多元函數(shù)微積分復(fù)習(xí)概要

5/18第六章多元函數(shù)微積分復(fù)習(xí)要點(diǎn)一、基本概念及相關(guān)定理1.多元函數(shù)的極限定義：函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有定義，當(dāng)點(diǎn)P(,)沿任意路徑無限趨于點(diǎn)()時,無限趨于一個確定的常數(shù)A,則稱常數(shù)A是函數(shù)當(dāng)P(,)趨于時的極限.記作,或,或,,或,或,.其中，.2.二元函數(shù)連續(xù)的定義：函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對任意，都有（或），則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).3.偏導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義.（1）函數(shù)在點(diǎn)處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為，記作，或，或，或，即=.（2）函數(shù)在點(diǎn)處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為，記作，或，或，或，即=.而稱，或，或，或及[，或，或，或]為（關(guān)于或關(guān)于）偏導(dǎo)函數(shù).高階偏導(dǎo)數(shù)：或，或，或，或.同理可得，三階、四階、…，以及n階偏導(dǎo)數(shù).4.全微分定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)在點(diǎn)的全增量可表示為，其中A、B不依賴于、，僅于、有關(guān)，，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微分，稱為函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記為，即.可微的必要條件：若函數(shù)在點(diǎn)處可微分，則8.二重積分的定義及性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，通過“分割、代替、求和、取極限”的過程，而得到的具有特定結(jié)構(gòu)的和的極限，被稱為函數(shù)在D上的二重積分；它的幾何意義是曲頂柱體的體積.在直角坐標(biāo)系下，用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)劃分區(qū)域D，則.性質(zhì)：下面均假定函數(shù)有界閉區(qū)域D上可積，則1.（為常數(shù)）；2..3.若在閉區(qū)域D上，則區(qū)域D的面積.4.若，且，則.5.在區(qū)域D上，，則，.6.設(shè)M、m是函數(shù)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,A是D的面積，則.7.設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，A是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn),使得.二、計(jì)算方法1.求二重極限的方法（1）若把點(diǎn)代入二元函數(shù)中，函數(shù)值存在，則函數(shù)值就是極限值；（2）若把點(diǎn)代入二元函數(shù)中，函數(shù)值無意義，則一元函數(shù)求極限的所有方法，全部可以應(yīng)用到求二重極限中去(如重要極限，等價無窮小替換等).2.求偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)的方法（1）求多元函數(shù)關(guān)于其中一個自變量的偏導(dǎo)數(shù)，只需要將另外的所有自變量看作常量，再用一元函數(shù)的求導(dǎo)方法求導(dǎo)，就可以得到所選定的自變量的偏導(dǎo)數(shù)了；（2）求高階偏導(dǎo)數(shù)方法或，或，或，或.3.求全微分的方法求多元函數(shù)（或）的全微分，先求出關(guān)于自變量的所有偏導(dǎo)數(shù)，（或，，），則全微分（或）.4.多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法根據(jù)題設(shè)條件，分清哪些是中間變量，那些是自變量，畫出關(guān)系圖，根據(jù)“同路相乘，異路相加”的原則，求出所需要的導(dǎo)數(shù).z如1，，，關(guān)系圖為：則z，.z如2，，，，關(guān)系圖：則z，.5.隱函數(shù)求導(dǎo)及求偏導(dǎo)的方法（1）一元隱函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)方程確定了是的函數(shù)，則方法1：方程兩邊對求導(dǎo)，見對求導(dǎo)，見對求導(dǎo)，對求導(dǎo)時再乘以；方法2：.（2）二元隱函數(shù)①設(shè)方程確定了是、的函數(shù)，則，.②把方程中的看作隱函數(shù)，方程兩邊求出全微分，則，.（有時可能簡單些）注意：首先，一定要分清所給函數(shù)是較簡單函數(shù)或具體復(fù)合函數(shù)或抽象復(fù)合函數(shù)或隱函數(shù)，然后按照它們的各自特性，使用各自不同求導(dǎo)公式，進(jìn)行求偏導(dǎo)數(shù)，全微分或高階偏導(dǎo)數(shù)。6.求多元函數(shù)極值及最值的方法設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求其極值及在區(qū)域D內(nèi)最值的步驟如下：第一步解方程組，求得一切實(shí)數(shù)解，即求出函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)；第二步對每一個駐點(diǎn)，求出，，的值.第三步定出的符號.Ⅰ.若，則（1）當(dāng)時,函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值;（2）當(dāng)時，函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值.Ⅱ.若，則穩(wěn)定點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn).Ⅲ.若，則穩(wěn)定點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)，需另行判斷.第四步求出所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及函數(shù)在區(qū)域的邊界上的最值，并比較這些值的大小，其中最大者為函數(shù)的最大值，最小者為函數(shù)的最小值.7.求二重積分的方法O原則：二重積分要化為二次積分（即兩個定積分）來求。O直角坐標(biāo)系下：X—型區(qū)域，OOY—型區(qū)域，O極坐標(biāo)系下，O==適用于積分區(qū)域是圓形區(qū)域、扇形區(qū)域、環(huán)形區(qū)域或被積函數(shù)是關(guān)于的關(guān)系式。重積化累積，關(guān)鍵上下限，畫出積分域，入出口找見三、舉例1.求下列二重極限（1）（2）解：（1）=（利用）=.法2：=.【當(dāng)時，有】（2）=.2.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分（1），，求.解：關(guān)系圖：，所以=；==.（2）驗(yàn)證函數(shù)滿足證明：∵==；同理，可得.∴;.∴.（3）設(shè)，而，，求.解：關(guān)系圖：=.=.（4）設(shè)，可微，求.解：令，，則.關(guān)系圖：=.=.（5）求由方程所確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解：令，則，，.∴,.（6），而，，求.解：關(guān)系圖：=；=.（7）設(shè)，證明：.證明：令，則，，.∴,.∴=.（8）求函數(shù)的全微分解：∵,由對稱性，，.∴全微分==.（9）用兩中不同的方法求由方程所確定的二元函數(shù)關(guān)于和的偏導(dǎo)數(shù).解：令，則，，.∴,.法2：方程兩邊對求全微分，可得，即，∴.∴,.3.求下列二重積分（1）計(jì)算二重積分，其中D是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.41O241O221-1交點(diǎn)，.視為Y—型域，.∴==.法2：視為X—型域，，.則1O51=1O51（2）計(jì)算二重積分，其中D是由直線，，所圍成的閉區(qū)域.解：如圖，X—型區(qū)域D：，.則==1O1=.1O1(3)計(jì)算二重積分，其中D是由拋物線和所圍成的閉區(qū)域.解：如圖，X—型區(qū)域，D：，.∴=O22==.O22（4）計(jì)算二重積分，其中D是由圓周及軸所圍成的右半閉區(qū)域.解：如圖，Y—型區(qū)域，D：，.∴==(∵在上，函數(shù)是偶函數(shù))=.（5）交換二次積分的積分順序.解：由；，（這顯然是X—型域）可得41O41O22-1-21與可得拋物線；是直線，于是可畫出積分域.（如圖）要交換積分次序，必須是Y—型域,.所以，有=.（6）計(jì)算1O1解