非線性遞推數(shù)列

二、非線性遞推數(shù)列目的要求：掌握常見的非線性遞推數(shù)列的通項求法（化為：一階線性、恒等變形不動點法、數(shù)歸法、母函數(shù)法等）重點：（難點）根據(jù)其特點采用相應方法求an1、分式遞推數(shù)列：a=Ca±n+iaa+bn1aa+bba⑴右d=0，貝D =n= +—a cacacn+1 n n令其為b=-b+a (一階線性……)n+1cnc⑵若d豐0,c豐0，用不動點法(P166TH10)例1、例1、an+1an,2na+1na=1，1解：丄an+解：丄an+1=^―+2n即bann+1=b+2nn例2、4a 一aan+1 nn+1+2a=9,

na=1，求a1n解：變形：an+1bn+12(b+a=n

b+a—4n

b(2—a)—C2—6a+9)

—n =bn+1+a)9b+a一4n令a2一6a+9=0化為⑴型）a=a=312=丄-1bn66n一5a=n 2n一11112=一n=一n :.b=bb 2 n1一2nn1題中a恰好是耳=x的根’即-為人）=諾的不動點TH9P166TH10P166 f(n)=an+b(…)cn一d則①常::21是等比n2是等差u一pIn2、其他非線性遞推數(shù)列「等差（等比）線性恒等變形后q恒等變形后q迭代

數(shù)歸

母函數(shù)法書上例10、11、12）例10、￡n=a=1,2=2,an+13+aa()= n“-1n>3丿，求aan

n一2解：變形aa=3+aan+1n一2 nn一1,an+1 n一2非連續(xù)二項）aa=3+aann—3 n—1n一2naa—aa=aan+1n一2 nn—3 nn：1一aan一1n一2na(a +a)=a (an n—1 n—3 n一2 n+1+a)n一1a+a艮卩： 1ana+a——n：1 n：3an一2為常數(shù)列）a+a——n+1 an

+a1=3

(n=4).a =3an+1一an n一1二階常線性齊次..a特征根法）例12、a=1,a=10,a2a=10a3 (n>3)1 2 nn-2 n-1解：變形'a、 n—Ian-1丿22a=10?—n_^，即：b2=10ba n n-1n-2a= nan-1迭代b=(10b”n n-1=10；(10b)4=???=102?10n-2 4??102n-21?b2n-22=102n—2-=101-2〕2?10212=10(b tb)n-1 2/.a=10a =10n-1n n-1例11、￡},u=2,u=—n0 1 23求證：\u]=2n解：(猜測后證明)適用于遞推關(guān)系復雜，不便求an或證明a)nn=1時,22_(_) 2nOu=2+2-1=2 3 +2- 32n=2時,1)猜測：再證：23- (-du=8+8-1=2 3 +2-32”_(_])? 2”_(_])?u=2 3 +2_ 3n2?_(_1)n 2-(-i)2 3為整數(shù)，則2_3為(0,1)內(nèi)的純小數(shù))n=0、1、2顯然成立2)數(shù)學歸納法證明，設(shè)f(n)=2"n=0、1、2顯然成立假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，則n=k+1時由u=u(2-2)-uk+1 kk-1 1=yf(k)+2-f0)^22f(k-1)+2-2f(k-1))-—2=2fCt)+2f(k-1)+2-fCt)+2f(k-1)]+2f(k)-2f(k-1)+2-fCt)+2f(k-1)——2又2f(k-1)=f(k+1)+2f(k-1)=(-1)k又貝Uu=2f(+1)+2-f(+1)+2(-?+1+2(-?-5 (???2(-1)k+1+2(-?為i己k取k+1 2=2fCui=2fCui)+2-fCui)猜測成立

2)再證f(n)為整數(shù)/)2n—(—1)" (2+14n—1—2n-2+??.)?/fmJ=f(n)為整數(shù)，2-f(n)為(0,1)內(nèi)的純小數(shù)???對任意自然數(shù)???對任意自然數(shù)n， lu ]=2n2n—(1)3例15、母函數(shù)法nn n聯(lián)系是研究組合數(shù)性質(zhì)的有效方法之一nn將數(shù)列C0,Ci,...,Cn當多項式函數(shù)f(x)=C0+C1X+…Cnxnn n聯(lián)系是研究組合數(shù)性質(zhì)的有效方法之一nnn一般：多項式a+ax+…+axn稱為數(shù)列a的母函數(shù)(有限、無限均可)0 1 n 0n而母函數(shù)藝axn可求和函數(shù)，從而可借助母函數(shù)求線性遞推數(shù)列的通項nn=0例15、a=1,a=—2,a=5a -6a (n>2)0 1 n n—1 n—2解：(顯然特征根法可求a)n現(xiàn)用母函數(shù)法令f(x)=a+ax+…+a01Xn+… ①?/a—5a +6a =0n n—1 n—2???設(shè)法求出f(x)，即可求an尋求(a—5a ,6a)xnn n—1 n由—5xf(x)=-5a0X-5aiX2—…6x2f(x)=6ax2+…+6a0 n—2①+②+③得：(1—5x+6x2—5anxn—…—1②xn+…-③)=a+(a—5a)x+(a0102+…+(a—5a+6an-1n54—5a+6azx210n+?…=1—7xn-2?f(x)= 1—7x=