn)03求解方法：公式法Part公式法原理及公式推導(dǎo)通過配方將一般形式的一元二次方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，然后利用平方根的定義求解。一元二次方程求根公式原理首先將原方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后通過移項(xiàng)、配方等步驟，得到一元二次方程的求根公式：x=[-b±sqrt(b^2-4ac)]/(2a)。公式推導(dǎo)過程選擇一個(gè)具體的一元二次方程，例如：2x^2-4x-6=0。確定方程中的系數(shù)a、b、c的值，分別為2、-4、-6。計(jì)算判別式Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4*2*(-6)=16+48=64。由于Δ>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，根據(jù)求根公式計(jì)算得到：x1=[-(-4)+sqrt(64)]/(2*2)=(4+8)/4=3，x2=[-(-4)-sqrt(64)]/(2*2)=(4-8)/4=-1。實(shí)例演示公式法求解過程公式法適用范圍及注意事項(xiàng)適用范圍：公式法適用于所有一元二次方程，無論其判別式Δ的值如何。當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根（即一個(gè)重根）；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無實(shí)根，但有兩個(gè)共軛復(fù)根。公式法適用范圍及注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)：在使用公式法求解一元二次方程時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)確保a≠0，否則不是一元二次方程；正確識別方程中的系數(shù)a、b、c；在計(jì)算過程中保持精度，避免誤差；對于判別式Δ的不同情況，要正確理解和應(yīng)用求根公式的不同形式。公式法適用范圍及注意事項(xiàng)04求解方法：因式分解法Part原理：通過尋找兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積等于常數(shù)項(xiàng)c，且它們的和等于一次項(xiàng)系數(shù)b，從而將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程進(jìn)行求解。步驟1.將常數(shù)項(xiàng)c分解為兩個(gè)因數(shù)c1和c2的乘積，即c=c1×c2。2.尋找兩個(gè)數(shù)p和q，使p+q=b且p×q=c1×c2。3.將原方程改寫為(x+p)(x+q)=0的形式。4.分別令x+p=0和x+q=0，解得x1=-p，x2=-q。因式分解法原理及步驟實(shí)例演示因式分解法求解過程示例：求解一元二次方程x^2-5x+6=0的根。4.分別令x-2=0和x-3=0，解得x1=2，x2=3。1.常數(shù)項(xiàng)6可以分解為1×6或2×3，這里選擇2×3。3.將原方程改寫為(x-2)(x-3)=0的形式。2.尋找兩個(gè)數(shù)p和q，使p+q=-5且p×q=2×3。經(jīng)計(jì)算可得p=-2，q=-3。適用條件：當(dāng)一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的常數(shù)項(xiàng)c可以分解為兩個(gè)因數(shù)的乘積，且這兩個(gè)因數(shù)的和等于一次項(xiàng)系數(shù)b時(shí)，可以采用因式分解法進(jìn)行求解。技巧1.在分解常數(shù)項(xiàng)c時(shí)，可以嘗試多種組合方式，以找到滿足條件的因數(shù)。2.在尋找兩個(gè)數(shù)p和q時(shí)，可以利用求根公式或配方法輔助計(jì)算。3.對于一些特殊形式的一元二次方程，如完全平方形式或具有特殊系數(shù)的一元二次方程，可以采用特定的因式分解技巧進(jìn)行求解。0102030405因式分解法適用條件及技巧05根的性質(zhì)與判定Part03根的平方和與系數(shù)關(guān)系α2+β2=(b2-2ac)/a2，可以通過根的和與積推導(dǎo)得出。01根的和等于系數(shù)之比的負(fù)值對于方程ax2+bx+c=0，若其兩根為α和β，則有α+β=-b/a。02根的積等于常數(shù)項(xiàng)與首項(xiàng)系數(shù)之比同樣對于方程ax2+bx+c=0，其兩根α和β的積為αβ=c/a。根與系數(shù)關(guān)系探討重根條件當(dāng)判別式Δ=b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即重根。要點(diǎn)一要點(diǎn)二虛根條件當(dāng)判別式Δ=b2-4ac<0時(shí)，方程有一對共軛復(fù)根，即虛根。重根和虛根判定條件根與系數(shù)符號關(guān)系01當(dāng)a與b同號時(shí)，兩根必有一個(gè)為負(fù)；當(dāng)a與b異號時(shí)，兩根必有一個(gè)為正；當(dāng)c與a同號時(shí)，兩根必有一個(gè)為負(fù)；當(dāng)c與a異號時(shí)，兩根必有一個(gè)為正。根與判別式關(guān)系02當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程有一對共軛復(fù)根。根與對稱軸關(guān)系03對于一般形式的一元二次方程，其對稱軸為x=-b/2a。若方程的根為α和β，則對稱軸也是α和β的中點(diǎn)。根的分布規(guī)律研究06應(yīng)用舉例與拓展延伸Part一元二次方程在幾何問題中應(yīng)用舉例面積問題已知矩形的長和寬之和以及面積，求長和寬。勾股定理在直角三角形中，已知兩條直角邊的長度，求斜邊的長度。圓的方程已知圓的半徑和圓心坐標(biāo)，求圓的方程。自由落體運(yùn)動已知物體從高空自由落下，經(jīng)過一定時(shí)間后到達(dá)地面，求物體下落的初速度和高度。勻變速直線運(yùn)動已知物體做勻變速直線運(yùn)動，經(jīng)過一定時(shí)間后速度達(dá)到某一定值，求物體的加速度和初速度。簡諧振動已知物體做簡諧振動，經(jīng)過一定時(shí)間后位移達(dá)到某一定值，求物體的振動頻率和振幅。一元二次方程在物理問題中應(yīng)用舉例123已知某商品的進(jìn)價(jià)和銷售量之